基于ARIMA模型分析四川省GDP

劉星辰 馮長煥

一、引言

國內生產總值（GDP）是指按市場價格計算的一個國家（或地區）所有常駐單位在一定時期內生產活動的最終成果，它不僅是核算體系中一個重要的綜合性統計指標，也是我國新國民經濟核算體系中的核心指標，它反映了一國（或地區）的經濟實力和市場規模。無論是政府等國家機構，還是國企、跨國公司等企業，在制定目標戰略時，均需參照GDP。

二、文獻綜述

對地方GDP進行研究是政府制定宏觀調控政策的基礎，許多學者通過不同的研究角度對GDP的分析方法進行了論證。

梁磊、陳曉東通過建立ARIMA模型對江蘇省GDP進行分析，但其僅對GDP增長趨勢進行描述而未進行預測；王鄂、張霆通過比較ARIMA模型與Holter-Winter模型的預測殘差，對湖南省GDP進行分析與預測；宋平、邱燕玲運用ARIMA模型、最小二乘法以及逐步回歸3種方法對青海省GDP進行分析與預測，由于研究的側重點不同，選擇因素的差異對預測殘差有較大影響。

本文選取四川省1978年至2018年的GDP時間序列數據，運用B-J方法建立ARIMA模型與殘差的自回歸模型，通過對AIC等信息準則的比較，選取ARIMA模型對數據進行分析并預測未來短期增長趨勢。

三、四川省GDP數據在ARIMA模型中的應用

（一）模型簡介

ARIMA模型又稱求和自回歸移動平均模型，是時間序列分析中一種極為重要的方法。它是指將非平穩時間序列經過差分運算轉化為平穩時間序列后，在擬合ARMA模型。

設Xt是經過d階差分后的平穩序列，則：

其中B為滯后算子。由于Wt是平穩序列，進而對該序列建立ARMA（p，q）模型。

在原始數據需要通過差分將其轉化為平穩序列的情況，則可利用ARIMA（p，d，q）模型進行數據分析。當進行經濟數據的研究時，其大多數為非平穩的時間序列數據，故本文采用ARIMA模型對四川省GDP數據進行時間序列分析。

（二）模型識別

1.平穩性檢驗

從《四川省統計年鑒》中可以得到1978年至2018年四川省國內生產總值。運用EVIEWS軟件將其生成時序圖。從1978-2018年四川省國內生產總值的時間序列圖（如圖1所示）中可以大致判斷該列數據呈現出無周期性的增長趨勢，為非平穩序列。

圖1 四川省GDP時序圖

2.純隨機性檢驗

從該列數據的自相關-偏自相關圖（如圖2所示）中可得出，Q統計量所對應得P值均小于0.05，應拒絕原假設，說明該序列為非純隨機序列，即是該序列蘊含相關信息，序列的歷史信息對未來有影響，具有研究價值。

圖2 GDP序列的自相關-偏自相關圖

3.平穩化處理

去增長趨勢：通過對時間序列圖（圖1）的初步定性分析可知，該序列含有非周期性增長趨勢，故對該序列進行一階差分，而一階差分后的GDP序列仍存在增長趨勢，為非平穩序列，故再對該序列進行一次差分。從圖3可以看出，二階差分后的GDP序列在0附近上下波動，為零均值的平穩序列。再對該序列進行純隨機性檢驗，結果如圖4所示，部分Q統計量所對應的P值小于0.05，應拒絕原假設，說明該序列為非純隨機序列，即是該序列蘊含相關信息，序列的歷史信息對未來有影響，具有研究價值。

圖3 二階差分后GDP序列的時序圖

圖4 二階差分后GDP的自相關-偏自相關圖

（三）建立ARMA模型

從二階差分后的GDP序列的自相關-偏自相關圖（圖4）可看出，自相關系數在滯后6步后呈拖尾狀態，偏自相關系數在滯后4步后后呈拖尾狀態，據此進行參數估計，在系數通過檢驗的條件下，初步選擇AR(4)、ARMA(2,2)、ARMA(4,2)、ARMA(4,6)4種模型。

表1 4種模型的信息準則比較

通過對系數顯著性檢驗（如表1所示），在信息準則越小，模型越佳的條件下，比較AIC、SC、HQ三種信息準則，最終確定AR（4）模型為最優模型。

（四）模型檢驗

對上述模型所生成的殘差序列進行純隨機性檢驗，觀察該序列所蘊含的信息是否被提取完全。由于其所有P值均大于0.05，接受原假設，說明該序列為白噪聲序列，不蘊含歷史信息，通過檢驗。

（五）殘差自回歸模型的對比

1.曲線擬合

在前文分析中可以得出，四川省GDP逐年增長，初步判斷該項數據是關于時間的函數，使用SPSS軟件對數據進行曲線擬合并尋找最佳擬合曲線。

圖5 GDP的曲線擬合圖

從上圖5中可以看出，指數曲線在前30年（1978-2008年）的時間里擬合度極高，但從2010年起擬合殘差開始增大；二次曲線雖對前30年數據擬合度較低，卻對后十年數據高度擬合，預測殘差較小，故選取二次曲線對數據進行曲線擬合。

2.建立自回歸模型

為了更好地分析與預測四川省GDP的增長趨勢，現將擬合曲線與實際走勢的殘差進行修正。從擬合殘差的自相關-偏自相關圖（如圖6所示）中可以看出，自相關系數正弦波動變化，呈拖尾狀態，偏自相關系數在滯后2階后迅速收斂為0，呈截尾狀態，初步建立AR（1）、AR（2）模型，在通過對AIC信息準則以及擬合優度的比較，選擇AR（2）模型，建立了二次曲線擬合后的殘差AR（2）模型。

圖6 擬合殘差的自相關-偏自相關圖

表2 ARlMA模型與殘差自回歸模型的對比

表3 2015-2018年四川省GDP的真實值與預測值對比

在兩種模型均通過殘差檢驗的基礎上，進一步比較AIC等信息量，在信息量越小，模型越優的條件下，選取ARIMA（4，2，0）模型為最佳模型，再次證明ARIMA模型的可信度較高，現將模型書寫如下：

（六）模型預測

利用上述的ARIMA（4，2，0）模型對四川省2015-2018年的GDP序列進行預測，結果如表3所示，由上表3可知，2015-2018年的真實值與預測值的相對誤差均小于5%，說明模型可以用于預測，且預測結果良好，但由于模型是對二階差分后的GDP序列建立的，若用于長期預測的話，預測結果的精確性會有所下降。故僅對2019、2020年四川省GDP進行預測，分別為44454.64、48036.75億元。

四、結論

從分析的數據來看，在改革開放前30年四川省GDP漲勢迅猛，呈指數型增長，在遭遇了2008年全球金融危機及5·12特大地震之后，GDP呈二次函數型增長，漲勢雖有回落，但也滿足“穩中求進”的要求；從建立的模型來看，在AIC等信息準則的比較下，ARIMA（4，2，0）模型比殘差AR（2）模型描述四川省GDP的增長規律更為精確，故采用ARIMA模型預計了2020年四川省GDP可達到48036.75億元，可實現四川省政府在2016年的十三五工作會上提出的“到2020年地區生產總值比2010年翻一番以上”的目標。ARIMA（4，2，0）模型可為四川省政府在2020年制定宏觀調控策略上提供一定的參考。