深度學(xué)習(xí) 把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

優(yōu)秀的數(shù)學(xué)課堂，學(xué)生不會(huì)單單停留于數(shù)學(xué)知識(shí)表層的探究，他們的大腦會(huì)高效運(yùn)轉(zhuǎn)，積極進(jìn)行思維碰撞，努力挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的層次，深入理解每堂數(shù)學(xué)課中與數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)思想方法。這里，我將對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中比較常見(jiàn)的幾種數(shù)學(xué)思想方法的滲透過(guò)程進(jìn)行再現(xiàn)，促進(jìn)教學(xué)深度反思并實(shí)現(xiàn)教學(xué)改進(jìn)。

一、數(shù)形結(jié)合，加強(qiáng)數(shù)感

“數(shù)”與“形”在數(shù)學(xué)中是相互依存，相輔相成的。小學(xué)階段，數(shù)感的培育尤為重要。根據(jù)小學(xué)生形象與抽象思維并存的特點(diǎn)，教學(xué)中可以通過(guò)“圖形”的直觀幫助學(xué)生理解“代數(shù)”原理，也可以利用“代數(shù)”關(guān)系來(lái)解釋“圖形”中的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

動(dòng)手操作能加強(qiáng)學(xué)生的直觀表象，以形助數(shù)，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)代數(shù)原理。教學(xué)中，教師可以利用實(shí)物進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中感知數(shù)形結(jié)合思想。教師應(yīng)放手引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)直觀圖形促進(jìn)理解算式原理，同時(shí)看到算式也要能聯(lián)想到圖形。學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，有利于將抽象轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^，促進(jìn)抽象理解，使得學(xué)生對(duì)該事物的表象更清晰，加強(qiáng)算理理解、算法掌握。六年級(jí)上冊(cè)，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法教學(xué)，教師創(chuàng)設(shè)情境并引導(dǎo)學(xué)生列出分?jǐn)?shù)乘法算式，學(xué)生在理解算式意義“公頃的”的基礎(chǔ)上，親自動(dòng)手折一折、涂一涂，使抽象算式直觀化。學(xué)生把一張長(zhǎng)方形紙張看成1 公頃菜地，然后對(duì)折后找到“1公頃的一半”，也就是公頃，涂上第一次陰影，再在這個(gè)基礎(chǔ)上繼續(xù)找到公頃的，再涂上第二次陰影，涂了兩次陰影的有3 小塊，占整張紙的。學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，激發(fā)深度思考，強(qiáng)化對(duì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)算理的理解，促進(jìn)算法的掌握，提升學(xué)習(xí)質(zhì)量。

學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)觀察對(duì)比、動(dòng)手操作，更能感知數(shù)形結(jié)合思想，強(qiáng)化理解數(shù)與形之間的關(guān)系。“數(shù)形結(jié)合”使幾何問(wèn)題更形象、讓代數(shù)算理更清晰，從而加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感和思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、轉(zhuǎn)化導(dǎo)引，沖破迷霧

轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)新授教學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用到。在引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)新知或解決新問(wèn)題時(shí)，往往通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生化抽象問(wèn)題為直觀問(wèn)題、化復(fù)雜問(wèn)題為簡(jiǎn)單問(wèn)題、化未知為已知，促使學(xué)生深度理解新知或難題，沖破迷霧并解決疑惑。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中規(guī)則的幾何圖形的面積或體積公式的推導(dǎo)，教師往往要向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化思想，把新知中探究的圖形轉(zhuǎn)化成熟悉的已學(xué)過(guò)的圖形，促進(jìn)對(duì)新學(xué)的幾何圖形公式的推導(dǎo)。譬如，探究三角形、梯形、圓的面積或圓柱體積公式的課堂活動(dòng)中，教師應(yīng)該讓學(xué)生動(dòng)手操作，在活動(dòng)中運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”思想，引導(dǎo)他們通過(guò)移拼重組的方法分別把三角形、梯形、圓轉(zhuǎn)化成熟悉的長(zhǎng)方形，把圓柱轉(zhuǎn)化成近似的長(zhǎng)方體，尋找新舊圖形之間存在的關(guān)系，探究幾何本質(zhì)，加強(qiáng)深度思考，促進(jìn)公式推導(dǎo)、內(nèi)化及運(yùn)用。教師在開(kāi)展三角形面積的練習(xí)課中，有這樣一類題：夾在平行線中的3 個(gè)三角形中都有一條高垂直于平行線，與高對(duì)應(yīng)的底長(zhǎng)度都不相等。已知其中一個(gè)三角形的面積以及3 個(gè)三角形底邊倍數(shù)關(guān)系，求其中另一個(gè)三角形的面積。此題似乎無(wú)解，實(shí)則只要學(xué)生能深度思考，靈活運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”思想，就能化難為簡(jiǎn)，問(wèn)題迎刃而解。由于三角形等高，三條底的關(guān)系已知，即可得出底之比，此時(shí)三角形面積之比就等于對(duì)應(yīng)的底之比，又知道其中一個(gè)三角形面積，就可以求出剩余的任意三角形的面積。學(xué)生巧妙轉(zhuǎn)化，問(wèn)題輕松解決!

轉(zhuǎn)化思想促進(jìn)學(xué)生深入探究數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，當(dāng)他們遇到難題，能夠通過(guò)轉(zhuǎn)變思維模式，機(jī)智采用轉(zhuǎn)化思想方法，將未知化已知，化難為簡(jiǎn)，使自己在思考的過(guò)程中，撥開(kāi)層層云霧，終見(jiàn)曙光。

三、完整建模，深度理解

數(shù)學(xué)模型是一種用符號(hào)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)抽象呈現(xiàn)某種規(guī)律的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。“建模”思想方法在學(xué)生的深度學(xué)習(xí)中無(wú)處不在，在教師的輔助下，他們自主探究，經(jīng)歷陳列、提煉、歸納、抽象、拓展及應(yīng)用，逐步完成數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。

探究六年級(jí)下冊(cè)鴿巢問(wèn)題(抽屜原理)時(shí)，可以讓學(xué)生做擺吸管實(shí)驗(yàn)，并滲透搶椅子游戲，引導(dǎo)學(xué)生理解生活中當(dāng)物品數(shù)大于抽屜數(shù)，把物品數(shù)先平均分，利用公式：物品數(shù)÷抽屜數(shù)=商……余數(shù)，得到第一次平均分后每個(gè)抽屜里的物品數(shù)相等，再把余下的物品繼續(xù)分別分配到任意抽屜里，抽屜里物品數(shù)最多的情況是“商+1”的情況，從而保證最理想的情況，也就保證了總有一個(gè)抽屜里“至少數(shù)”的情況。教師引導(dǎo)學(xué)生深度理解“至少數(shù)”與“余數(shù)”無(wú)關(guān)，其實(shí)只與“1”有關(guān)。學(xué)生深度探究，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，正確建立數(shù)學(xué)模型： 至少數(shù)=商+1。學(xué)生探究植樹問(wèn)題時(shí)，教師可以引導(dǎo)他們探究棵數(shù)少的情況，但不限制具體棵數(shù)，全班學(xué)生分別探究“兩端都栽”、“只栽一端”及“兩端都不栽”的情況并畫出線段圖。每種情況會(huì)有不同棵數(shù)的線段圖，學(xué)生深度思考，思維積極碰撞，由形象上升到抽象，完整建立植樹問(wèn)題的三種模型：當(dāng)兩端都栽時(shí)，探究出“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”；當(dāng)只栽一端時(shí)，得出“棵數(shù)=間隔數(shù)”；當(dāng)兩端都不栽時(shí)，則是“棵數(shù)=間隔數(shù)-1”。

教學(xué)中，教師若要構(gòu)建有深度的數(shù)學(xué)課堂，必須引導(dǎo)學(xué)生自主探究，積極交流共享，加強(qiáng)深度思考，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，穩(wěn)步構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)應(yīng)用實(shí)現(xiàn)模型內(nèi)化，有效解決更多的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

教師有深度的“教”才能促進(jìn)學(xué)生有深度的“學(xué)”，方能把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。在課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生在有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)中展開(kāi)深度探究，更能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的效率和質(zhì)量，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)習(xí)慣、思維品質(zhì)，促進(jìn)邏輯思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的和諧發(fā)展。