淺談高中數學課堂建模核心素養的滲透與思考
——基于《停車距離問題》教學設計

數學建模是高中數學六大核心素養的重要成員，是對現實問題進行數學抽象、用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程。生活中有很多問題都需要通過數學建模來解決，其具有廣泛性，所以2019年浙江省的優質課評比就定為數學建模課。筆者有幸參加了縣級的教學評比，在備課和上課過程中產生了一些粗淺的想法，現總結如下。

一、教學過程

隨著人們生活水平不斷提高，私家車越來越多，高速上交通事故也不斷攀升，其中追尾事故造成的急損失占了六成。

情境引入：觀看一些追尾事故視頻。

問題1：通過視頻同學們有什么感想(汽車在行駛過程中如何能避免或減少追尾事故的發生)？預設：保持安全距離。安全距離是一個籠統的概念，主要是研究在遇到緊急情況時，司機采取急剎車正好能夠安全地把車停下的距離，是最小安全行車距離。該問題旨在引導學生得到安全距離和停車距離的概念。教師揭示課題：最小安全行車距離就是我們今天研究的課題——《停車距離》。

問題2：汽車的停車距離有哪些影響因素？預設：教師引導學生發現影響因素有：行駛速度、反應時間、車子的剎車性能、道路狀況、天氣狀況等，當然還有一些沒有考慮到的因素。

問題3：影響停車距離的因素很多，我們很難也不可能都去研究，所以我們要抓住可控的主要因素進行研究，那么其主要因素有哪些？預設：師生共同討論得到，其主要因素是行駛速度和反應時間，故可對其他影響因素作合理的理想假設：假設汽車制動性能正常，道路、氣候正常；假設汽車在平直的道路上行駛，沒有超載；假設汽車類型、輪胎類型相同；假設駕駛員精神狀況良好等，對學生實際問題分析能力的培養進行了很好的滲透。

問題4：主要因素中行駛速度和反應時間是如何影響停車距離的？預設：引導學生想象汽車遇到緊急情況剎車的整個過程，直觀感受整個制動過程，可以分解為兩個部分，第一部分是汽車在反應時間里行駛的距離，稱為“反應距離”記為d1，其和行駛速度和反應時間都成正相關關系；第二部分是汽車在制動過程所行駛的距離，稱為“制動距離”記為d2，和速度成正相關關系。這里對直觀想象素養進行了滲透。教師：這樣我們就建立了停車距離的數學模型：停車距離=反應距離+制動距離，即：d=d1+d2，這樣就把實際問題轉化為數學問題，并建立模型，很好地滲透了數學建模素養。

問題5：從定性的角度分析主要因素，反應時間和行駛速度與停車距離存在的關系，得出這個模型的較具體表達式。預設：學生易得出反應距離等于反應時間乘以行駛速度，即d1=t·v，對于制動距離的表達式是本節課的難點，可能不易得到，需要教師引導，可以從物理角度分析。通過引導后，學生可以從能量守恒和牛頓第二定律推導出表達式，也可以從汽車制動過程做勻減速運動利用物理v-t圖像求位移公式得到。教師引導學生得到d1d2更具體的表達式：d1=k·t·v=a·v，，于是得出模型的參數表達式d=α·v+β·v2，數學建模思想和素養進一步得到體現和滲透。

在行車過程中，速度是可以知道的，若要計算出對應的安全距離就要確定模型表達式中的兩個參數，一般參數不能通過理論計算得到，因為在構建模型的過程中有許多因素很難考慮清楚，所以就需要通過現實的實驗數據計算和估計得到。下面是美國公路局公布的實驗數據。

問題6：如何通過所給的實驗數據確定參數？預設：學生通過比例關系d1=α·v和d2=β·v2得到，利用Excel辦公軟件對數據進行處理計算，培養學生的數據處理和運算能力，落實其數學運算和建模核心素養。經過表格數據處理，取參數計算值的平均值來估計參數值，于是得到了停車距離模擬模型的函數表達式：d=0.21v+0.0057v2，在師生共同努力下有了一定成果，學生感受到成功的喜悅，數學建模素養有了較全面的滲透。

問題7：這個模型d=0.21v+0.0057v2需不需要進行檢驗？預設：通過Excel 辦公軟件計算模型模擬預測值，學生通過觀察實際測量值與模擬預測值可以得到基本符合，這個模型的參數來源與實際，可以經受實踐的檢驗。

經過觀察可以發現，在速度較快的情況下預測值要小于實際值，這可能和一些我們沒有考慮到的因素有關。在高速上，限行速度是50km/h-110km/h，很多時候平均速度是100km/h，所以對于這個模型還需進行優化，優化后的模型可以是d=0.21v+0.0057v2(0≤v≤90)，d=0.21v+0.0057v2+4(90 ≤v≤110)，接 下來這個急剎車的停車距離函數模型可普遍應用于汽車剎車設計和路面交通管制。通過這個函數模型可以計算出汽車各個行駛速度的停車距離，對實際行車過程中與前車的安全距離具有重要的參考意義。

至此，師生共同實現了重難點突破，學生在課堂中經歷了整個建模過程，體會到了數學建模核心，使得數學建模核心素養得到滲透。

二、教學反思

本節主要通過參考數學建模課的五個過程進行備課和教學以及滲透數學核心素養，尤其是數學建模核心素養。第一步是發現和提出問題，引導學生把實際問題轉化為數學問題；第二步是對實際問題有了較深理解后，建立適當的數學模型；第三步是利用所學知識和數學方法求解模型；第四步是通過大量實際數據去檢驗所得模型，使學生感知實際數據和模擬模型數據的微小差距；最后是通過實際數據和模擬模型數據比對找到差距和聯系，然后進一步去完善模型。全面落實數學核心素養，會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維分析世界，會用數學的語言表達現實世界。