先建（見）“森林”

【摘要】全景式數學教育主張讓學生在整座原始森林中研究一棵樹。全景先構課程是全景式數學教育獨有的課程模塊。《相遇問題》是全景先構課程中的一個經典范式。教學時，教師引導學生先建（見）森林，然后讓學生在整座森林中思考一棵樹，并通過一棵樹思考整座原始森林。

【關鍵詞】全景式數學教育；相遇問題；結構；模型；思維；思考方式

【中圖分類號】G623.5【文獻標志碼】A【文章編號】1005-6009（2020）09-0055-05

【作者簡介】張宏偉，南京赫賢學校（南京，210000）學術總監，北京全景教育研究中心主任，高級教師，北京市數學特級教師，山東省首批齊魯名師，國標青島版教材編者，2017年全國十大魅力教師，教育部“國培計劃”專家庫人選，教育部基礎教育課程教材發展中心指導教師。

【背景】

筆者在2005年提出了“五還原教學法”（2006年獲山東省優秀科研成果一等獎，《基礎教育參考》2010年第6期專欄介紹），其中一項就是“還原系統”，強調數學學習要先引導學生對整個單元的知識系統進行整體建構。又經過多年的研究、發展和總結，“在整座原始森林中研究一棵樹”這個全景式數學教育的基本主張逐步形成。同時創生了全景式數學教育獨有的課程模塊———全景先構課程（也稱為整體架構課程），《相遇問題》就是其中一個經典范式，現將其課程設計和學生（四年級）的學習活動實況筆錄如下。

【教學過程及分析】

一、課前暖場

師：同學們，你們剛上四年級，但是，我們今天要學習五、六、七年級的內容。

生（驚訝地）：啊？！

師（笑）：是不是覺得老師有點不正常？

生（個別）：嗯！

師：給敢于表達自己真實感受的同學掌聲！

師：因為你是四年級學生，學五、六、七年級的內容，一點都不會是正常的，如果你研究會一點點，那就不正常了，叫超常。（學生笑）

師：我們這節課學習的是“解決問題”，但張老師不會給你一個具體的條件，卻讓你解決問題！（學生驚愕）

師：我連一個數都不告訴你，卻讓你解決問題！

生（更加驚愕）：啊？！

師：我甚至都不提出一個具體的問題，卻讓你解決問題！

生（很多捂著腦袋）：真不正常！

師：跟不正常的張老師上不正常的數學課，有三個絕招。第一個絕招一個字———猜！（學生笑），第二個絕招兩個字———

生：瞎猜！

師（豎起大拇指）：知音啊！第三個絕招三個字———

生：胡亂猜！

師（夸張地）：這都知道啊？太棒了！既然是猜、瞎猜、胡亂猜，那就不管對錯，盡情來吧！

此時，學生身心徹底放松，戒備幾乎完全解除。

二、課中學習

（一）出示研究主題

師：很多老師都是先寫題后畫圖，張老師偏偏先畫圖后寫題。用一條線段表示A、B兩地之間的一條直直的路（如圖1）。在數學上，線段可牛了，可以表示路，可以表示人，可以表示豬，可以表示世間———（生：萬物）

師板書：甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發，相向而行。

（二）主題解讀———找不懂及解決之道

學生齊讀后，教師詢問：哪個地方不懂？

生：相向是什么意思？不懂，其他的都懂。

師：不懂怎么辦？

生：猜。

有的學生猜是面對面，有的學生猜是背對背，還有的學生猜是向同一個方向走，想全了兩個人沿著同一條直路行走的所有可能。

此時，學生初建（見）關于行程問題的浪漫森林（含行程問題的相遇、追及、背道而馳這三大類型）。

師：相向到底是什么意思？查什么能查出相向的意思？

生：詞典。（其他學生紛紛認同）

師：那好，現在請同學們開始查詞典。

生（異口同聲）：沒帶。

師（故作驚訝）：你們來上課怎么不帶詞典呢？

生：老師沒讓帶！

師（面向學生的班主任）：老師，您課前給學生說不許帶詞典了？

該班班主任委屈而堅定地說：我沒說啊！

師：聽見沒，你們班主任根本就沒說不許帶詞典，你們為什么不帶？

一個學生站起來激憤地反駁：這是數學課！上語文課才用字典，這是常識！（聽課教師哄堂大笑）

師：我們班的孩子敢于表達自己真實的意見和想法，這一點特別難得！但有一點也讓我感到非常遺憾。詞典不僅是語文學科的學習工具，還是數學、科學等所有學科學習的工具！其實很多數學概念，你不需要麻煩任何人，查一下詞典，自己就能解決了！以后上數學課要怎么樣？

生（齊聲）：帶詞典。

師：現在你們沒帶詞典怎么辦？

生：用手機查百度。

師（半開玩笑地）：手機帶了嗎？

生（大笑）：沒有，老師你有！

教師用手機搜索“相向”一詞，讓學生閱讀———“指相對、面對面”。接著引導：除了查詞典外，還有一個重要的自學數學的路徑———上網。然后，教師在黑板上“甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發，相向而行”中的“相向”一詞下面標注“面對面”，讓學生再讀一遍。

（三）主題情形的全景架構

1.獨立猜想。

在教室里標注出A、B兩地，全班學生一起思考：甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發，在相向而行的過程中，兩人的位置關系會出現幾種不同的情況？用手勢表示出來。

2.現場模擬。

兩個學生或全班學生兩兩結合，現場表演相向而行，觀察自己與對方的位置關系，并與自己先前的猜想進行對比，看看自己的猜想是否正確。

第一次模擬———不會出界。

第一次走，兩個學生分別到達B、A兩地后自行停止，并轉身，形成兩人面對面的局面。

第二次模擬———敢于出界。

師：我讓你倆停了嗎？

兩個學生一臉迷茫。

師：發現沒？我讓你們面對面行走，沒有說停，你們到了另一端就自動停止了，給你們畫個圈你們就不敢出去，不僅小孩子這樣，很多大人也會這樣。

兩個學生恍然大悟，第二次模擬都走過對面的B和A，出界后繼續前行。

師：同學們，為他們敢于出界掌聲鼓勵！出界的這些情況你們想到了嗎？

絕大多數學生搖頭表示自己沒想到。

師：敢于出界才會看到新的世界，跟張老師學數學就要敢于出界！

3.圖形表征。

學生獨立用線段圖表征自己想到的各種位置關系情形。同時，教師巡視課堂，鼓勵學生并了解匯集全班學生出現的各種情形。

師：同伴是我們最重要的學習資源之一。現在，看看你周圍的同學有沒有畫到你沒有想到的情形，你可以下座位，想看誰的就去看誰的。（學生非常興奮地下座位交流，對比并補充、修改自己的作品）

4.情形的全景展示。

展示學生想到的所有類型（如下頁圖2～10），并引導學生觀察、思考、對比。

5.分類命名。

（1）學生首先把9種情況分成了三類，并給這三種類型取了相應的名字：一是沒相遇（如下頁圖2）；二是相遇（如下頁圖3、圖4）；三是相遇過頭（如下頁圖5～10）。

（2）學生接著又把第三類分為兩個子類：一是相遇過頭沒出界（如下頁圖5～7）；二是相遇過頭出了界（如下頁圖8～10）。

（3）學生認識到相遇問題其實分成了四類：沒相遇、相遇、相遇過頭沒出界、相遇過頭出了界。

至此，學生完成了對“兩個人相向而行”全部類型的整體建構，建設起了相遇問題的整座森林。

（四）數學模型的全景建構

1.引入路程。

師：我們先從最特殊的正好相遇開始研究，沒在中間相遇和在中間相遇分別說明了什么？

生：沒在中間相遇，說明甲、乙的速度不同；在中間相遇，說明甲、乙的速度相同。

師：這個同學真了不起！他用到了“速度”這個詞語來看數學和描述數學。見到速度你會馬上聯想到什么？

生：時間和路程。

師：它們可是數學關系中最密切的鐵三角式的概念，我們今天先來研究相遇問題中的路程。在數學上，路程用S表示。

2.自主尋找各種路程，并命名。

師：你看到了哪些路程？命名為S誰？

學生依次找到了一些路程，并給這些路程取了名字，還闡述了取名緣由。（如圖11）

3.建立關于路程的四種模型。

師：一個圖中同時存在好幾個路程，那么，這些路程之間———

生：應該是有聯系的。

當學生總結“出了界”的三個算式時，教師引導學生認識到：出界又發現了新的等量關系、新的世界！

此時，學生全面而深入地建設了“相向而行”的數學模型，不僅看見了整座“森林”，還看見了“森林”中的每一棵“樹”。

4.現場模擬，鞏固關系。

兩人合作，用直尺當作路，用兩塊橡皮當作甲、乙二人，和同桌一起模擬四種類型，并和同桌說出求AB路程的關系式。

三、課后拓展

師：回到家，在你家客廳、院子里標記上A、B兩地，讓爸爸媽媽相向而行，你猜他們敢不敢出界？

學生非常興奮，紛紛表示回到家要測試一下自己的父母。

師：如果他們不敢出界，你要告訴他們———

生：敢于出界才能發現新的世界！

師：你可以考考他們各種類型怎么求SAB。

【課程創設的價值和意義】

這節課的內容在全國各個版本的教材中都沒有。全景式數學教育為什么要增創這個課程？它到底能給學生帶來哪些改變和成長？這節課表面上沒有解決一個具體的問題，但真的沒有解決問題嗎？這節課到底在教學什么？

首先，這節課教（學）的是一個整體、一個系統、一個結構。這個課程的創設和學習讓學生對相遇問題的結構有了系統、完整、全面的認識。

其次，這節課教（學）的是模型。相遇問題屬于問題解決，問題解決的本質是數學建模。這節課，學生自己建全了相遇問題的四種模型。學生一旦掌握了相遇問題這個知識框架和這些基本模型，到五年級再學習相遇問題時根本不需要教師去教，就完全能夠自學；更重要的是，學生在學例題1、例題2……時，自己就會自動把例題1、例題2……與這些模型配對；更更重要的是，學生能清晰地看見這個例題、這個內容在整個知識框架結構中處于哪個位置及其與其他內容有什么區別和聯系。這節課，筆者引導學生先建（見）森林，然后讓學生在整座森林中思考一棵樹，并通過一棵樹思考整座原始森林。

再次，這節課教（學）的是思維。數學教學歸根結底是數學思維的教學。這節課沒有一個條件，正是因為沒有條件限制，學生的思維才能全面打開。在教學中，我們看到學生在思維的海洋里天馬行空地遨游，一節課都在思考和挑戰，直指數學的核心。

最后，這節課改變了學生的思考方式。教育最難的不是教給學生知識技能，而是改變學生的思考方式。具體體現在以下兩點：

第一，改變了學生認為詞典只是語文學習工具的常識。其實，數學上很多概念問題學生靠查字典就能解決。比如：正方形為什么叫正方形？筆者教學時讓學生查字典看“正”是什么意思。學生一查，“正”是指公平、相等、一樣。所有的學生豁然開朗，它四條邊都一樣，四個角都相等，它公平、相等，所以叫正方形。緊接著筆者問：“正三角形是什么？”立刻就有學生回答：“三個角相等，三條邊相等。”筆者繼續問：“正五邊形是什么……”數學上所有帶“正”字的概念，一本字典，查一個字，竟然都解決了。

第二，課堂上，學生走到A地和B地自動就停了。很多人的思維都已經被固化了。一般情況下，不管是成人還是兒童，你給他畫一個圈，他真就不敢出去。筆者今天給學生一個新的視角———你出了界就會發現新的世界。不僅如此，還讓學生回到家看看自己的父母敢不敢出界，既能讓學生復習了今天學習的內容，還使他們強化了敢于出界的人才會發現新的世界的意識。

綜上所述，這節課教的是改變觀念和觸及人性的東西，是學生終身受益的關鍵能力、必備品格和核心素養。正如《中國教師報》褚清源主編聽了筆者這節課后發出的感慨那樣：有的教師上課是在關窗，有的教師卻在開窗。這節課的教學就是在開窗，讓學生在不斷驚嘆、驚訝中發現了數學之美。于是，在這樣的經歷中，學生的眼睛也逐漸明亮起來。