剛性路面下自動巡檢裝置的運動學建模與分析

張振博,馬訓鳴，李 揚，姜海諜

(西安工程大學 機電工程學院,陜西 西安 710048)

0 引 言

高鐵中繼站的人工巡檢存在勞動強度大、監測質量分散、安全風險高等不足，為了滿足對中繼站無人值守和安全運行的要求,基于四輪滑移轉向機構的高鐵中繼站自動巡檢裝置得以應用。自動巡檢裝置通過控制左右車輪的轉速差,使車輪產生縱向和側向滑動來完成轉向[1]。自動巡檢裝置運動學模型對研究其在空間內實時位姿、運動規律和運動控制有重要意義，研究自動巡檢裝置的運動學建模,重點在于考慮車輪滑動時的滑移率估算。文獻[2-3]在車輪純滾動無滑移這一假設下進行研究的,該情況下的滑移轉向誤差率大,難以滿足精度要求。文獻[4]提出根據縱向阻力和地面剪切變形模量的關系,估算履帶式轉向機構的縱向滑移率,文獻[5-6]則采用了前者方法,并將其用于履帶式車輛的軌跡跟蹤控制。文獻[7]把四輪滑移轉向機構近似地視為履帶式滑移轉向機構,采用文獻[4]的方法估算滑移率,但該方法僅適用于非剛性路面。文獻[8-10]則構建滑模觀測器估算縱向滑移率,具有收斂速度快,軌跡精度高的優點,但該方法只適用于軌跡跟蹤控制的滑移參數估算。文獻[11-13]采用計算瞬心坐標的方法估算滑移轉向機構的實時位姿,使得運動學建模問題大大簡化,但要求已知運動軌跡、回轉角速度不能為零,適用性不強。

本文采用基點法,對自動巡檢裝置建立局部坐標系和全局坐標系,通過坐標變換對自動巡檢裝置質心在全局坐標系下廣義變量的描述,得出自動巡檢裝置的運動學模型。在此基礎之上,通過分析輪地作用力與附著率的關系,參考輪胎模型估算縱向滑移率,解微分方程得出質心的速度和位姿數據。該方法雖然計算復雜,但針對剛性路面模型精度高、適用性強。

1 自動巡檢裝置的運動學建模

在對巡檢裝置進行數學描述時,做如下假設:

1) 假設車輪與車架均是剛體,二者間僅存在相對軸向轉動關系;

2) 假設同側驅動輪轉速相同, 車輪質心位于旋轉中心上, 且4個輪子的幾何中心均布于同一平面;

3) 假設自動巡檢裝置質量分布均勻,質心與幾何形心重合,且僅在水平方向上旋轉或者平移。

1.1 自動巡檢裝置的運動學分析

巡檢裝置通過左右車輪轉速差和地面滑動摩擦的共同作用下產生不同轉彎半徑的滑移轉向,穩態的滑移轉向運動可近似理解為勻速圓周運動。滑移轉向時的輪胎滑移可分解為車體局部坐標系下的縱向滑動和側向滑動,實際情況下滑移轉向是在車輪相對地面滾動和滑動的共同作用下產生的[14]。

圖 1 滑移轉向的運動學分析Fig.1 Kinematics analysis of slip steering

規定逆時針方向為姿態角θ的正方向,則局部坐標系下,自動巡檢裝置的運動學模型為

(1)

全局坐標系下,自動巡檢裝置的運動學模型[7]為

(2)

1.2 自動巡檢裝置的動力學分析

滑移轉向時左右車輪的驅動力不一致而產生的橫擺力矩,會迫使自動巡檢裝置繞運動平面的法線軸橫擺轉動[4]。滑移轉向從初始到穩態這一過程,自動巡檢裝置既有縱向和側向的加速度,又有橫擺角加速度。質心絕對加速度既與局部坐標系下的質心速度的導數有關,又受橫擺角速度影響[15]。滑移轉向運動的縱向滑移率和側向滑移率跟機構質量、牽引力、縱向阻力和側向阻力等力學因素有關。

穩定滑移轉向狀態下,機構繞瞬心ICR圓周運動的切向加速度為0,此時機構處于受力平衡狀態。根據達朗貝爾原理,列出質點系平衡方程

(3)

(4)

式中：Fi(i=1,2,3,4)為所對應的車輪的牽引力,同側牽引力相同,F1=F2=FL,F3=F4=FR；Pi(i=1,2,3,4)為對應車輪的側向阻力；Rx為縱向阻力的合力；Mr為側向阻力產生的轉動阻力矩；fc為機構的運動慣性力。fc數學表達式為

(5)

1.2.1 縱向阻力分析 縱向阻力Ri等于車輪所受支持力Ni與縱向動摩擦因數fr的乘積,表示為Ri=frNi,(i=1,2,3,4)。

圖 2 縱向阻力分析Fig.2 Longitudinal resistance analysis

圖2是自動巡檢裝置的豎直方向受力分析圖,NL和NR分別表示機構左右車輪所受支持力的合力,h為質心C距地面高度,列出受力平衡方程為

(6)

同側車輪所受支持力相等,N1=N2,N3=N4,縱向阻力表示為

(7)

1.2.2 側向力分析 自動巡檢裝置沿地面側向滑移時,地面對車輪有側向阻力Pi(i=1,2,3,4)。車輪與地面接觸面上各點所受側向力f(x)與到瞬心ICR的縱向距離x呈正相關[16],即f(x)=kx。

圖 3 側向力分析Fig.3 Lateral force analysis

圖3所示為左側兩輪的側向力分布圖,其中d是輪胎與地面接觸線的縱向長度。滑移轉向的側向力分布關于車身縱軸對稱,即P1=P3,P2=P4,則4個輪子側向力表示為

(8)

總側向力等于重力與側向阻力系數的乘積,即P=μtW,則相關系數為

(9)

聯立式(8),(9)得

(10)

1.2.3 轉動阻力矩 巡檢裝置滑移轉向時,側向力對瞬心的轉矩將阻礙機構橫擺運動,該轉矩稱為轉動阻力距,用符號Mr表示,可得以下關系式：

(11)

1.3 縱向滑移率和側向滑移率

1.3.1 縱向滑移率 輪胎與剛性路面縱向滑移率可通過相應的數學模型表示,Burckhardt等在大量的輪胎與路面實驗基礎上得出了一種半經驗的μ-s輪胎模型[17],模型表達式為

μi=c1(1-exp(-c2εi))-c3εi

(12)

式中:μi(i=1,2,3,4)為車輪附著率;縱向滑移率ε1=ε2=εL,ε3=ε4=εR；c1=1.197 3，c2=25.168，c3=0.537 3,為干混凝土地面辨識參數。附著率是縱向滑移率的函數,且不論對驅動還是制動,其變化規律都是相同的[18]。在此特別指出,當車輪處于牽引狀態時,縱向滑移率取正值;反之處于制動狀態,縱向滑移率取負值。

車輪附著率是驅動輪所受的切向力Fa與法向力Fz的比值[19-20],朱燕燕等[21]指出該關系式僅適用于直線運動的情況,對于滑移轉向運動而言,不能完全表達接觸力與附著率的關系,合理的滑移轉向車輪附著率表達式為

(13)

1.3.2 側向滑移率 側滑因子S與側向滑移率ξ存在數學關系ξ=2S/B,其數值和質心的側向速度有關,通過力學分析,將式(5),(7),(10),(11)代入式(4)可得自動巡檢裝置滑移轉向的側向滑移率為

(14)

2 運動學模型驗證

建立與高鐵中繼站自動巡檢裝置等效的虛擬樣機,如圖4所示。

圖 4 自動巡檢裝置的虛擬樣機Fig.4 Virtual prototype of the automatic inspection equipment

虛擬樣機模型的地面—輪胎接觸力參數、機構參數和輪地作用力參數見表1。

表 1 模型參數表Tab.1 Model parameters

2.1 運動學模型求解與虛擬樣機仿真

針對運動學模型,結合表1 數據,時間跨度30 s,時間步長0.1 s,計算出不同時刻的理論實驗數據。為驗證運動學模型的正確性,對虛擬樣機模型仿真得出表1 參數下的質心軌跡、速度等仿真實驗數據。

2.2 誤差分析

為避免稀釋誤差率數據,以一個完整的滑移轉向周期進行分析,綜合對比運動學模型與虛擬樣機的各項轉向特性數據。

圖 5 縱向速度與誤差率Fig.5 Longitudinal velocity and percen-tage error

圖 6 側向速度與誤差率Fig.6 Lateral velocity and percentage error

圖5中,加速階段運動學模型和虛擬樣機的速度變化略有差異,穩態階段二者速度基本保持一致。由圖6所示的側向速度曲線可以得知,運動學模型速度曲線走勢平穩,虛擬樣機速度曲線則波動明顯。同樣,對比圖7姿態角速度曲線可以發現,前者在整個滑移轉向周期內有輕微的波動,后者則相對平穩一些。本文中所建立的運動學模型不考慮輪地摩擦產生的機械振動,而虛擬樣機在滑移轉向時受到輪地摩擦振動,在速度方向有振動位移,再者側向速度數值較小,所以波動明顯。縱向速度也存在數值波動,而縱向速度數值較大,波動較小,兩側縱向滑移率波動也較小,由于姿態角速度與縱向滑移率有關,因此姿態角速所受影響相對要小很多。

圖 7 姿態角速度與誤差率Fig.7 Attitude angular velocity and per-centage error

表2是圖5～7中3個速度在滑移轉向加速階段(0～0.5 s)、穩態階段(0.5～15.9 s)和完整周期內的速度期望、平均誤差率和方差。

表 2 速度數據分析Tab.2 Analysis of velocity data

圖8為一個轉向周期內的滑移轉向質心軌跡對比,可近似看作為圓形,轉彎半徑約1.192 m,可見滑移轉向過程中二者差距不大,軌跡基本重合。相比虛擬樣機,滑移轉向過程中運動學模型的質心軌跡始終在同一個方向上有偏移,但由于穩態階段占整個滑移轉向周期的96.86%,并且該階段縱向速度誤差率極小,側向速度誤差率雖大但數值小,不足以造成圖中的所示的誤差量;再者考慮到軌跡偏移情況,說明虛擬樣機速度略大,其偏移狀態也正好與表2中數據吻合。

圖 8 質心軌跡Fig.8 Centroid trajectories

圖9是一個滑移轉向周期內位姿誤差和角位移的關系。Δθ，Δs分別表示全局坐標系下,運動學模型和虛擬樣機的姿態角誤差、二者質心軌跡相對于初始點(0,0)的位移誤差。相比滑移轉向的穩態階段,受摩擦振動干擾的非穩態階段的初始速度小,加速時間短,即使速度誤差稍大,二者位移也相差不大,所以呈現出圖中Δθ，Δs曲線。整個滑移轉向周期內,位姿角最大誤差0.006 2 rad,平均誤差0.004 1 rad,方差1.63×10-6,由此可見姿態角誤差較為可靠;位移誤差則呈類正弦周期性變化,周期15.9 s,最大誤差0.015 4 m。

圖 9 位姿誤差 Fig.9 Pose errors

滑移轉向涉及內容復雜,其中包含摩擦和振動等因素。上述內容僅考慮在特定地面參數作用下的運動狀態,存在滑移摩擦產生的振動、轉動副摩擦等因素造成的誤差。但由于運動學模型與虛擬樣機質心位姿誤差在要求范圍之內,故認為該實驗條件下,摩擦振動對滑移轉向穩定性的影響可以忽略不計。

3 結 語

1) 建立了針對剛性路面的高鐵中繼站自動巡檢裝置的運動學模型;對自動巡檢裝置進行了動力學分析;搭建了高鐵中繼站巡檢裝置的虛擬樣機。

2) 利用Matlab解運動學方程,得出滑移轉向的理論數據，利用Adams仿真虛擬樣機,得出滑移轉向的仿真數據。分析了局部坐標系下,運動學模型和虛擬樣機的縱向速度、側向速度、姿態角速度誤差率;分析了全局坐標系下,二者的位置誤差和姿態角誤差。結果表明:轉彎半徑1.192 m的穩定滑移轉向運動狀態下,姿態角誤差在0.006 2 rad以內,位移誤差在0.015 4 m以內,達到了高鐵中繼站自動巡檢裝置的運動學模型精度要求。該運動學模型可應用于剛性路面下巡檢裝置滑移轉向的運動軌跡估算。