“一分為二”破解函數(shù)問題

安徽省碭山中學(xué) (235300) 蓋傳敏

近年來的高考試題和模擬試題中，常常出現(xiàn)初等函數(shù)的復(fù)合型函數(shù)問題，試題結(jié)構(gòu)新穎，內(nèi)容豐富.在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，若能根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，將函數(shù)“一分為二”，即構(gòu)造兩個新函數(shù)，然后借助數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想來處理，常能化難為易，讓人感到耳目一新.下面結(jié)合實例予以說明.

A.(-∞,0)B.(-∞,0)∪(2,+∞)

例2 (2019皖南聯(lián)考)等比數(shù)列{an}中，a1=2,a8=4，函數(shù)f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),則f(0)=( ).

A.26B.29C.212D.216

分析:構(gòu)造函數(shù)g(x)=x,h(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)，則f(x)=g(x)·h(x),f(x)=g(x)h(x)+g(x)h′(x)=h(x)+xh′(x)，所以f′(0)=h(0)=(-a1)(-a2)…(-a8)=(a1a8)4=216，故選D.

點評:直接對函數(shù)f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8)求導(dǎo)難度較大，若根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點將f(x)“一分為二”，即構(gòu)造函數(shù)g(x)=x,h(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a8),則f(x)=g(x)·h(x),然后利用兩個函數(shù)之積的求導(dǎo)公式求解.

例3 (2017年新課標Ⅱ理21)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0，求實數(shù)a的值.

分析:由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞)，所以f(x)≥0等價于ax-a-lnx≥0，即lnx≤ax-a，構(gòu)造函數(shù)h(x)=lnx,g(x)=ax-a，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=h(x)圖像恒在直線y=g(x)的下方.由于函數(shù)y=h(x)和直線y=g(x)均過點(1,0),所以直線y=ax-a必是曲線y=h(x)在點(1,0)處的切線，因此a=h′(1)=1.

點評:如果利用分類討論求解，過程繁瑣，此時若將不等式f(x)≥0“一分為二”，即構(gòu)造函數(shù)h(x)=lnx,g(x)=ax-a，則不等式f(x)≥0可轉(zhuǎn)化為h(x)≤g(x),由圖像易知，直線y=ax-a為函數(shù)y=h(x)在點(1,0)處的切線.

(1)求a,b的值；

分析:(1)a=1,b=1.

高考題和模擬題往往具有代表性、典型性和示范性，教學(xué)中應(yīng)重視對典型試題解法進行探究，可深化學(xué)生的思維層次，提高學(xué)生的解題水平.