“位值”背后的基本活動

□郜舒竹

如果把知識視為是在活動中習得或生成的，技能是在活動中提升并熟練的，思想是在活動中感悟并凝練的，經驗是在活動中產生并積累的，那么讓學生有機會經歷“基本活動”，就成為數學課程目標的核心。

“課標”中所說的基本活動經驗指的是“數學的……基本活動經驗”，不妨先把定語“數學的”去掉，關注一下人們日常的活動與數學的關系。下面以小學數學課程中“位值（Place Value）”的認識進行說明。

一、什么是“位值”

“位值”一詞，應當是從英文“Place Value”翻譯而來的，指的是在十進制記數時，用有限的十個數字符號“0，1，2，3，4，5，6，7，8，9”，表達無限多的自然數。位值是一種人為規定的規則，即并排寫出的數字，在不同的位置所表示的值是不同的。比如“22”，表面看兩個數字符號“2”并列，但個位的“2”表示兩個“一”，而十位的“2”表示兩個“十”，因此“22”表示的是“兩個十和兩個一”。簡單說，位值就是“位置有值”。

位值作為人為規定的一種記數規則，實質是把數作為語言進行書寫表達的語法，是人類智慧的體現，這種智慧表現為用0～9 這有限的十個數字符號，表達出無限多的自然數，實現了有限與無限的對立統一。因此，成為全世界不同國家、不同語言、不同文化共同接受的記數方式，也成為所有不同國家、不同語言、不同文化的數學課程中必不可少的共同內容和文化。

作為數學課程內容，位值可以說貫穿教學的始終。小學階段關于整數的認識、計算，以及小數、分數的認識、計算等等，初中階段關于有理數的認識、計算等等，都離不開對位值的理解。

直觀上看，位置上的值是看不見的，具有表里不一的特點，因此會導致認知的困難。特別是低齡兒童剛開始學習的時候，比如教學實踐中發現，類似于“33-3＝3”的錯誤極其普遍，究其原因，是把并列的兩個3，即“33”看作“3 和3”的關系，忽略了位置上的值，“33-3”的運算就成為“從3和3中拿走一個3，自然還剩下一個3”。而位值作為規則，規定“33”表達的是“30和3”，其中的“30”從“33”的外表中是不可見的。正是這樣的表里不一，使得位值對于低齡兒童具有抽象性，這樣的抽象性自然會導致普遍性的認知困難。

“也不是的，我二三十歲時很想結婚。但最初的幾次婚姻，更像是彩排。后來，我找到了能過一輩子的女人，是她遏制了我結婚或離婚的慣性，但她婚后幾個月就死了?！?/p>

數學課程中諸如此類具有抽象性的內容很多，為了尋求更有效的課程設計與教學實施的方法，先簡要介紹與“涉身認知（Embodied Cognitive）”有關的幾個概念。

基于“生成論（Enactivism）”的認知科學有一種涉身認知的說法，其基本假設源于生物學，認為所有生物體（包括人）的認知活動，都是自身身體、大腦在與外部環境的互動中進行的，倡導讓大腦回歸肉身，認知是涉及身體以及身體活動的。知識并不僅僅是吸收和表征的，而是在與環境互動過程中生成的。生成論否定知識的靜態觀念，認為知識本身就是過程，強調“做即知，知即做”[1]。

涉身認知否定認知活動是單純的頭腦中的智力活動，強調認知活動的涉身性，即身體以及身體活動的不可或缺。其中兩個核心詞匯分別是“意象圖式”和“隱喻”，下面結合幾乎每位學生都要反復經歷的“上學”的過程進行說明。

二、“上學”的活動

不妨把上學的過程概括為如下的系列活動，這些活動都是人的身體需要參與并經歷的。

●出門前需要“收拾書包”；

●背上書包“走出家門”；

●路上“乘坐公交車”，也可能是其他交通工具；

●到達學?！斑M入教室”。

整個“上學”過程中，出現了諸如“書包、家、公交車、教室”這些對象（Object），相當于涉身認知中所說的外部環境。整個上學的過程，就是人身體與這樣的環境互動的過程。

所有這些對象共同的特征是，都有“內部”和“外部”，人身體的活動自然就包括“從外到內”和“從內到外”。收拾書包的過程有“取出”和“放入”的活動，家的房間和教室的房間都有“走進”和“走出”的活動，公交車有“上車（進入車廂）”和“下車（走出車廂）”的活動。諸如此類“出—入”的活動，是包括低齡兒童在內的大部分人每天都會反復經歷的。

提及書包、房間、車廂，頭腦中自然會浮現出相應的影像（見圖1）。

這樣的影像在認知科學（Cognitive Science）中叫作“意象（Image）”，也就是頭腦中的圖像（Picture in mind）。結合這些意象，“內—外”的空間關系，以及人身體“從內到外”和“從外到內”的活動，頭腦中就會產生一個結構（System）或模式（Pattern），這樣的結構或模式也叫“圖式（Schema）”，其實就是通常所說的思維方式。

這樣的思維方式是在反復的互動過程中無意識地、自然而然地形成的。鑒于“內—外”的空間關系以及“出—入”的身體活動，都具有容納、包容的特征，因此這種思維方式可以命名為“容器（CONTAINER）”圖式[2]，是諸多意象圖式（Image Schema）中的一種（見圖2）。

圖2 容器示意圖

圖3 容器圖式示意圖

意象圖式是從相對具體的意象中得到的，其作用一方面是對人身體有共性的日?；顒踊蛐袨榈母爬ǎ硪环矫婵梢詫⑵鋺糜谄渌?、更廣泛的活動。比如人用餐過程中的盛飯、吃飯，其中的飯碗、嘴也都具有內—外的空間關系，人身體的活動同樣具有出—入的動作，因此也可以納入到容器圖式中。

意象圖式同時具有涉身性和概括性，往往用較為簡潔的圖形來表示。比如前面所說的容器圖式，通常用圖3的大小兩個圓，表示容器的內外關系以及出入的活動。對意象圖式進行研究意在系統概括人的活動方式，鑒于人日?；顒拥亩鄻有院蛷碗s性，使得意象圖式的研究成為一個開放的領域，也即不會窮盡。

進一步看“上學”的過程，收拾書包時會出現全部取出，使得書包變空的情況；也可能出現東西太多，裝不下的情況。乘坐公交車時可能出現車廂無乘客的空車廂情況，也可能出現人滿為患上不去的情況。這些經驗都與容器的“空”與“滿”類似，反復的經歷使得頭腦中會形成“空—滿”的意象，面對空就是沒有對象，還可以進入，進入可以使得容器中從無到有；對于容器的“滿”，就意味著無法進入，需要有出，才能有入。這就形成了另外一種意象圖式，可 以 命 名 為“ 空— 滿（Empty-Full）”圖式，通常用圖4兩個圓進行對比表示。其中左側圓表示“滿”，右側圓表示“空”。

更進一步，收拾書包時書包中會放入教科書、作業本、筆袋（筆盒）等不同類型的物品；進入公交車會看到男人、女人、老人、年輕人、兒童等不同類型的人；進入教室會發現有同學已經來到，有同學還沒來到，有同學在打掃衛生，有同學在讀書，等等。經歷這些過程所形成的意象，使得人自然而然產生同中求異、異中求同的思維方式，也就是形成“類別”或“分類”的意象圖式?？梢悦麨椤邦悇e（COLLECTION）”圖式。

類別圖式在人日常行為中的應用極其廣泛，比如在書架上擺放圖書，會遵循便于記憶、便于尋找的原則，因此會分門別類地進行擺放。在電腦中存放自己的文件，會依據不同類型的文件，設置不同的文件夾將文件分類，等等。

圖4“空—滿”圖式示意圖

三、容器與位值

圖5 認識位值示意圖

前面利用“上學”過程中的活動，介紹了與“出—入”活動有關的思維方式，分別為容器、空—滿以及類別三個常見的意象圖式。鑒于出—入活動的經常性和重復性，可以把容器圖式作為設計學習活動中的已有經驗。

對于抽象的認識對象，認知科學通常運用“類比（Analogy）”，也叫作“隱喻（Metaphor）”的方式進行理解。比如一個人很有學問，但這些學問從人的外表是看不見的，“滿腹經綸”這一成語就是一個類比或隱喻的說法，把人身體中的“腹”看作容器，用“滿”表示多，運用了容器圖式進行類比。再比如人的“信心”也是一個抽象的概念，存在于人的心理中，是成就事業重要的心理因素。因此會有“信心滿滿”的說法，把人的心理類比為容器，用“滿”隱喻“充足”。類似的隱喻還有滿心歡喜、心滿意足等。

對于位值，同樣可以運用與容器相關的思維方式進行理解。比如，可以將兩位數中的十位和個位這兩個位置，分別看作是兩個容器。首先應當認識兩個容器中所容納的對象是不同的。個位容器中容納的個體對象是“一”，十位容器中容納的個體對象是“十”。為了便于動手操作，可以利用如圖5的學具。

圖5 中白紙上縱向劃分出的三個區域，從右到左分別表示個位、十位、百位的三個容器。個位容器中容納的對象用正方體小木塊表示，十位容器中包含的對象用10 個小木塊連接而成的“小木條”表示，同樣百位容器中容納的對象用10個小木條連接成的正方形小木板表示。

用容器類比數位過程中，還會用到空—滿圖式的思維方式。空時表示沒有，滿10個時，就需要取出，并把這10個小木塊變為一個小木條，放入左側的十位容器中。

學生在學習過程中，如果有機會反復經歷在每個數位容器中“放入、取出”的活動，自然而然地就會將位值的認知納入頭腦中業已形成的容器圖式中，也就使得位值的抽象性得以具體化。

容器圖式在數學學習中的應用十分廣泛，比如豎式計算中的“進位”和“退位”，其實質就是將數位視為容器所進行的放入和取出的活動。對于方程的認識，比如x-3=5，可以將其中的“x”看作容器，解方程的過程就是尋找一個恰當的數放入其中，使得等式兩邊相等。中學數學課程中的函數表達式y=f(x)，起初人們就是把變量“y”看作是包含著變量“x”的容器，這也是函數一詞中“函”的來源[3]。因此數學教學中結合與容器相關的日常活動，設計學生的學習活動，是十分有益的。