推理能力培養(yǎng)三部曲
——以“多邊形內(nèi)角和”教學(xué)為例

□夏小林 朱新強(qiáng)

推理能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程與課堂教學(xué)的重要目標(biāo)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該如何培養(yǎng)學(xué)生的推理能力呢？筆者以“多邊形內(nèi)角和”教學(xué)為例，談?wù)勛约旱捏w會(huì)。

一、把握本質(zhì)，讓知識(shí)成為思維的載體

對(duì)比人教版和北師大版教材中有關(guān)“三角形內(nèi)角和”的教學(xué)內(nèi)容，我們發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)版本的教材中都專(zhuān)門(mén)安排了“發(fā)現(xiàn)”活動(dòng)：先引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)量一量、算一算，發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和在180°左右，然后借助撕拼活動(dòng)進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)三角形三個(gè)內(nèi)角可以撕拼成平角，再根據(jù)平角含義得出三角形內(nèi)角和是180°這個(gè)結(jié)論。不同之處在于：人教版教材直接明確“畫(huà)幾個(gè)不同類(lèi)型的三角形”，分類(lèi)研究的數(shù)學(xué)思想表達(dá)得更充分；北師大版教材則以表格的形式呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“三角形的形狀”，滲透分類(lèi)思想。另外，北師大版教材還告知學(xué)生“測(cè)量有誤差”。

傳統(tǒng)的教學(xué)往往以得出知識(shí)結(jié)論為主要目標(biāo)，不太重視思想方法的滲透，特別容易忽視知識(shí)背后“推理能力”的培養(yǎng)。在本課教學(xué)中，我們以“推理”為主線，先通過(guò)對(duì)一個(gè)銳角三角形內(nèi)角和的測(cè)量求和，形成猜想：是不是所有的三角形內(nèi)角和都是180°？在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生分類(lèi)研究，以組為單位，分別測(cè)量計(jì)算銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和，然后通過(guò)不完全歸納法，得出每一類(lèi)三角形的內(nèi)角和。最終在“類(lèi)”的層面上實(shí)現(xiàn)完全歸納，從而推理出所有三角形內(nèi)角和是180°的結(jié)論。另外，借助撕拼法讓學(xué)生確信所測(cè)量的三角形內(nèi)角和就是180°，同時(shí)體驗(yàn)到證明方法的多樣性。本課的教學(xué)設(shè)計(jì)將多邊形內(nèi)角和教學(xué)整合為一課時(shí)，以三角形內(nèi)角和為基礎(chǔ)，并借助三角形內(nèi)角和是180°，推理出四邊形、五邊形的內(nèi)角和，滲透探究多邊形內(nèi)角和的一般方法和模型。

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)框架如下：

二、形成猜想，讓學(xué)生站在推理的起點(diǎn)

牛頓曾說(shuō)：“沒(méi)有大膽的猜想，就沒(méi)有偉大的發(fā)現(xiàn)！”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生提出猜想十分重要。合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)—猜想—驗(yàn)證”的過(guò)程，而培養(yǎng)合情推理能力應(yīng)以觀察為基礎(chǔ)，以猜想為橋梁，以想象為動(dòng)力。教師要為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)可供猜想的情境，讓學(xué)生借助有利于引發(fā)猜想的素材，有機(jī)可“猜”。

【教學(xué)片段1】

（1）提出問(wèn)題，形成猜想。

師（出示三角形）：你有什么辦法可以知道它的內(nèi)角和嗎？生：量一量它的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后加起來(lái)。（生操作，師指導(dǎo)）

師：通過(guò)測(cè)量，我們知道了這個(gè)三角形的內(nèi)角和是180°。現(xiàn)在，關(guān)于三角形的內(nèi)角和，你有沒(méi)有一個(gè)大膽的猜想呢？

（2）討論交流，思考策略。

師：我們剛剛只知道這個(gè)三角形的內(nèi)角和是180°，是不是就可以說(shuō)所有三角形的內(nèi)角和都是180°呢？

在前測(cè)中，我們發(fā)現(xiàn)班中的大部分學(xué)生已經(jīng)知道三角形內(nèi)角和是180°這個(gè)結(jié)論，但并不清楚這一數(shù)學(xué)事實(shí)的來(lái)由。所以教師在這個(gè)環(huán)節(jié)請(qǐng)學(xué)生測(cè)量銳角三角形內(nèi)角并求和，目的不是得出三角形的內(nèi)角和是180°，而是形成猜想：是不是所有三角形的內(nèi)角和都是180°？從研究問(wèn)題和解決問(wèn)題的角度，教師提供了按角分類(lèi)的研究思路，滲透了“分類(lèi)的策略”，為合情推理提供了充分的依據(jù)。撕拼法是教師用課件演示的，這主要是因?yàn)樵谠嚱讨形覀儼l(fā)現(xiàn)學(xué)生自己很難想到，而撕拼法的價(jià)值在于發(fā)現(xiàn)任意三角形的內(nèi)角都可以拼成一個(gè)平角，而平角為180°，從而推導(dǎo)出三角形內(nèi)角和為180°。借助撕拼法驗(yàn)證，讓學(xué)生確信測(cè)量的三角形內(nèi)角和就是180°。

三、經(jīng)歷過(guò)程，讓學(xué)生體悟推理

（一）從“形成猜想”到“合情推理”三角形內(nèi)角和是180°

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為：“合情推理是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的源泉。”合情推理是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程和數(shù)學(xué)體系建構(gòu)過(guò)程中的一種重要思維形式。合情推理可分為歸納推理和類(lèi)比推理兩類(lèi)，簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理；類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理。

【教學(xué)片段2】

師：請(qǐng)第一大組任意畫(huà)一個(gè)直角三角形，第二大組任意畫(huà)一個(gè)銳角三角形，第三、第四大組任意畫(huà)一個(gè)鈍角三角形，然后量一量，算一算，看看它們的內(nèi)角和是不是180°。

（生操作，師指導(dǎo)……之后反饋三種類(lèi)型三角形的內(nèi)角和）

師：通過(guò)測(cè)量法、折紙法，我們知道了直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和都是180°，那么可不可以說(shuō)所有三角形的內(nèi)角和是180°了呢？

生：可以。

本課教學(xué)中，在反饋每一類(lèi)三角形內(nèi)角和時(shí)，采用的是不完全歸納法。以直角三角形為例，即使組內(nèi)每一個(gè)學(xué)生畫(huà)的直角三角形都不相同，我們也無(wú)法完全列舉其所包含的全部情況，但是，當(dāng)每一類(lèi)三角形的內(nèi)角和的結(jié)論都得出后（如下圖），在“類(lèi)”的層面上就實(shí)現(xiàn)了完全歸納。

（二）從“自主探究”到“演繹推理”四邊形、五邊形內(nèi)角和

如果說(shuō)三角形內(nèi)角和180°是通過(guò)提出猜想、合情推理得到的，那么四邊形、五邊形內(nèi)角和結(jié)論的得出，是經(jīng)歷完整的演繹推理的結(jié)果。

【教學(xué)片段3】

師：同學(xué)們，現(xiàn)在我們研究四邊形、五邊形的內(nèi)角和。如果不量、不折、不拼，你們能不能應(yīng)用剛剛學(xué)到的三角形內(nèi)角和的知識(shí)，來(lái)推理出四邊形和五邊形的內(nèi)角和呢？

（生操作，師指導(dǎo)）

師：你們想到辦法了嗎？生：在四邊形中畫(huà)一條線，將它變成兩個(gè)三角形，每個(gè)三角形的內(nèi)角和是180°，那么四邊形的內(nèi)角和就是180°×2=360°。（如右圖）

四邊形的內(nèi)角和是幾度呢？學(xué)生須靜下心來(lái)觀察思考：四邊形如何與三角形發(fā)生聯(lián)系，進(jìn)而再與三角形內(nèi)角和的知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系？漸漸地，“分”的意識(shí)在學(xué)生腦海中萌芽，通過(guò)嘗試連對(duì)角線（添輔助線），學(xué)生驚喜地發(fā)現(xiàn)任意一個(gè)四邊形都可以分成兩個(gè)三角形，四邊形的內(nèi)角和，也就是兩個(gè)三角形內(nèi)角的總和，即180°×2=360°。通過(guò)演繹推理可得，四邊形的內(nèi)角和是360°。在此基礎(chǔ)上，教師又進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的推理過(guò)程，清晰而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇硎鐾评磉^(guò)程。

推理四邊形內(nèi)角和360°框架

任意一個(gè)四邊形都可以分成兩個(gè)三角形（大前提）

任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180° （小前提）

所以任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是360°（結(jié)論）

三段論是演繹推理的一般模式，它包括：（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情況；（3）結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷。探究發(fā)現(xiàn)的路，就是創(chuàng)新之路。把未知的知識(shí)轉(zhuǎn)化成已知的知識(shí)解決問(wèn)題，既是策略，又是重要的數(shù)學(xué)方法，是演繹推理本質(zhì)的體現(xiàn)，即從已有知識(shí)得出新知識(shí)，特別是得到不可能通過(guò)感覺(jué)經(jīng)驗(yàn)掌握的新知識(shí)。

（三）從“知道結(jié)論”到“模型思想”，感悟多邊形內(nèi)角和計(jì)算的一般方法

【教學(xué)片段4】

師：同學(xué)們都有自己的收獲。現(xiàn)在，請(qǐng)你們觀察一下這幾個(gè)算式，發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)，每增加一條邊，內(nèi)角和就多180°。

生：我發(fā)現(xiàn)，四邊形可以分成2個(gè)三角形，五邊形可以分成3個(gè)三角形。

師：那么，除了這幾個(gè)圖形外，你知道還有哪些多邊形嗎？

師：那你能不能也用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)，來(lái)推理出這些多邊形的內(nèi)角和呢？這個(gè)問(wèn)題就留給大家課后再去研究了。

有了四邊形、五邊形內(nèi)角和推理的基礎(chǔ)，六邊形以及更多邊形內(nèi)角和的推理，在方法運(yùn)用上已經(jīng)水到渠成了。得出“多邊形內(nèi)角和”的計(jì)算模型，是本堂課“錦上添花”的一筆！

縱觀整節(jié)課的學(xué)習(xí)路徑：三角形內(nèi)角和教學(xué)，以實(shí)例測(cè)量形成猜想，合情推理；以“三角形內(nèi)角和是180°”，運(yùn)用演繹推理證明四邊形、五邊形內(nèi)角和，合情推理、演繹推理兩種推理方式相得益彰。合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗(yàn)證，演繹推理可以驗(yàn)證合情推理的正確性，合情推理可以為演繹推理提供方向和思路。一句話：合情推理使學(xué)生“知其然”，演繹推理使學(xué)生“知其所以然”。