讓學生經歷數學發現之旅
——記一堂“兩位數乘兩位數”的練習課

□沈秋紅

教學人教版三年級下冊“兩位數乘兩位數”時，有學生出現21×19=20×20=400這樣的錯誤，把加法計算中移多補少的方法誤用到乘法算式中。筆者反思了自己的教學：學生對乘法計算的算理是否理解？根據以上錯例，筆者設計了一節“兩位數乘兩位數”的練習課，并與“面積”單元的內容相整合，制定了如下教學目標：通過比較，發現兩個因數和相等的這類乘法算式的變化規律，并能根據規律比較積的大小，根據規律進行計算；數形結合，有效理解乘法計算與圖形面積之間的關系，感受數學的魅力。

浙江省數學教研員斯苗兒老師說：數學教學應遵循“學生立場、單元視角、有機整合、適度拓展”的原則。這堂課筆者站在學生的立場設計練習，把相關聯的知識整合起來進行教學，既關注基礎，又適度進行拓展。課堂上，學生積極參與，深入思考，積極性高，學習效果好！

一、立足學生立場，落實基礎，開拓思維發展

【教學片段1】

教師出示如下情境：

學校組織三年級學生看電影，共398 人，下面哪個電影院比較合適？

①號影院：有21排座位，每排可容納19人。

②號影院：有22排座位，每排可容納18人。

③號影院：有23排座位，每排可容納17人。

估一估每個電影院大約有多少個座位；算一算每個電影院的準確座位數。

學生通過先估算再列豎式計算得到三個影院具體的座位數。

①號影院：21×19=399。

②號影院：22×18=396。

③號影院：23×17=391。

顯然，選擇①號影院比較合適，因為另外兩個影院的座位數小于學生人數。

教師應通過讓學生估一估，幫助他們養成先估再算的良好習慣，提高計算的正確率。觀察學生的估算方法，主要有兩種：兩個因數都估、只估其中一個因數。再經過計算，使兩位數乘兩位數的筆算方法得到鞏固。不足之處在于“能結合具體情境進行估算”這一子目標未能較好體現。在具體情境中估算，要考慮估大估小的問題，從這一點考慮，本組材料中的數據可以再作調整，使教學目標更加細化。

師：誰來猜一猜，接下來老師會出一道怎樣的算式?

生：24×16。

師：估一估這個算式的結果。

生：大約是400，但比400要小。

生：我覺得比391還要小。

師：到底是多少，需要擺一擺豎式。

計算后得出結果：24×16=384。

這時黑板上共有5個算式：

20×20=400；21×19=399；22×18=396；23×17=391；24×16=384。

師：仔細觀察這組算式，你能發現什么規律？

生：我發現兩個因數的和一樣，都是40，而差不相同。

生：一個因數在逐漸變大，另一個因數在逐漸變小。

生：我發現積越來越小了……

小結：在這組算式中，兩個因數的和相等，這兩個因數越接近，積就越大，否則就越小，可以用下面的圖形（大?。﹣肀硎?。

通過觀察與比較，學生明白和相同的兩個因數，積可以不相同，這與周長相等的長方形面積可以不同是同樣道理。

二、巧用生成資源，調整策略，捕捉智慧亮點

【教學片段2】

生：我發現算式的得數有規律地在變化。400到399 少1，399 到396 少3，396 到391 少5，391 到384 少7。接下來就是少9，所以我能直接說出25×15的答案，384-9，是375。

學生的發現馬上就得到了其他同學的共鳴：是的是的，我也發現了，這樣我們還可以直接計算26×14，27×13……這些算式的結果了。

板書整理： 20×20=400

21×19=399 22×18=396 23×17=391 24×16=384

小結：（兩因數）和相等的一組乘法算式，其中一個因數逐漸變大（或變小），積逐漸小1，小3，小5，小7，小9……

師：剛才這位同學發現的這個規律很有用，但是不是所有這樣的一組算式都適用這個規律呢？

生：老師，你給我們出一組類似的算式，我們先根據規律計算，然后再列豎式來驗證下就行了。

師（把問題拋給學生）：那誰能給我們出一組這樣的算式呢？

（學生興趣盎然，都舉手要求給大家出題目。教師要求同桌合作，一生出題一生說答案，然后列豎式驗證得數的正確性。之后教師出示以下兩組算式）

①根據25×25=625，計算：

26×24= 27×23= 28×22= 29×21=

②根據50×50=2500，計算：

51×49= 52×48= 53×47= 54×46=

大部分學生都能直接寫出結果，很是得意。

課堂上教師要善于捕捉學生智慧的閃光點，引導學生進一步思考，深入討論，并進行適當的歸納與對比。兩位數乘兩位數和相等的這組算式，學生不僅判斷出積的大小關系，還找出前后兩個算式間的關系與規律，充分發揮了主觀能動性。

三、善用再生資源，深度思維，豐富細化目標

【教學片段3】

課上到此時教師準備告一段落，學生也沉浸在收獲的喜悅中，這時傳來一個弱弱的帶著質疑的聲音：如果兩個因數離50 比較遠的話，算起來很麻煩。如計算55×45，還得把前面的算式都寫出來，太麻煩了，還不如直接寫豎式。

課堂再次變得安靜，學生似乎都在思考這位同學提出的問題，并陸續有人點頭表示認同。

教學要舍得給學生思考的時間，安靜之后一定會有爆發。一分多鐘之后，課堂上出現了幾只高高舉起的小手。

生：老師，我有辦法了。不用寫出55×45 前面的算式，也能直接計算它的答案。

師：很期待你的想法!

生：只要把下面的算式都和第一個算式去比較就可以了，比如21×19=399，20×20=400這兩個算式中的第一個因數21 與20 相差1，得數399 與400 相差1；同理22×18=396，20×20=400 中的第一個因數22 與20 相差2，得數相差4（2×2=4）；23×17=391，20×20=400 中的23 與20 相差3，得數相差9（3×3=9），所以計算55×45，我們只要看第一個因數55 與50 相差幾（5），得數就相差幾乘幾的積（5×5=25），只要用2500-25就可以了。

其他同學紛紛列豎式驗證其正確性，課堂上自覺地響起了熱烈的鼓掌聲。

板書整理：

小結：（兩因數）和相等的一組乘法算式，與兩個因數相等的算式相比，其中一個因數增加（或者減少）幾，積就減少幾乘幾的積（即幾的平方數）。

生：老師，我能計算59×41=50×50-9×9=2500-81=2419（參考50×50）。

生：我知道36×44=40×40-4×4=1600-16=1584（參考40×40）。

生：27×23=25×25-2×2=625-4=621（參考25×25）。

……

教師布置課后作業：

①根據35×35=1225，

計算36×34=1225-（ ）=（ ）

37×33= 38×32= 39×31=

②根據89×89=7921，

計算92×86=7921-（ ）=（ ）

95×83= 97×81=

③直接寫出答案63×57= 106×94=

④（ ）×（ ）=（ ）

教師應鼓勵學生創造性地提出意見，善于發現各種有價值的資源（再生資源），給學生提供進行質疑、爭論、反駁的機會，并適時加以引導點撥，作為“即時目標”，打造具有高階思維的課堂。

四、數形結合，回歸整體，強化學習效果

【教學片段4】

“兩位數乘兩位數”的下一單元就是“長方形正方形的面積計算”，如何踐行計算教學與空間圖形的有效結合。結合本課例，對于“周長相等的長方形，長和寬越接近，面積就越大”顯然可以解釋得更加到位；同時也是對前面發現的規律的實際應用。

教師出示思維練習：王大伯用24 米長的竹籬笆圍一塊菜地，怎樣圍面積最大（注：長和寬都是整米數）？

用24 米長的竹籬笆圍長方形，也就是長方形菜地的周長是24米，那么長加寬等于12米，表格呈現以下6種情況。

周長（米）24長（米）6 7 8 9 10 11寬（米）6 5 4 3 2 1面積（平方米）6×6=36 7×5=35 8×4=32 9×3=27 10×2=20 11×1=11

觀察面積這一列算式：

得出結論：

①當長為11 米，寬為1 米時，長和寬相差最大，面積最小，是11平方米。

②當長為6米，寬為6米時，長和寬最接近（此時剛好是一個正方形），面積最大，是36平方米。

③跟正方形邊長相比，長（或者寬）相差1 米，面積就相差1平方米，長（或者寬）相差5米，面積就相差25（5×5）平方米。

圖形呈現（單位：米）如下。

7×5=35。把6×6 正方形最下面的1 排小正方形（6 個）旋轉90°拼接到右邊，結果多出一個小正方形。

8×4=32。把6×6 正方形最下面的2 排小正方形旋轉90°拼接到右邊，結果多出4個小正方形。

繼續拼接下去，就會多出9（32）個，16（42）個，25（52）個小正方形。

教師出示拓展練習：李阿姨家有一塊用竹籬笆圍成的長方形菜地，長36 米，寬28 米，現在要進行改建，要求在不增加材料的情況下增加菜地的面積，可以嗎？最多能增加多少平方米？

經過計算最多能增加：4×4=16（平方米）。

如果用字母式表示，就是：

可得到a×a-b×b=（a+b）×（a-b），即平方差公式。

兩位數乘兩位數，學生發現了三條規律，由淺入深，結合這三條規律，用數形結合方式進一步加以驗證鞏固，同時也使得周長和面積的關系因為有算式的支撐更加明確，更加豐富。學生明白了隨著長和寬的變化，面積是如何變化的，體現了數形結合的思想，學生感悟到知識之間是相互連通的。

學生經歷的數學發現之旅，是他們高階思維發展的體現。