復(fù)習(xí)課堂中的生長(zhǎng)數(shù)學(xué)

朱鳴

[摘? 要] 在八年級(jí)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)教學(xué)中，將軸對(duì)稱(chēng)、二次根式、一次函數(shù)等相關(guān)內(nèi)容一網(wǎng)打盡，充分挖掘其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，借助數(shù)形結(jié)合的“原動(dòng)力”、分類(lèi)討論的“生長(zhǎng)節(jié)”、假設(shè)方程的“選擇器”，作為后續(xù)課堂“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”教學(xué)的開(kāi)端，使數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在此生根發(fā)芽，茁壯成長(zhǎng).

[關(guān)鍵詞] 生長(zhǎng)數(shù)學(xué);復(fù)習(xí)課堂;勾股定理

生長(zhǎng)數(shù)學(xué)下的價(jià)值判斷

1.？搖授課對(duì)象

本節(jié)內(nèi)容授課對(duì)象為某實(shí)驗(yàn)初中八年級(jí)平行班學(xué)生.

2.搖教材分析

所用教材為蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué) 》（八年級(jí)上冊(cè)）. 教學(xué)內(nèi)容為 “勾股定理”“勾股定理的逆定理”“勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用”等相關(guān)課程. 如果期末復(fù)習(xí)只拘泥于以上內(nèi)容，在這個(gè)框框內(nèi)翻轉(zhuǎn)騰挪，那培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的效果不免要打折扣.

3.搖學(xué)情分析

學(xué)期已步入尾聲，學(xué)生較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了“軸對(duì)稱(chēng)圖形”“勾股定理”“實(shí)數(shù)”“平面直角坐標(biāo)系”“一次函數(shù)”等相關(guān)知識(shí)，學(xué)生對(duì)于以上各獨(dú)立的知識(shí)或許掌握尚可，但若通過(guò)某一堂課或緊密相連的幾節(jié)課將八年級(jí)上冊(cè)所學(xué)知識(shí)較系統(tǒng)、有邏輯地加以綜合，學(xué)生會(huì)倍感吃力. 基于上述的教材觀、學(xué)生觀、教學(xué)觀，可以確定下列教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重難點(diǎn).

4.搖目標(biāo)要求

教學(xué)目標(biāo)：

①了解勾股定理的代數(shù)表示和幾何意義，能夠靈活運(yùn)用勾股定理解決一些問(wèn)題.

②通過(guò)具體問(wèn)題，進(jìn)一步掌握數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)、方程等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展合情推理和演繹推理能力.

③回顧本章所學(xué)知識(shí)和方法，對(duì)本章知識(shí)進(jìn)行梳理，使所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合視角下的勾股定理應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：建構(gòu)章節(jié)知識(shí)體系，初步感受在分類(lèi)思想下使用方程研究問(wèn)題的一般科學(xué)方法.

價(jià)值判斷下的活動(dòng)設(shè)計(jì)

1. 建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

教師：學(xué)期步入尾聲，今天這節(jié)課，老師想和同學(xué)們復(fù)習(xí)一下“勾股定理”的相關(guān)內(nèi)容（板書(shū)課題：勾股定理復(fù)習(xí)）. 在開(kāi)始前，我們不妨先熱身一下.

問(wèn)題1：已知，如圖1，直線(xiàn)解析式y(tǒng)=-■x+6 與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)A.

教師：請(qǐng)直接說(shuō)出A，B的坐標(biāo).

學(xué)生1：A（0，6）， B（8，0）.

教師：請(qǐng)計(jì)算一下A，B兩點(diǎn)之間的距離.

學(xué)生2：AB=10，由圖形中的直角三角形出發(fā)，利用勾股定理，直接計(jì)算斜邊長(zhǎng).

教師：學(xué)生2回答的思路十分清晰，那還有其他方法可以求出AB兩點(diǎn)之間的距離嗎？

學(xué)生2：不知道了.

學(xué)生3：（舉手示意）兩點(diǎn)之間距離公式AB=■，代入即可.

教師：計(jì)算A，B兩點(diǎn)之間的距離，這個(gè)距離公式正是源自于勾股定理. 那如何計(jì)算點(diǎn)O到線(xiàn)段AB的距離呢？同學(xué)們可以花2分鐘時(shí)間，著手解決一下.

學(xué)生4：等積法，距離為■.

教師：學(xué)生4反應(yīng)很快. 我們發(fā)現(xiàn)在初中階段，和兩點(diǎn)之間的距離相對(duì)照，點(diǎn)線(xiàn)之間的距離問(wèn)題常使用等積計(jì)算來(lái)解決.

問(wèn)題2：已知，如圖2，將點(diǎn)B沿平行于y軸的直線(xiàn)向上平移10個(gè)單位到C點(diǎn)，在x軸上找一點(diǎn)P，使AP與CP的距離之和最小.

教師：請(qǐng)各位拿出作圖工具，在活動(dòng)單上找出點(diǎn)P，并求出此時(shí)的距離和，可以花5分鐘來(lái)解決問(wèn)題.？搖（教師巡視，由于時(shí)間間隔較久，學(xué)生對(duì)于利用“小馬喝水”這類(lèi)模型，結(jié)合期初“軸對(duì)稱(chēng)”章節(jié)中的中垂線(xiàn)性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題顯得較為生疏）

教師：好，時(shí)間到了，有誰(shuí)能解決這個(gè)問(wèn)題？

學(xué)生5：（上臺(tái)展示）這是一個(gè)“小馬喝水”問(wèn)題，關(guān)鍵是找出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，然后構(gòu)造直角三角形，用勾股定理解決.

教師：學(xué)生5在幫大家回憶往昔，常規(guī)思路，常規(guī)操作！那你們能求出此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)嗎？

學(xué)生6：可以使用“一次函數(shù)”來(lái)解決問(wèn)題，由確定的兩點(diǎn)，解出直線(xiàn)解析式，然后求出其與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，就是P點(diǎn)的坐標(biāo)了.

教師：學(xué)生6提供了一種我們現(xiàn)有水準(zhǔn)可以解決問(wèn)題的方法，十分不錯(cuò). 今后，隨著學(xué)習(xí)進(jìn)程加深，此類(lèi)問(wèn)題還可以采用其他的方法來(lái)解決，例如“相似”.

教師：同學(xué)們，以上兩個(gè)問(wèn)題有圖有真相，然后再使用代數(shù)的方式寫(xiě)寫(xiě)算算，如果我們將這兩者結(jié)合起來(lái)看，就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種基本方法，你們覺(jué)得這種方法叫什么？

學(xué)生7：數(shù)形結(jié)合.

教師：（板書(shū)：數(shù)形結(jié)合）言簡(jiǎn)意賅！

問(wèn)題3：已知，如圖3，x軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，與點(diǎn)A，B構(gòu)成一個(gè)三角形，若AB=10，AP=2■，BP邊上的高為6.

教師：請(qǐng)自行作圖，求出△ABP的面積.

學(xué)生8：（上臺(tái)展示，只展示了P點(diǎn)在O點(diǎn)右側(cè)的情況）？搖？搖？搖？搖？搖

學(xué)生9：還有，還有. （上臺(tái)展示， P點(diǎn)在O點(diǎn)左右兩側(cè)的情況都考慮了）

教師：這個(gè)問(wèn)題蘊(yùn)含什么數(shù)學(xué)思想？

學(xué)生（齊）：分類(lèi)思想.

教師：典型的分類(lèi)思想. （板書(shū)：分類(lèi)思想）世間萬(wàn)事不是非黑即白，我們?cè)诮窈蟮纳詈蛯W(xué)習(xí)中要學(xué)會(huì)全方位、多角度地思考問(wèn)題，分門(mén)別類(lèi)，有條不紊地解決問(wèn)題.

問(wèn)題4：已知，如圖4，若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到∠OAB的平分線(xiàn)上時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

教師：又來(lái)一個(gè)求坐標(biāo)的問(wèn)題，能用先前的方法解決嗎？如果不行，該怎么辦？

教師：學(xué)生10，能解決嗎？

學(xué)生10：（搖頭）不會(huì).

學(xué)生11：（搖頭）沒(méi)有思路.？搖？搖？搖？搖

教師：（提示）在問(wèn)題陷入“絕境”時(shí)，你不妨假設(shè)已經(jīng)找到了這點(diǎn)，在“軸對(duì)稱(chēng)”這一章中，你們剛剛用過(guò)了“中垂線(xiàn)的性質(zhì)”那還有什么性質(zhì)呢？

學(xué)生12：角平分線(xiàn)性質(zhì).

教師：（微笑點(diǎn)頭）

學(xué)生13：（上臺(tái)展示）由角平分線(xiàn)性質(zhì)知道OP與P到AB的距離相等，構(gòu)造直角△PHB，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題.

教師：具體一點(diǎn).

學(xué)生13：我是設(shè)OP為x，則BP=8-x，PH=x，BH=4.

教師：（轉(zhuǎn)向班內(nèi)學(xué)生）能理解BH=4嗎？

學(xué)生13：就是10減去6嘛（向同學(xué)解釋?zhuān)?

教師：至此問(wèn)題解決了. 學(xué)生13，這是一種什么數(shù)學(xué)思想？

學(xué)生13：設(shè)x.

教師：設(shè)x一般是用來(lái)干什么的？高大上一點(diǎn).

學(xué)生13：建立方程.

教師：很機(jī)靈！（板書(shū)：方程思想）一般來(lái)說(shuō)，在著手解決與勾股定理緊密相連的問(wèn)題時(shí)，上述三種思想方法經(jīng)常出現(xiàn)，頻繁使用.

問(wèn)題5：已知，如圖5，若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到一定位置，使△ABP成為一個(gè)等腰三角形，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

教師：今天坐標(biāo)求得真不少，請(qǐng)同學(xué)們對(duì)照前后，看一下此問(wèn)題中P點(diǎn)坐標(biāo)的求解是否和先前一樣？

學(xué)生14：好像和上一題類(lèi)似，但又不盡相同，我覺(jué)得要分一下類(lèi)吧.

教師：怎么分呢？

學(xué)生14：我有點(diǎn)忘了……

教師：沒(méi)事，哪位可以幫一下學(xué)生14？

學(xué)生15：分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)P為頂點(diǎn)，在x軸構(gòu)造等腰三角形，我來(lái)畫(huà)一下吧.

教師：這比空對(duì)空講要直觀和具體.

學(xué)生15：（邊畫(huà)邊講）先以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，左側(cè)對(duì)稱(chēng)就可以了，再以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，左右兩邊都行的.

教師：大分類(lèi)下小分類(lèi)，套路深啊！

眾生：（笑）

學(xué)生15：再以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，作高以后就回到第2個(gè)問(wèn)題了.

教師：具體一點(diǎn).

學(xué)生15：中垂線(xiàn)性質(zhì)，當(dāng)？搖AP=BP時(shí)，在直角△AOP中，可以使用勾股定理來(lái)處理.

教師：具體的數(shù)學(xué)思想是什么？

學(xué)生15：用方程思想來(lái)解決.

教師：一個(gè)問(wèn)題，三種思想方法均有呈現(xiàn).

……

2. 典型問(wèn)題拓展

問(wèn)題1：如圖6，若點(diǎn)P從原點(diǎn)開(kāi)始沿x軸向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒一個(gè)單位，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)t<8時(shí)，先畫(huà)出△ABP中AP邊上的高;當(dāng)高為6時(shí)，求出垂足Q點(diǎn)的縱坐標(biāo).

問(wèn)題2：如圖7，在等腰三角形ABC中，底邊長(zhǎng)16，腰長(zhǎng)10，若點(diǎn)P沿x軸從點(diǎn)C開(kāi)始向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為每秒一個(gè)單位，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，請(qǐng)研究當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P和頂點(diǎn)A的連線(xiàn)與腰垂直？

3. 全課小結(jié)，布置作業(yè)（略）

活動(dòng)設(shè)計(jì)下的教學(xué)思考

復(fù)習(xí)課容易上成新授課的再現(xiàn)，如同雞肋;復(fù)習(xí)課也容易上成習(xí)題課的翻版，味同嚼蠟. 但復(fù)習(xí)課的重要性不言而喻，尤其在期末復(fù)習(xí)階段. 課程標(biāo)準(zhǔn)中的“讓學(xué)生獲得良好的數(shù)學(xué)”“要教給學(xué)生有生長(zhǎng)力的數(shù)學(xué)”“復(fù)習(xí)課也要為學(xué)生成長(zhǎng)助力”等理念早已深入人心，那么，如何利用好復(fù)習(xí)課？如何通過(guò)復(fù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，使課程綱舉目張，前后貫通呢？這是一個(gè)值得思索的問(wèn)題. 而勾股定理作為初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理，在八年級(jí)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)教學(xué)中，完全可以依靠這個(gè)知識(shí)節(jié)點(diǎn)，將軸對(duì)稱(chēng)、二次根式、一次函數(shù)等相關(guān)內(nèi)容一網(wǎng)打盡，并且能充分挖掘其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，以此作為后續(xù)課堂“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”教學(xué)的開(kāi)端，使數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在此生根發(fā)芽，茁壯成長(zhǎng).

1. 數(shù)形結(jié)合“原動(dòng)力”

卜以樓教授將代數(shù)和幾何分別歸納為“式結(jié)構(gòu)”和“形結(jié)構(gòu)”的學(xué)科，其關(guān)注的焦點(diǎn)是代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系和幾何中的位置關(guān)系的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化. 以上面的問(wèn)題為例，在幾個(gè)問(wèn)題解決的過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)，可以借助圖形，然后通過(guò)代數(shù)計(jì)算的方法進(jìn)行研究，我們將其中蘊(yùn)含的思想稱(chēng)之為數(shù)形結(jié)合思想. 那么，初中數(shù)學(xué)中第一次出現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的地方在哪里呢？答案很簡(jiǎn)單，數(shù)軸就是學(xué)生第一次接觸到的圖形與數(shù)量的結(jié)合，只不過(guò)當(dāng)時(shí)學(xué)生可能并不太在意. 隨著學(xué)習(xí)進(jìn)程的深入，數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系結(jié)合的知識(shí)點(diǎn)不斷呈現(xiàn)，中點(diǎn)、角平分線(xiàn)、無(wú)理數(shù)、勾股定理等，乃至到數(shù)與形完美結(jié)合的工具——平面直角坐標(biāo)系. 借助于這樣的工具，我們可以將距離公式（式結(jié)構(gòu)），完美地利用勾股定理，展現(xiàn)成橫平豎直的直角三角形（形結(jié)構(gòu)），實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的直觀化和簡(jiǎn)約化，并能為今后高中數(shù)學(xué)中的平面向量和物理中的受力分析打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 小小距離，充滿(mǎn)著初生的“原動(dòng)力”，向著未來(lái)生長(zhǎng).

2. 分類(lèi)討論“生長(zhǎng)節(jié)”

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，我們知道數(shù)學(xué)可以訓(xùn)練一個(gè)人的邏輯思維能力，而邏輯思維需要嚴(yán)密性和完備性. 那么，如何進(jìn)行思維訓(xùn)練呢？“從現(xiàn)代很多的認(rèn)知心理學(xué)角度來(lái)說(shuō)，分類(lèi)的能力也是衡量嬰幼兒智力的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn). 所以，區(qū)分類(lèi)別對(duì)于嬰幼兒的思維發(fā)展甚是重要. 無(wú)論對(duì)小孩長(zhǎng)大之后的學(xué)習(xí)推理能力、辯論能力還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力來(lái)說(shuō)，從小掌握分類(lèi)對(duì)這些的影響是很大的. 因此，在嬰幼兒早期教育階段如果讓孩子們學(xué)會(huì)正確分類(lèi)，其實(shí)在一定的程度說(shuō)是可以培養(yǎng)孩子的思維能力的. ”但是學(xué)生在幼兒期往往對(duì)人對(duì)事只能進(jìn)行簡(jiǎn)單分類(lèi)，以孩童的視角看問(wèn)題，非好即壞，非此即彼. 但我們知道萬(wàn)事萬(wàn)物并不像簡(jiǎn)單的一枚硬幣只有正反兩面. 所以，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，貫穿著分類(lèi)的思想，并且是從簡(jiǎn)單分類(lèi)發(fā)展到復(fù)雜分類(lèi). 正如卜教授提出的“道是認(rèn)識(shí)事物的方法論，術(shù)就是實(shí)踐過(guò)程中的方法”. 通過(guò)類(lèi)似方法的浸潤(rùn)，對(duì)照不同的標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生全方位、多角度地思索，實(shí)現(xiàn) “以道馭術(shù)”. 從課堂中歷練的觀察、分析、解決問(wèn)題的“生長(zhǎng)節(jié)”，枝繁葉茂，可以繼續(xù)生長(zhǎng)到情感、態(tài)度、價(jià)值觀的層次.

3. 假設(shè)方程“選擇器”

“學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，指獨(dú)立活動(dòng)時(shí)所能達(dá)到的解決問(wèn)題的能力，另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，也就是通過(guò)教學(xué)所獲得的潛力，這兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū). ”對(duì)于問(wèn)題5而言，學(xué)生能很自然地分別以點(diǎn)A，O，B為頂點(diǎn)構(gòu)建等腰三角形，有直觀的相等，符合一般由簡(jiǎn)到難的認(rèn)知規(guī)律，契合學(xué)生發(fā)展的第一種水平. 而對(duì)于“線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端距離相等”這個(gè)性質(zhì)，雖然本課前面曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)，但是仍然和問(wèn)題4的“角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊距離相等”性質(zhì)一樣，學(xué)生抓不住問(wèn)題的本質(zhì). 在由“形結(jié)構(gòu)”到“式結(jié)構(gòu)”的轉(zhuǎn)換過(guò)程中，忽視了隱藏的相等. “方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)生活中相等關(guān)系的有效模型”，通過(guò)分析和引導(dǎo)，對(duì)于問(wèn)題4中AB邊上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和問(wèn)題5中x軸上的第4個(gè)P點(diǎn)，利用相等關(guān)系，構(gòu)建直角三角形，然后使用勾股定理來(lái)求解，實(shí)現(xiàn)知識(shí)和方法的生長(zhǎng)，同時(shí)使學(xué)生達(dá)到第二種水平. 事實(shí)上，分析方程思想，按照卜教授的觀點(diǎn)，其本質(zhì)是一種假設(shè)思想，是一種嘗試的想法. 學(xué)生的選擇是一種試錯(cuò)，既然無(wú)法一眼洞穿，那么可以用不同的假設(shè)去驗(yàn)證它. 在種種備選方案中，選簡(jiǎn)選優(yōu)，進(jìn)而加以決策，這也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，打通知識(shí)的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的遷移生長(zhǎng)能力.

“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)是前后一致的、邏輯連貫的、一以貫之的數(shù)學(xué)”，是充滿(mǎn)著“原動(dòng)力”，布滿(mǎn)著“生長(zhǎng)節(jié)”，鋪滿(mǎn)著“選擇器”的數(shù)學(xué). 在復(fù)習(xí)課堂中，用全景式的構(gòu)架來(lái)統(tǒng)領(lǐng)全局、縱覽前后，對(duì)知識(shí)和方法的生長(zhǎng)大有裨益，進(jìn)而可以推廣到其他類(lèi)型的課程中，從而使每個(gè)學(xué)生茁壯成長(zhǎng)！