基于數形結合 培養初中學生推理能力的體會

言晨棟

[摘? 要] 文章作者通過“全等三角形”（蘇教版）的知識教學發現，在教學過程中，學生思維的對象是“幾何圖形”（即三角形），推理的依據是“數量關系”（相等），推理所需要運用到的邏輯關系是“相等是否全等”. 在幾乎所有數形結合的例子中，都可以找到這樣三個要素，因此數形結合確是培養學生推理能力的機會.

[關鍵詞] 初中數學;數形結合;推理能力

對于推理能力培養的關注，來源于兩個主要原因：一是傳統的初中數學教學中，原本就重視推理能力的培養，學生在建構數學知識及其結構的時候，推理能力的支撐必不可少，而且初中學生在進入抽象能力發展的高速階段之后，更加習慣于通過推理來建構并運用數學知識;二是核心素養背景下的初中數學教學，在瞄準數學學科核心素養的時候，其中的六個要素中就有邏輯推理，盡管邏輯推理只是推理的一種，但對于初中數學知識的教學來說，已經進一步凸顯了推理的價值與地位.

縱觀初中數學知識的教學，可以發現學生推理能力培養的時機實際上非常豐富，而利用數形結合來培養學生的推理能力，筆者發現效果非常理想. 下面就利用數形結合培養學生推理能力談談筆者的幾點體會.

初中數學數形結合中培養推理

能力的意義

眾所周知，數學是一門研究空間形式與數量關系的自然科學，即人們常說的“數”與“形”. 人們在長期的認識和改造自然的過程中，發現“數”與“形”之間有著緊密的聯系，數與形是數學研究中兩個不同的側面，在一定條件下，它們可以互相轉化. 這樣的闡述，實際上表明了一種關系，即數與形之間是存在密切關系的，這個關系可以理解為數與形之間可以互相描述——數可以描述形，形可以表示數，而要體現這樣的關系，推理是必須存在的.

在利用數形結合培養學生的推理能力之前，首先要明確的是數形結合思想是一種重要的數學思想，它的實質就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決問題. 顯然，這里所說的解決問題，既包括新的數學知識學習時的問題解決，也包括知識建構完畢之后解決相關的問題. 在這樣的過程中，推理又起著什么樣的作用呢？我們可以通過“全等三角形”（蘇教版）的知識來說明.

在建立全等形概念的時候，教材設計了一個體驗的環節，即讓學生在一組圖形中尋找兩個疊起來能夠重合的圖形（實際教學中可以根據這一思路，設計一個真實體驗的學習環節，即讓學生制作出兩個能夠完全重合的圖形）. 這實際上是一個合情推理的過程，即通過感官信息的刺激結合經驗來判定“完全重合”，即可認為“全等”. 盡管初中數學相對于此前的數學學習而言，合情推理已經減少了運用，但在實際教學中如果能夠恰到好處地發揮作用，一樣可以促進學生的數學知識建構.

在“全等三角形的判定”知識的教學中，則存在著大量的邏輯推理能力的培養機會. 基于全等三角形的性質去探究全等三角形的判定法則，是一個具有探究意味的學習過程. 在這個過程中，學生主要通過證明中的證實或證偽，來判斷自己所猜想的依據是否能夠成為判定法則. 這里的邏輯推理首先存在于全等性質——三邊相等，三角相等，去推理得出可能的判定依據（此時還不能叫法則），于是“邊邊邊”（這是學生最容易猜想到的，實際上是基于全等形“完全重合”的認識，以近乎直覺思維的形式推理出來的）“角角角”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”“邊邊角”等，會迅速地被猜想（推理）出來;其后，對這些猜想進行證實或證偽，就成為另一個充分運用推理（推理能力的培養蘊含其中）的過程.

在這樣的過程中，學生思維的對象是“幾何圖形”（即三角形），推理的依據是“數量關系”（相等），推理所需要運用到的邏輯關系是“相等是否全等”. 實際上，在幾乎所有數形結合的例子中，都可以尋找到這樣的三個要素，因而認為數形結合是培養學生推理能力的機會，是科學合理的.

基于數形結合案例培養學生推

理能力簡析

實際上，在類似于“全等三角形”的知識教學中，運用數形結合的思路培養學生的推理能力，也有同行做過類似研究，其中相關的結論是：培養學生具有一定的邏輯推理能力，是中學數學的教學目的之一. 對于這種能力的形成，初中數學教師有義不容辭的責任，而“全等三角形”有其特殊的地位和作用. 關于這個特殊地位與作用，筆者的觀點就是結合上面的三個要素，讓學生的思維真正沉浸到推理的過程中，推理能力的培養就必然具有相應的空間. 具體的教學過程可以這樣設計：

首先，幫學生回顧全等三角形的性質，提煉出“三邊相等，三角相等”的結論.

其次，讓學生基于上述總結，猜想判斷三角形全等的依據. 這個過程中，有可能會出現學生猜想“邊邊邊”或“邊邊角”的可能，但這個證偽很容易，所運用的也是合情推理與邏輯推理的結合. 限于篇幅，此處不再贅述. 此處主要的推理過程就是證實或證偽過程中的邏輯運用.

其中，“邊邊邊”的證實是最容易的，甚至有學生結合“三角形的穩定性”就得出，只要三邊對應相等，那三角形就必然全等的結論. 這個過程中，對“邊角邊”“角角邊”“邊邊角”的證明是存在一定挑戰性的. 學生在證明“邊角邊”的時候，推理的思路大概是這樣的：由一邊和一角的相等，確認兩個三角形的這條邊和這個角是可以“先全等”的——學生語. 雖然全等概念運用不準確，但可以表達學生的內在認識，教師此時可以不必糾纏;然后形成此角的另一條邊也是相等的，學生就會發現第三條邊必然相等. 通過這樣的推理，證明思路也就初步形成. 但需要指出的是，正是在此形成的推理思路，使得學生在證明“邊邊角”的時候，也容易形成類似的認識，即當兩個三角形的兩邊相等且非兩邊夾角的任意一個角相等時，這兩個三角形也是“固定”的，因而就是全等的. 實際教學中，教師就是要引導學生通過推理，去發現這個“固定”實際上是錯誤的，具體的就是通過提供“反例”的思路去進行，這也是一個內涵豐富的推理過程，尤其是學生發現“邊邊角”還存在兩種可能時，學生會有非常強烈的成就感.

最后，引導學生反思探究過程. 反思是推理能力形成的重要環節，通過上述過程中的證明過程，讓學生認識到結論的得出，歸根到底是因為推理方法的運用，那么學生對推理這一方法就會產生高度的認同感，同時也就強化了學生回顧證明過程中的推理方法運用，這就讓學生形成的推理能力可以得到強化與純化.

從數形結合培養推理能力看核

心素養培育

在上述案例（包括其他類似的諸多案例）中，數形結合是基本的思路，通過對全等三角形的“形”的認識，通過對蘊含在其中的“數”的邏輯關系的判斷，完成了一個推理的過程，并且通過這樣的推理過程，學生獲得了正確的全等三角形判定法則. 因而這是一個完整的基于數形結合培養推理能力的教學過程. 這也印證了數形結合是重要的數學思想，在數學知識的建構與問題解決中具有廣泛的應用.

如同文章開頭所說的那樣，以邏輯推理為核心的推理在數學學科核心素養中有著重要的地位，在數學學科教學中培育學生的核心素養，主要就是數學學科核心素養的培育. 而數學學科核心素養的培育，往往不可能是六個要素全面開花，而應當有所側重，于是在數學課堂上培養學生的推理能力，某種程度上就是數學學科核心素養落地的重要環節.

通過上述案例可以發現，推理能力的培養作為方法的運用與能力的培養，是需要結合具體的數學知識學習或運用來進行的，而這個學習與運用又是需要方法支撐的. 數形結合既是數學知識的建構方法之一，同時又是重要的數學思想之一. 廣泛存在的數形結合，為推理能力的培養提供了廣闊的空間，只要學生在研究“形”，其就必然要通過“數”去描述這個“形”，而在描述的過程中，如果有其他的需要，譬如上面全等三角形判定法則證明的需要，那么數形結合就向推理能力的培養敞開了大門.

通過案例研究還可以發現，推理能力的形成正是在數形結合建構知識或解決問題的過程中，通過對邏輯關系的認定與運用，通過證實或者是證偽來得到培養的. 于是我們就在基于數形結合培養推理能力與核心素養培育之間發現了千絲萬縷的關系，這也就提醒初中數學教師，要實現數學學科核心素養的落地，不是要脫離原有教學思路而另起爐灶，而應當是在傳統教學中進一步厘清邏輯關系，進而發現核心素養培育的契機. 對于數學教師來說，這實際上也是一個推理的過程，教師自身的推理能力培養契機，也存在于這個過程中. 應當說，教師帶著這樣的思路實施教學，能夠更好地將自己與學生的學習過程融合起來，從而讓教與學更好地融合為一體，進而成為核心素養培育的推動力量.