基于動態(tài)響應的結(jié)構(gòu)安全性診斷

況中華 何光輝 李鑫奎

上海建工集團股份有限公司 上海 200080

近年來，基于實測振動數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)損傷識別方法被廣泛用于建筑工程結(jié)構(gòu)安全狀態(tài)的評估。評估建筑結(jié)構(gòu)的安全狀態(tài)不僅有助于舊結(jié)構(gòu)的維修加固，同時也可應用于新建結(jié)構(gòu)施工期間的安全狀態(tài)診斷，不但有利于提高建筑結(jié)構(gòu)的使用壽命，還可為結(jié)構(gòu)施工提供安全保障。

從結(jié)構(gòu)振動方程中可得，振動是關于結(jié)構(gòu)三大系統(tǒng)參數(shù)（質(zhì)量、剛度、阻尼）的動力系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)參數(shù)決定了結(jié)構(gòu)的振動狀態(tài)，同時也可從結(jié)構(gòu)的振動狀態(tài)推算出結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)參數(shù)。結(jié)構(gòu)在使用期間的質(zhì)量可認定為基本不發(fā)生變化，而結(jié)構(gòu)的阻尼可通過質(zhì)量及剛度計算得出，而當結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生損傷時（裂縫、彈模變化），最為直接的表現(xiàn)即為結(jié)構(gòu)剛度降低。因此，大多數(shù)結(jié)構(gòu)損傷識別都是將結(jié)構(gòu)剛度作為識別參數(shù)進行計算，通過結(jié)構(gòu)剛度的變化程度或損傷后剛度與損傷前剛度的比值來評估結(jié)構(gòu)的安全性。

本文將剛度差值比α作為結(jié)構(gòu)的剛度損傷系數(shù)，以表達結(jié)構(gòu)的剛度變化程度，并建立結(jié)構(gòu)的損傷剛度矩陣，將損傷剛度矩陣納入結(jié)構(gòu)的振動方程中，同時聯(lián)合未損傷和損傷結(jié)構(gòu)的振動方程進行求解，最終獲取結(jié)構(gòu)各單元的剛度差值比α，以此確定結(jié)構(gòu)各位置的損傷情況，評估結(jié)構(gòu)的安全狀態(tài)。

1 多自由度體系振動方程

考慮結(jié)構(gòu)阻尼影響的多自由度體系的運動方程[1]如式（1）所示：

式中：M——質(zhì)量矩陣；

C——阻尼矩陣；

K——剛度矩陣；

P（t）——t時刻的外部荷載矩陣；

Ut——t時刻的位移矩陣；

求解振動方程的關鍵是建立結(jié)構(gòu)整體的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣，可利用有限元方法將結(jié)構(gòu)劃分為多個單元進行計算，將結(jié)構(gòu)整體參數(shù)矩陣計算轉(zhuǎn)化成計算1個單元的質(zhì)量、阻尼、剛度。

當僅考慮平面橫向位移問題時，單元節(jié)點僅有豎向位移和轉(zhuǎn)動2個自由度，單元的位移函數(shù)可用三次Hermite多項式表示，如式（2）所示：

在式（2）中，部分參數(shù)如式（3）～式（6）所示：

其中，V(x)為單元的位移函數(shù)，V1、V3為單元節(jié)點1、2的豎向位移，V2、V4為單元節(jié)點1、2的轉(zhuǎn)角。

單元在節(jié)點1處發(fā)生單位轉(zhuǎn)角θ1時，節(jié)點1處產(chǎn)生的豎向力即為單元的剛度系數(shù)k13，依據(jù)虛功原理可得式（7）：

同理可得，單元的任意剛度系數(shù)表示為式（8）：

同理可得，單元的任意質(zhì)量系數(shù)表示為式（9）：

上式中，E為彈性模量，I(x)為單元截面慣性矩沿單元長度的分布，m(x)為單元質(zhì)量沿單元長度的分布，、分別為φi(x)的一、二階導數(shù)。

最終可得結(jié)構(gòu)的整體質(zhì)量、剛度矩陣如式（10）、式（11）所示。

結(jié)構(gòu)阻尼采用Rayleigh阻尼[2]，利用質(zhì)量矩陣和剛度矩陣表示，如式（12）所示：

在式（12）中，a0、a1分別由式（13）、式（14）定義：

其中，wi、wj為結(jié)構(gòu)的2個自振頻率，ξi、ξj為對應的振弦阻尼比。

2 建立損傷結(jié)構(gòu)的振動方程

結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷的主要表現(xiàn)是結(jié)構(gòu)單元剛度的減小，因此，引入剛度增量ΔK來描述結(jié)構(gòu)的損傷。損傷結(jié)構(gòu)的損傷剛度矩陣Ks可描述為原始結(jié)構(gòu)（未損傷結(jié)構(gòu)）的剛度矩陣K加上剛度增量矩陣ΔK，即Ks=K+ΔK，ΔK一般為負值。

將結(jié)構(gòu)損傷剛度矩陣Ks代入式（1），可得損傷結(jié)構(gòu)的振動方程：

將原始結(jié)構(gòu)和損傷結(jié)構(gòu)的振動方程進行聯(lián)合求解，即合并式（1）和式（15）：

結(jié)構(gòu)的單元剛度損傷系數(shù)可用剛度差值比α來表示，即單元n的剛度增量，以平面橫向位移問題為例，參照式（11），ΔKUst可表示為式（18）：

對上述剛度增量矩陣ΔK〔式（18）〕進行列變換，將同一個單元的列元素相加于同一列，可得式（19）：

kn——單元n的剛度矩陣；

αn——單元n的剛度損傷系數(shù)（剛度差值比）；

α——結(jié)構(gòu)損傷系數(shù)矩陣。

將式（19）代入式（17）求解，可得結(jié)構(gòu)損傷系數(shù)矩陣α：

3 案例驗證

以一個雙跨混凝土連續(xù)梁為計算案例，驗證上述求解結(jié)構(gòu)單元損傷系數(shù)的方法。雙跨混凝土連續(xù)梁跨徑5 m，采用鉸接邊界，梁截面為400 mm×200 mm矩形截面，彈性模量E=3.45×104MPa，密度ρ=260 kg/m3，在距離端部2 m位置作用一個豎向正弦動荷載P(t)=1×104×sin (6πt)，結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。

圖1 雙跨混凝土連續(xù)梁結(jié)構(gòu)簡圖

計算時將雙跨混凝土連續(xù)梁等分成10個單元，11個節(jié)點，單元長度1 m。假定3號單元的剛度損傷系數(shù)α3=－0.8，8號單元的剛度損傷系數(shù)α8=－0.6，結(jié)構(gòu)其余位置均未出現(xiàn)損傷，即其余單元的損傷系數(shù)為0（圖2）。利用上述計算方法，驗證通過結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應診斷出的結(jié)構(gòu)損傷情況是否與假定工況一致。

圖2 雙跨混凝土連續(xù)梁的單元損傷示意

計算雙跨混凝土連續(xù)梁的阻尼時，選取第1、2階自振頻率w1、w2作為參數(shù)，阻尼比取值ξ1=ξ2=0.05。

計算時長取100 s，時間步長取0.01 s，共計104步。理論結(jié)構(gòu)（未損傷結(jié)構(gòu)）和損傷結(jié)構(gòu)承受同樣的正弦動荷載作用，正弦動荷載的時程曲線如圖3所示。

圖3 正弦動荷載時程曲線（僅示意0～10 s）

通過計算得出，雙跨混凝土連續(xù)梁的3號單元的剛度損傷系數(shù)α3=－0.6，8號單元的剛度損傷系數(shù)α8=－0.8；其余單元的剛度損傷系數(shù)α均為0。各單元的剛度損傷系數(shù)如圖4所示。

圖4 單元剛度損傷系數(shù)時程曲線

計算結(jié)果與假定工況完全吻合，表明利用未損傷結(jié)構(gòu)和損傷結(jié)構(gòu)在相同動荷載作用下的響應時程，建立聯(lián)合振動方程求解結(jié)構(gòu)單元剛度損傷系數(shù)的方法準確可靠，且可通過該方法對結(jié)構(gòu)的損傷情況進行判別，從而可進一步實現(xiàn)結(jié)構(gòu)安全狀態(tài)的診斷。

4 結(jié)語

利用結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的實際動態(tài)響應與理論動態(tài)響應時程，建立理論-實際聯(lián)合振動方程，可求解出結(jié)構(gòu)每個單元的剛度損傷系數(shù)，從而可對結(jié)構(gòu)的損傷情況進行識別，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)安全狀態(tài)的診斷。

本文通過實例驗證，發(fā)現(xiàn)所述方法對結(jié)構(gòu)安全狀態(tài)的診斷準確可靠，該方法可在建筑工程施工過程中進行推廣應用[3-8]。