概率考點類型追蹤

雷業紅

“統計與概率”是數學中考的必考內容，同學們在考試中需要運用概率知識正確評判一些規則是否公平合理，還需要理解事件發生的頻率與概率之間的關系。下面用四個類型來歸納，并對解題方法進行適當的分析，供同學們學習時參考。

類型一概率的意義

例1下列說法正確的是（

）。

A.體育課上小明參加籃球投籃游戲，因為投籃一次，只有兩種可能的結果，不是“投中”就是“未投中”，所以小明投中的概率為1/2

B.某籃球運動員投三分球的命中率是12%，則當他投了11個三分球均未投進時，第12個一定投進

C.從甲、乙、丙三人中任選兩人參加“青年志愿者”活動，甲被選中的概率為1/3

D.拋擲一枚圖釘，釘尖觸地和釘尖朝上的概率不相等

【策略】本題考查的是概率的意義。如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=m/n。概率是反映事件發生的機會的大小的概念，只是表示發生的機會的大小，機會大也不一定發生，機會小也有可能發生。

【解答】A：小明投籃投中的概率

B：投籃命中率只是投中可能性的大小，每次操作只與命中率有關，與實際結果沒有直接的關系，故錯誤;

C：有6種等可能的結果：（甲，乙）、（甲，丙）、（乙，甲）、（乙，丙）、（丙，甲）、（丙，乙），甲被選中的概率為三，故錯誤;

D：正確。故選D。

類型二用列表或畫樹狀圖求概率

例2

（2019·江蘇泰州）小明代表學校參加“我和我的祖國”主題宣傳教育活動，該活動分為兩個階段，第一階段有“歌曲演唱”“書法展示”“器樂獨奏”3個項目（依次用A、B、C表示），第二階段有“故事演講”“詩歌朗誦”2個項目（依次用D、E表示），參加人員在每個階段各隨機抽取一個項目完成。用畫樹狀圖或列表的方法列出小明參加項目的所有等可能的結果，并求小明恰好抽中B、D兩個項目的概率。

【策略】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率。先根據題目要求列出所有可能出現的結果，再找出要求事件的結果數目，最后用概率公式求出概率。解決此類問題還要知道：列舉法也可以列出所有可能出現的結果，有時還要關注是放回試驗還是不放回試驗。

【解答】用列表法得出所有可能的結果如下：

或者畫樹狀圖得出所有可能的結果如下：

兩種方法都是有6種等可能的情況，恰好抽中B、D兩個項目的情況只有1種，

P（恰好抽中B、D兩個項目的情況）=1/6。

類型三公平性的判斷

例3在甲、乙兩個不透明的口袋中，分別有大小、材質完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分別標有數字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分別標有數字2，3，4，先從甲袋中任意摸出一個小球，記下數字為m，再從乙袋中摸出一個小球，記下數竽為n。

（1）請用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有（m，n）可能的結果;

（2）若m，n都是方程x2-5x+6=0的解，則小明獲勝;若m，凡都不是方程x2-5x+6=0的解，則小利獲勝，問他們兩人誰獲勝的概率大？

【策略】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率，同時又考查了一元二次方程的解以及解法。（1）根據題意列出所有可能的結果;（2）先解一元二次方程，在（1）的所有等可能的結果中找出符合一元二次方程的解的情況，以及都不是一元二次方程的解的情況，再利用概率公式計算，最后通過比較概率大小進行判斷。

【解答】（1）用列表法得出所有可能的結果如下：

畫樹狀圖得出所有可能的結果如下：

（2）m，n都是方程x2-5x+6=0的解，

m=2，n=3，或m=3，n=2，

由樹狀圖得：共有12種等可能的結果，m，n都是方程的解的結果有（2，2）、（3，3）、（2，3）和（3，2）共4個，m，n都不是方程x2-5x+6=0的解的結果有（1，4）和（4，4）共2個，小明獲勝的概率為4/12-1/3小利獲勝的概率為2/16-1/6，小明獲勝的概率大。

類型四利用頻率估計概率

例4（2019·湖南長沙）在一個不透明的袋子中有若干個小球，這些球除顏色外無其他差別，從袋中隨機摸出一球，記下其顏色，這稱為一次摸球試驗，然后把它重新放回袋中并搖勻，不斷重復上述過程。以下是利用計算機模擬的摸球試驗統計表：

根據試驗所得數據，估計“摸出黑球”的概率是_________（結果保留小數點后一位）。

【策略】本題考查的是用事件發生的頻率來估計概率。生活中，能夠直接通過計算求得發生概率的事件是有限的，在很多情況下，頻率隨著試驗次數的變化而變化。我們要計算出每次“摸出黑球”的頻率，再按題目要求用頻率作為概率的估計值。

【解答】由表中數據可判斷“摸出黑球”的頻率在0.4左右擺動，利用頻率估計概率，可估計“摸出黑球”的概率是0.4。

以上帶著同學們歸納了解決概率問題的策略方法，從中發現，正確解題取決于對概率核心知識的理解和掌握。因此，同學們在平時要重視對課本上概率核心知識的學習，在解決概率問題時，只要認真思考，細細體會題意，便能正確解題。當然，概率的題型相對來說變化不大，同學們若能善于總結，學習時就會起到事半功倍的效果。

（作者單位：江蘇省儀征市月塘中學）