基于安定分析和概率密度演化理論的桿系結構整體可靠度分析

祖云飛 李正良 范文亮 劉蜀宇

摘 ? 要：經典體系可靠度僅涉及量值保持不變的隨機靜力荷載，對于隨機變值靜力荷載作用下的工程結構將給出不合理的評估結果，低估了結構面臨的風險.鑒于此，基于安定理論提出了桿系結構在變值靜力荷載作用下以安定狀態作為極限狀態的整體可靠度分析方法.首先，建議了具有單一功能函數的極限狀態方程，并引入了兩類計算功能函數的實用方法;進而，在概率密度演化理論的基礎上，推導了功能函數的廣義密度演化方程，并引入Dirac δ序列算法獲得了其近似解;然后，對功能函數的概率密度進行一維積分即可得到結構整體可靠度;最后，通過多個算例驗證了本文建議方法.結果表明：1） 建議方法有較好的精度和計算效率;2） 建議方法所得整體可靠度能更合理地評估變值靜力荷載作用下結構的安全性.

關鍵詞：隨機變值靜力荷載;可靠度;安定理論;概率密度演化理論;Dirac δ序列算法

中圖分類號：TU311.2;TB114.3 ? ? ? ? ? ? ? 文獻標志碼：A

Global Reliability Assessment of Framed Structures Based on

Shakedown Analysis and Probability Density Evolution Method

ZU Yunfei1，LI Zhengliang1，2，FAN Wenliang1，2？覮，LIU Shuyu3

（1. School of Civil Engineering，Chongqing University，Chongqing 400045，China;

2. Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area of

Ministry of Education，Chongqing University，Chongqing 400045，China;

3. Shuntai Towel Manufacturing Co Ltd，Chongqing 400000，China）

Abstract：The classical system reliability theory only involves random static load with constant value，which cannot provide reasonable estimation for the structure under random static load with variable value，and underestimates the risk of the structure. In view of this，a global reliability evaluation method for framed structures under static load with variable value is proposed，which is based on the shakedown theory with the shakedown state defined as the limit state. Firstly，a single performance function is proposed，and two implementations for calculating the performance function are introduced;Secondly，based on the probability density evolution method （PDEM），a generalized density evolution equation of the performance function is derived，and its approximate solution is obtained by introducing Dirac δ sequence algorithm，and then the global reliability of the structure can be obtained by the one-dimensional integral of the probability density of performance function. Finally，several examples are investigated to verify the proposed method. The results show that： 1） the proposed method is of high accuracy and efficiency;2） The global reliability obtained by the proposed method can evaluate the safety of the structure under static load with variable value more rationally.

Key words：random static load with variable value;reliability;shakedown theory;probability density evolution method;Dirac δ sequence algorithm

由于工程結構自身及其所處環境存在各種不確定性，可靠度分析成為結構安全性評估的重要方法[1]，其中經典的體系可靠度是重要組成部分. 不同于構件可靠度，經典的體系可靠度主要研究理想彈塑性或彈脆性桿系結構在靜力荷載作用下的不倒概率，即結構整體不發生倒塌的概率. 歷經半個多世紀的發展，研究者提出了PNET法、分支約界法、優化準則法、最小荷載增量法等分析方法[2-5]. 仔細考察不難發現，經典體系可靠度僅涉及時不變的靜力荷載，即量值保持不變的靜力荷載;然而，實際工程中結構亦可能會遭遇另一類靜力荷載——量值隨時間變化的時變靜力荷載. 例如，輸電導線的覆冰荷載，由于結冰、融冰過程的緩變特性，以及可能出現的凍融循環，屬于典型的變值靜力荷載;又如儲油罐對其支撐剛架的作用亦屬于變值靜力荷載.

桿系結構在變值靜力荷載作用下可能的最終破壞狀態包括增量塑性破壞、交互塑性破壞、瞬時塑性倒塌破壞[6]，若仍采用經典的體系可靠度方法研究結構安全，實質上僅考慮結構的不倒概率，忽略了結構可能的最終破壞狀態中的交互塑性破壞.當發生交互塑性破壞時，結構中出現斷裂桿件，不同于桿件進入塑性，桿件的斷裂使桿件完全退出承載，隨之產生的內力重分布引發多米諾效應可能導致結構整體倒塌. 即使桿件斷裂后結構依然能保持不倒，斷裂桿件的更換仍會影響結構正常服役. 因此，采用經典的體系可靠度研究變值靜力荷載下桿系結構的安全性是不合理的，低估了結構面臨的風險.

幸運的是，安定理論[6-8]為研究變值荷載作用下結構行為提供了有效工具. 近年來，研究者對基于經典安定理論的結構可靠度分析開展了一系列研究，亦取得了一定的進展[9-14]，然而現有成果存在較大的局限性：一方面，由于與FORM[10，12-14]、SORM[12]及響應面法[11]等基于驗算點的可靠度方法相結合，對于體系可靠度中出現的多驗算點問題無能為力;另一方面，現有研究通常針對已知的失效模式進行安定分析，但失效模式識別恰恰是復雜桿系結構體系可靠度分析的最大困難，因此，現有研究多局限于平板結構[10，14]、壓力容器[11，13，14]、管道結構[10，12-14]以及非常簡單的桿系結構[11，13，14]等，實用性不強.

鑒于此，本文以安定狀態作為桿系結構在變值靜力荷載作用下的極限狀態，并定義與之對應的整體可靠度概念，建議了具有單一功能函數的極限狀態方程，并引入實用安定分析方法計算隱式功能函數;進而，根據概率密度演化理論，推導了功能函數的廣義密度演化方程的近似解;最后，經由一維積分給出結構整體可靠度. 本文將安定分析與概率密度演化理論[15]相結合，提出了桿系結構在變值靜力荷載作用下整體可靠度的實用、高效分析方法.尤其值得指出的是，經典體系可靠度所涉及的時不變的靜力荷載僅為變值靜力荷載中的一種特殊情況，顯然，本文建議方法同樣可解決經典的體系可靠度問題. 因此，發展基于安定理論的結構整體安全性分析既是解決變值靜力荷載作用下理想彈塑性桿系結構整體可靠度的合理途徑，亦是經典體系可靠度的有益拓展.

1 ? 桿系結構的安定極限狀態及確定性安定分?析

1.1 ? 變值荷載作用下結構的臨界極限狀態

根據安定理論，桿系結構在變值荷載作用下可能進入五種不同的狀態[6]：1）純彈性狀態;2）安定狀態;3）增量塑性破壞;4）交互塑性破壞;5）瞬時塑性倒塌.由于增量塑性破壞和瞬時塑性倒塌將引起結構的整體倒塌，而發生交互塑性破壞時，盡管結構可能維持不倒，但斷裂桿件的更換會迫使結構退出正常工作. 因此，世界各國近年來出版的強度設計與安全設計評定規范（如美國ASME和API規范、英國BSI標準、法國RCC-MR標準等），越來越多地采用安定載荷為控制界限的塑性失效準則. 因此，本文定義增量塑性破壞、交互塑性破壞和瞬時塑性倒塌為結構的三種最終破壞狀態，定義結構在變值荷載作用下不進入上述破壞狀態的概率為整體可靠度.又因上述破壞狀態均以安定狀態為臨界過渡狀態，所以安定狀態可作為桿系結構在變值荷載作用下失效分析的臨界極限狀態.

1.2 ? 結構確定性安定分析

1.2.1 ? 安定極限狀態方程

若定義λ為外荷載的比例系數，安定狀態的臨界荷載系數λp為恰使結構維持安定狀態的λ值，安定狀態的極限狀態方程可表示為

式中：G為結構功能函數的值，當G > 0時，λp>1，意味著結構達到安定狀態所能承受的荷載大于實際外荷載，結構安全;反之，結構失效. 因此，λp的確定是判斷結構狀態的核心.

1.2.2 ? λp的確定

得到S（Pk）后，求解式（3）所示優化問題還需確定CT的具體參數.在經典安定分析中CT常根據結構的失效模式由運動機構分析法得到[6].顯然上述方法僅適用于運動機構（失效模式）已知的簡單情況.近年來，有限單元法由于其適用性強，便于計算機進一步分析等優點，成為確定CT的主流方法[9-14]，由有限單元法建立CT與結構系統總剛矩陣的建立過程類似，首先根據單元類型以及單元基本內力參數在局部坐標系下建立單元平衡矩陣，對于本文研究的桿系結構，其單元平衡矩陣建立過程可參考文獻 [16，17]，然后考慮各單元之間的幾何連接關系以及邊界條件，按結構矩陣分析理論在全局坐標系下組裝各單位平衡矩陣即可得到總平衡矩陣CT.

上述確定CT的方法通常需通過自編程實現，較為繁瑣.對于常見的桁架結構和平面抗彎剛架結構等兩類桿系結構，可基于虛力法建立與式（3）等價但更易于實現的優化問題.

式（7）表示桁架的拉壓屈服條件，即為式（3）中材料屈服條件f（·）在此情況下的具體形式，其中ρm是第m桿的殘余軸向應力，Smaxm ? ?，Sminm ? ?分別表示假定結構為純彈性后考慮所有可能荷載時程組合條件下第m桿的最大純彈性拉應力和壓應力，其可由式（9）計算得到，Sm（Pk）為頂點Pk所對應條件下第m桿的純彈性軸向應力，其可由式（6）所示線性疊加得到. σm、 σm′是第m桿的全塑性抗拉強度和全塑性抗壓強度.式（8）為由虛力法得到的CT ρ = 0的等價虛功方程組，其中lm表示第m桿的長度，Svmj表示由第j個虛力所引起的第m桿內的軸向應力，Em表示第m桿的彈性模量，lm Svmj/Em表示第m桿的虛位移，等于其在第j個虛力下對應的彈性變形，式（8）中虛力為對應于某個節點位移自由度方向的單位力，其總數Ns等于節點位移自由度總數，因此，式（8）中各參數的確定需Ns次結構響應分析.

式（10）表示剛架的受彎屈服條件，同樣為式（3）中材料屈服條件f（·）在此情況下的具體形式，其中ρm為第m個塑性鉸的殘余彎矩，Mmaxm ? ?，Mminm ? ?分別表示假定結構為純彈性后，考慮所有可能荷載時程組合條件下第m個塑性鉸的最大純彈性彎矩和最小純彈性彎矩，其由式（12）計算得到，Sm（Pk）為頂點Pk所對應條件下第m個塑性鉸的彎矩，其同樣可由式（6）所示線性疊加得到. Mpm是第m個塑性鉸的全塑性極限彎矩，Mym是第m個塑性鉸僅截面外邊緣屈服的彈性極限彎矩.式（11）為由虛力法得到的CT ρ = 0的等價虛功方程組，amj為對應于在第j個虛力作用下第m個塑性鉸的系數，其取值方法詳見文獻[22]，Nf為預定義的可能塑性鉸的總數. Ns為對應剛架全部基本變形的所有虛力的總數，其與結構自由度正相關，Ns和各虛力的施加方式由文獻[22]給出的三個準則確定，因此，式（11）中各參數的確定需Ns次結構響應分析.

綜上所述，λp可由式（3）所示優化分析得到，而式（3）中的殘余力系自平衡方程CT ρ = 0，可由有限單元法得到或虛力法建立其等價虛功方程組.虛力法可以避免有限單元法自編程建模型的繁瑣過程，但將引入額外的結構分析.因此，選擇虛力法或是有限單元法應根據分析結構的自由度總數進行權衡，在結構自由度總數較高時，宜選擇有限單元法.

1.3 ? λp的求解步驟

根據1.2節的分析，桿系結構λp可按下述步驟求解：

①對各變值荷載對應的單位力F ei作用下的結構進行受力分析，得到應力場S（F ei），（i=1，2，...，d）. 將S（F ei）代入式（6）由代數運算得到結構在各頂點Pk對應的時不變荷載條件下的響應應力場S（Pk），本步驟所需線彈性結構受力分析次數為d次.

②建立殘余力系自平衡方程.若直接基于CT ρ = 0，則需通過自編程序確定C矩陣;若采用虛力法，則可引入有限次附加結構分析得到CT ρ = 0的等價虛功方程組式（8）或式（11）.

③采用MATLAB優化求解工具箱求解相應的優化問題，得到臨界安定荷載系數λp.

2 ? 基于概率密度演化理論的桿系結構整體可

靠度分析

2.1 ? 考慮隨機性的安定極限狀態方程

在安定分析中，盡管結構承受時變荷載，但由式（3）可知，λp僅取決于結構參數、時不變荷載以及時變荷載的時不變參數.顯然，當結構參數及外荷載具有隨機性時，λp可表示為隨機量的函數，即

2.2 ? 整體可靠度的概率密度演化分析

2.3 ? 桿系結構整體可靠度的數值實現

綜上所述，基于安定理論的結構整體可靠度數值求解步驟如下：

①由數論選點策略[26]在多維聯合變量空間（Θ，ΘLR）中選取代表點集（θq，θLR，q） （q=1，…，Nsel），并得到各代表點的賦得概率Uq. 當（Θ，ΘLR）為相關向量且僅已知各變量的邊緣概率密度函數和相關系數矩陣時，可以引入Nataf逆變換[27]進行處理.

②對于給定代表點（θq，θLR，q），由2.3節所述步驟確定λp，進而確定功能函數值G（θq，Pk（θLR，q）），重復以上步驟，求得所有代表點的功能函數值.

③將上述所有G（θq，Pk（θLR，q））（q=1，…，Nsel）及Uq代入式（23），得到pG（g）的數值解.

④將pG（g）的解代入式（16），由一維數值積分即可得到結構整體可靠度R.

3 ? 算例分析

本節由三個算例驗證建議方法的有效性.算例1為一涉及六桿桁架結構的經典體系可靠度問題，通過建議方法結果與已有結果的對比驗證建議方法的準確性和效率;算例2以單層兩跨平面抗彎剛架結構為對象，比較了時不變靜力荷載下的經典體系可靠度與時變靜力荷載下的整體可靠度的差異，驗證了建議方法的必要性;算例3采用建議方法分析了相對較為復雜的空間二十五桿桁架，體現了建議方法的普遍適用性.

3.1 ? 算例1

某六桿桁架如圖2所示，其1、2、5、6桿的截面積為1.33×10-4 m2，3、4桿的截面積為1.49×10-4 m2. 各桿由理想彈塑性材料組成，其初始彈性模量為2.06 × 105 MPa;F為隨機時不變荷載，σm （m=1，2，…，6） 為第m桿的隨機屈服強度，隨機變量的概率信息如表1所示，且假設各變量均相互獨立.對該桁架的不倒概率進行分析.

首先，利用數論選點策略在F和σm組成的七維隨機向量空間中選取1 752個代表點，并得到各代表點的賦得概率Uq （q = 1，2，…，1 752）. 然后，對于任一代表點，均可由前述的確定性安定分析得到對應的功能函數值G（θq，Pk（θLR，q））. 不難發現，確定性安定分析的屈服約束條件僅由結構的線性分析確定，而對于此結構1 752個代表點對應著相同的線性結構，換言之，僅需1次線性結構分析即可確定所有代表點的屈服約束條件.若采用虛力法以避免殘余力系自平衡方程CT ρ = 0的建立，尚需補充4次線性結構分析.由于采用虛力法總共僅需5次線性結構分析，較直接建立CT ρ = 0更為簡便，因此，此處采用虛力法.獲得所有樣本點的功能函數值后，可由式（23）得到功能函數概率密度函數的數值解pG（g），其中參數α由文獻[25]中所述方法確定，其值為0.005 5，求得的pG（g）如圖3所示. 最后，由式（16）得到結構的經典體系可靠度，其對應失效概率為5.64×10-4.此外，文獻[28]給出了近似解為5.92×10-4，文獻[29]給出的失效概率上下界限為[5.02×10-4，7.16×10-4]. 顯然，建議方法所得結果是合理、有效的.由于涉及很少的線性結構分析和非常成熟高效的線性優化問題的求解，建議方法的高效性是顯而易見的.

3.2 ? 算例2

某一承受F1，F2和F3三個外荷載的理想彈塑性材料組成的單層兩跨平面抗彎剛架如圖4所示，其中，各桿截面相同，Mp為截面全塑性極限彎矩，而截面彈性極限彎矩為0.8Mp，結構可能的塑性鉸總數為11. F2和F3為隨機時不變荷載，根據F1特性的不同，分為以下2種情況.

假定a1和b1分別為F1的下界和上界，隨機變量的概率信息如表2所示，且假設各變量相互獨立.分析結構在變值荷載作用下的整體可靠度.

按建議方法選取分析968個代表點，并確定參數α = 0.002 2，得到近似概率密度分布pG（g）如圖5所示，對其積分得到結構整體可靠度對應的失效概率為8.16×10-4. 同樣，上述過程中所有代表點的確定性安定分析屈服約束條件由3次線性結構分析確定，而CT ρ = 0的等價虛功方程組由虛力法補充2次線性結構分析得到.此外，將簡單蒙特卡羅法與確定性安定分析結合，對106個樣本點分析后得到失效概率為8.47×10-4.上述兩結果的相對差異為（8.47-8.16）/8.47=3.66%，顯然，建議方法的高效性和準確性再次得到驗證.

情形2：F1為隨機時不變靜力荷載

在本情形中，F1假定為隨機時不變靜力荷載，其統計信息與情形1的上界值b1相同.其余條件與情形1相同.分析結構的不倒概率.

在本情形中，按建議方法選取分析641個代表點，并確定參數α = 0.002 0，得到pG（g）的概率密度分布如圖6所示，對其積分得到結構整體可靠度對應的失效概率為4.73 × 10-4.

另外，采用抽樣數為106的蒙特卡羅法可得到結構失效概率為4.89 × 10-4. 上述兩結果高度吻合.

比較情形1和情形2的計算結果不難發現，結構在變值荷載作用下的整體可靠度并不等于其在時不變靜荷載（取變值荷載的上界）作用下的不倒概率，甚至較后者更低.因此，建議方法所得整體可靠度能更合理地評估變值靜力荷載作用下結構的安全性.

3.3 ? 算例3

某25桿理想彈塑性空間桁架結構如圖7所示，材料初始彈性模量為2.06×105 MPa，各桿屬性如表3所示.外荷載包括水平節點荷載F1和豎向節點荷載F2，其中F1為隨機時不變荷載，F2為隨機變值靜力荷載;且假定F2的上界為b2，下界為X·b2，X為一定值. σ為材料的抗拉屈服強度，抗壓屈服強度假定為0.9·σ. 隨機變量的概率信息如表4所示，且假設各變量均相互獨立.分析結構在變值荷載作用下的整體可靠度.

由圖9可見，結構失效概率隨著X值增大而單調遞減. 換言之，若變值靜力荷載上界保持不變，其變化范圍越大，結構失效概率越大.

此外，對X = 0的情況，將簡單蒙特卡洛法與確定性安定分析結合，當選取106個樣本點可得到結構失效概率為6.29 × 10-4，與建議方法結果的相對差異為（6.62-6.29）/6.29=5.2%，再次驗證了建議方法的準確性.

4 ? 結論

本文結合安定分析和概率密度演化理論，推導了以安定狀態為極限狀態的功能函數值G（Θ，Pk（ΘLR））的概率密度演化方程，并給出了其概率密度的數值求解方法.以此為基礎，提出了一種可合理評估桿系結構在變值靜力荷載作用下安全性的可靠度分析方法. 并通過多個結構算例，驗證了建議方法的精度和有效性，分析結果表明，建議方法無需進行失效模式的識別，從而避免了失效模式的組合爆炸問題;并且由于經典體系可靠度所涉及的時不變的靜力荷載僅為變值靜力荷載中的一種特殊情況，建議方法可直接應用于經典體系可靠度問題的分析;此外，建議方法所涉及計算大部分為線性優化求解，而線性優化求解的研究較成熟，大量已有的高效線性優化算法為建議方法的計算效率提供了堅實保障.

值得指出的是，結構在變值荷載作用下的整體可靠度不同于其在時不變靜荷載（取變值荷載的上界）作用下的不倒概率，因此應按建議方法評估變值靜力荷載作用下結構的安全性.

參考文獻

[1] ? ?趙國藩. 工程結構可靠性理論與應用[M]. 大連：大連理工大學出版社，1996：2—12.

ZHAO G F. The theory of structural reliability and its applications [M]. Dalian：Dalian University of Technology Press，1996：2—12. （In Chinese）

[2] ? ?THOFT C P，MUROTSU Y. Application of structural systems reliability theory[M]. Berlin，Heidelberg：Springer-Verlag，1986：143—199.

[3] ? ?BENNETT R M，ANG H S. Formulations of structural system reliability[J]. Journal of Engineering Mechanics，1986，112（11）：1135—1151.

[4] ? ?董聰. 現代結構系統可靠性理論及其應用[M]. 北京：科學出版社，2001：186—224.

DONG C. The theory of structural systems reliability and its applications [M]. Beijing：Science Press，2001：186—224. （In Chinese）

[5] ? ?晏班夫，孫雁峰，鄒祺祺. 考慮拉索抗力衰減及破斷的斜拉橋可靠性分析[J]. 湖南大學學報（自然科學版），2017，44（9）：10—16.

YAN B F，SUN Y F，ZOU Q Q. System reliability analysis on the cable-stayed bridge considering cable breakage and resistance degradation [J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2017， 44（9）：10—16. （In Chinese）

[6] ? ?KONIG J A. Shakedown of elastic-plastic structures [M]. Poland：Polish Scientific Publishers，1987：35—56.

[7] ? ?陳剛. 結構塑性極限與安定分析理論及工程方法[M]. 北京：科學出版社，2006：68—74.

CHEN G. The structural plastic limit and shakedown analysis and engineering applications [M]. Beijing：Science Press，2006：68—74. （In Chinese）

[8] ? ?莊妍，王孟，王康宇. 移動荷載作用下結構彈塑性安定分析方法及其應用研究[J]. 湖南大學學報（自然科學版），2018，45（7）：93—102.

ZHUANG Y，WANG M，WANG K Y. Study on shakedown analysis method of elastic-plastic structures under moving loads structures and its application [J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2018，45（7）：93—102. （In Chinese）

[9] ? ?MARTI K. Limit load and shakedown analysis of plastic structures under stochastic uncertainty [J]. Computer Methods in Applied Mechanics & Engineering，2008，198（1）：42—51.

[10] ?TRAN T N，KREIBIG R，STAAT M. Probabilistic limit and shakedown analysis of thin plates and shells [J]. Structural Safety，2009，31（1）：1—18.

[11] ?DOLINSKI K，KNABEL J. Reliability-oriented shakedown formulation [C]// Proceedings of the 9th International Conference on Structural Safety and Reliability-Icossar05. Rome：IOS Press，2005：2323—2330.

[12] ? MANFRED S. Limit and shakedown analysis under uncertainty [J]. International Journal of Computational Methods，2014，11（3）：187—136.

[13] ?STAAT M. Probabilistic limit and shakedown problems [C]// Numerical methods for limit and shakedown analysis：deterministic and probabilistic problems. Jülich：Publication Series of John von Neumann Institute for Computing （NIC），2007：244—259.

[14] WEICHERT D，MAIER G. Inelastic behavior of structures under variable repeated loads [M]. New York：Springer-Verlag，2002：333—345.

[15] ?LI J，CHEN J B. Probability density evolution method for dynamic response analysis of structures with uncertain parameters [J]. Computational Mechanics，2004，34（5）：400—409.

[16] ?龍馭球. 結構矩陣分析中的“平衡-幾何”互伴定理[J]. 工程力學，2012，29（5）：1—7.

LONG Y Q. An adjoint theorem between equilibrium matrix and geometric matrix in structural analysis [J]. Engineering Mechanics，2012，29（5）：1—7. （In Chinese）

[17] ?錢若軍，林智斌，桂國慶. 力法中的平衡方程的建立[J]. 空間結構，2005，11（4）：11—15.

QIAN R J，LIN Z B，GUI G Q. Establishment of equilibrium equation in force method [J]. Spatial Structures，2005，11（4）：11—15. （In Chinese）

[18] ?BORKOWSKI A，KLEIBER M. On a numerical approach to shakedown analysis of structures [J]. Computer Methods in Applied Mechanics & Engineering，1980，22（1）：101—119.

[19] STEIN E，ZHANG G，KONIG J A. Shakedown with nonlinear strain-hardening including structural computation using Finite Element Method [J]. International Journal of Plasticity，1992，8（1）：1—31.

[20] ?LIU Y H，ZHANG X F，CEN Z Z. Lower bound shakedown analysis by the symmetric Galerkin boundary element method[J]. International Journal of Plasticity，2005，21（1）：21—42.

[21] ?楊曉峰. 桁架安定荷載的確定[J]. 上海交通大學學報，1990，24（1）：26—32.

YANG X F. Determination of shakedown load for truss[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University，1990，24（1）：26—32. （In Chinese）

[22] ?楊曉峰. 剛架安定分析中基本彈性變形的直接生成[J]. 上海交通大學學報，1994，28（5）：105—114.

YANG X F. Direct generation of elastic deformation in shakedown analysis of Frames [J]. Journal of Shanghai Jiaotong University， 1994，28（5）：105—114. （In Chinese）

[23] ?YANG X F. Shakedown analysis in plastic design of steel structures [J]. Eng Mech，1989，115（2）：304—314.

[24] ? FARLOW S J. Partial differential equations for scientists and engineers [M]. New York：Dover Publications Inc，1993：205—212.

[25] ? FAN W L，CHEN J B，LI J. Solution of generalized density evolution equation via a family of delta sequences [J]. Computational Mechanics，2009，43（6）：781—796.

[26] ?LI J，CHEN J B. The number theoretical method in response analysis of nonlinear stochastic structures [J]. Computer Mechanics，2007，39（6）：693—708.

[27] ? FAN W L，YANG P C，ANG H S，et al. Analysis of complex system reliability with correlated random vectors [J]. Probabilistic Engineering Mechanics，2016，45：61—69.

[28] ?MUROTSU Y，OKADA H，NIWA K，et al. Reliability Analysis of Redundant Truss Structures [J]. Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers A，1980，46（404）：420—427.

[29] ?董聰. 贅余桁架結構可靠性的計算方法[J]. 航空學報，1989，10（2）：76—78.

DONG C. A method of reliability computation for redundant truss structures [J]. Acta Aeronautica Et Astronautica Sinica，1989，10（2）：76—78. （In Chinese）