隨機(jī)游走問題分析與求解

高宏

【摘要】隨機(jī)游走問題是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)問題，其答案被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上250個(gè)里程碑式的發(fā)現(xiàn)之一.本文首先分析得出隨機(jī)游走問題的本質(zhì)是求解隨機(jī)過程樣本軌道特性，并指出Polya使用概率方法在狀態(tài)空間求解樣本軌道特性的方法錯(cuò)誤，以及將狀態(tài)空間原點(diǎn)當(dāng)作樣本軌道原點(diǎn)的概念錯(cuò)誤.本文使用函數(shù)分析方法分別在時(shí)域和頻域求解隨機(jī)游走樣本軌道位移，得出了醉漢不斷遠(yuǎn)離原點(diǎn)的結(jié)論，從而推翻了Polya醉漢最終一定會(huì)返回原點(diǎn)的結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】隨機(jī)游走，樣本軌道，狀態(tài)空間，常返性

一、引 言

隨機(jī)游走（Random Walk）是概率論與隨機(jī)過程學(xué)科中用于描述隨機(jī)現(xiàn)象的一種基本隨機(jī)過程.液體中懸浮微粒的布朗運(yùn)動(dòng)、空氣中的煙霧擴(kuò)散、股票市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)、慣性導(dǎo)航儀表中的隨機(jī)漂移等現(xiàn)象均可用隨機(jī)游走模型進(jìn)行描述.

1905年，英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Pearson（1905）在《自然》雜志上公開求解隨機(jī)游走問題：如果一個(gè)醉漢走路時(shí)每步的方向和大小完全隨機(jī)，經(jīng)過一段時(shí)間之后，在什么地方找到他的可能性最大？1921年，美籍匈牙利數(shù)學(xué)家Polya在研究隨機(jī)游走問題后，提出了著名的隨機(jī)游走定理（Matrix，2012），證明一維或二維隨機(jī)游走返回原點(diǎn)的概率為100%，從而得出了醉漢最終會(huì)返回原點(diǎn)的結(jié)論.Polya隨機(jī)游走定理被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上250個(gè)里程碑式的發(fā)現(xiàn)之一（Pickover，2015），日本著名數(shù)學(xué)家角谷靜夫?qū)⑵湫蜗蟮乇硎鰹椋鹤砉砜偰苷业交丶业穆?

本文指出Polya使用概率方法在狀態(tài)空間求解樣本軌道特性的解題方法錯(cuò)誤，以及把狀態(tài)空間原點(diǎn)當(dāng)作樣本軌道原點(diǎn)的概念錯(cuò)誤，并使用函數(shù)分析方法分別在時(shí)域和頻域求解隨機(jī)游走問題，得出了一維隨機(jī)游走隨時(shí)間不斷遠(yuǎn)離原點(diǎn)的結(jié)論，從而推翻了Polya醉漢最終一定會(huì)返回原點(diǎn)的錯(cuò)誤結(jié)論.

二、問題分析

（一）一維隨機(jī)游走問題

即醉漢或質(zhì)點(diǎn)距原點(diǎn)的距離與時(shí)間成正比，醉漢或質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)越來越遠(yuǎn).

下圖為利用式（1）的隨機(jī)游走樣本軌道模型仿真10條樣本軌道n=1 000步時(shí)的曲線，其中的白噪聲ε（n）服從（0，1）正態(tài)分布.從仿真曲線可以看出，每條樣本軌道距原點(diǎn)的距離均與時(shí)間成正比，即從原點(diǎn)出發(fā)的隨機(jī)游走醉漢或質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)越來越遠(yuǎn).

六、結(jié) 論

本文首先指出Pearson的隨機(jī)游走問題是求解隨機(jī)過程樣本軌道特性問題，同時(shí)指出Polya使用概率方法在隨機(jī)過程狀態(tài)空間求解隨機(jī)游走問題的方法錯(cuò)誤，并將隨機(jī)過程狀態(tài)空間原點(diǎn)當(dāng)作樣本軌道原點(diǎn)的概念錯(cuò)誤.本文使用函數(shù)分析方法分別在時(shí)域和頻域求解隨機(jī)游走過程樣本軌道的位移，均得出一維隨機(jī)游走隨時(shí)間不斷遠(yuǎn)離原點(diǎn)的結(jié)論，從而推翻了Polya一維隨機(jī)游走最終一定會(huì)返回原點(diǎn)的錯(cuò)誤結(jié)論.

【參考文獻(xiàn)】

[1]Karl Pearson.The Problem of the Random Walk[J].Nature，1905（72）：294.

[2]Matrix.神奇的數(shù)學(xué)定理[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2013（26）：4-5

[3]Clifford A.Pickover.數(shù)學(xué)之書：數(shù)學(xué)史上250個(gè)里程碑式的發(fā)現(xiàn)[M].陳以禮，譯.重慶：重慶大學(xué)出版社，2015.

[4]Sheldon M.Ross.隨機(jī)過程[M].龔光魯，譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2013.

[5]Jonathan Novak.Polya的隨機(jī)游走定理[J].數(shù)學(xué)譯林，2016（3）：281-285.

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