淺談無窮小量在數學發展史中的作用

高桂英 孫曉坤

【摘要】本文闡述了無窮小量是高等數學核心定義的一個關鍵的量.無窮小量的引入完善了高等數學的知識體系.

【關鍵詞】無窮小量，微積分，變化率，牛頓，萊布尼茲

眾所周知，微積分是數學分析的基礎，為我們提供了一整套測算幾何圖形、各種曲面面積的通用方法，包活測算行星繞太陽運行的軌跡在內曲面面積的方法.微積分思想產生于17世紀，可以說是17世紀最偉大的世界知識遺產之一.18世紀，德國最著名的數學家萊布尼茲和英國最偉大的數學家牛頓，二人為了宣稱自己創立了微積分，進行了一場持續時間長達10年之久的激烈爭斗，而且這場爭斗一直持續到他們各自去世.可以說兩位數學大家上演了歷史上最重大的知識產權之爭.直到19世紀，微積分的思想體系才得以完善，微積分的創立打開了數學的廣闊天地.可以說，有了微積分，才有了數學分析的開端，才有了數學龐大分支的產生.而在微積分的發展過程中，無窮小量起到了舉足輕重的作用.

一、微積分思想的創立離不開無窮小量

微積分是一種數學思想，“無限細分”就是微分，“無限求和”就是積分.微積分的創立，起源于17世紀一直困擾人們的主要四類科學問題，即速度問題、切線問題、面積問題、最值問題.這四類問題的共性是：一個變量相對另一個變量的變化率問題和它的逆問題——和的極限能夠由變化率的逆過程得到.科學家們先后給出了上述四類問題的解決方法，但解決這類問題的共性并沒有被注意到.在解決單個問題的時候，盡管科學家們隱約地發覺甚至利用了它們之間的關系，但是沒有引起足夠的重視.格雷戈瑞在《幾何的通用部分》中證明了切線問題是面積問題的逆問題，但他的著述當時未引起科學家們的注意.

事物的普遍性寓于特殊性之中，偉人的偉大之處就是善于從特殊的事例中總結出具有普遍意義的結果.牛頓和萊布尼茲將眾多科學家得出的零碎微積分思想總結出具有普遍意義的結論.牛頓總結了前人的思想，建立起成熟的方法，并給出了前面敘述的幾個問題的內在聯系，他先后在三篇論文中表達了微積分的基本問題，其中最具有代表性的是牛頓寫于1671年但直到1736年才出版的《流數法和無窮級數》.在這本書中，他認為變量由點、線、面的連續運動產生的.他把變量叫作流，變量的變化率叫作流數，對x和y的流數，他記為x·和y·，x·的流數是x· ·等等.

牛頓在書中清晰地表述了微積分的基本問題，引進了無窮小量.盡管此時的無窮小量的概念并不是很明確，也不是很科學，但是在解決問題的過程中起到了關鍵的作用.牛頓清楚地陳述了微積分的基本問題：由已知的流動量求流數，由已知的流數求流動量.他認為，流是隨時間變化的，因為這是一種有用的但不是必需的思想方法.如果0（牛頓把無窮小的增量叫作瞬，并用0表示）是無窮小的時間間隔，那么x0和y0就是x和y的無窮小量的增量或者是x和y的瞬.牛頓此時提出了函數值增量相對自變量增量的變化率的問題，后來人們稱它為導數.

總之，牛頓把x和y的無窮小量增量作為求流數的手段，當增量越來越小的時候，流數（導數）就是增量比的極限，他完全明白了兩種關系的互逆性，準確地建立了微分和積分之間的聯系，并由此來解決一些實際問題：求曲線的切線，求函數的最大值和最小值，求曲線的曲率和曲線的拐點.他得到了曲邊圖形的面積和曲線長度的求法等等.總之，他利用了導數和反導數解決了微分和積分的所有問題.牛頓一直很有經驗地、具體地、謹慎地進行著他的工作.他建立和完成了無窮小量的分析，實際也就建立和完成了微積分.盡管他創立了很多方法，但他很少提出法則，微積分的應用不僅證明了他的價值，而且遠遠地超過了萊布尼茲的工作，刺激并決定了整個18世紀分析的方向.

在建立微積分思想的過程中，另一位做出卓越貢獻的科學家是萊布尼茲.雖然他與牛頓的貢獻是完全不同的，他的著手點是從求函數的無窮小的增量的題目出發，函數取得這種增量是無限小變化的結果，萊布尼茲把這個函數的增量叫作微分，并用字母d表示.此外他還創立了一套獨特的微積分符號系統，進而建立了積分的公式系統和運算法則，進一步給出了微分的基本運算法則和積分表.牛頓在微積分的應用中結合了運動學，造詣較萊布尼茲高一籌，但萊布尼茲的表達形式采用數學符號卻又遠遠優于牛頓一籌，既簡潔又準確地揭示出微積分的實質，強有力地促進了高等數學的發展.萊布尼茲創造的微積分符號，正像印度阿拉伯數字促進了算術與代數發展一樣，促進了微積分學的發展，萊布尼茲是數學史上最杰出的符號創造者之一.

雖然萊布尼茲提出微積分比牛頓晚，但是他發表微積分的著作比牛頓要早.正是因為如此，萊布尼茲才宣稱自己是微積分的第一創始人.正是因為微積分的意義很重大，萊布尼茲才被當時整個歐洲公認為最偉大的數學家.

后人一直認為牛頓和萊布尼茲都是微積分思想的獨立發明者，盡管牛頓更早地接近最后的結論，而相對而言比萊布尼茲要晚一些，而萊布尼茲比牛頓更早地發表自己的成果，但他們之間的共同之處都是借助于無窮小量創立了微積分基本思想.他們創立的思想在數學的發展史中起到了劃時代的意義.

二、無窮小量在數學的完整框架結構中起到了紐帶的作用

牛頓和萊布尼茲創立了微積分思想，但沒有給出精確概念，微積分要成為一門獨立的學科，必須有自己的基礎理論，為此科學家們一直在探索和研究，直到19世紀，才由波爾查諾和柯西給出精確的導數和積分的定義.

縱觀高等數學可以看到，微積分的原始定義都是通過極限理論來定義的，而極限理論的核心就是量變到質變的飛躍，在實現飛躍的過程中，無窮小量起到了關鍵的作用.

比如，導數的定義，函數在某一點的導數是自變量增量在無窮小的狀態下，函數值的增量與自變量增量的比值的極限值，即 limΔx→0ΔyΔx=f′（x0），而對ΔyΔx無論|Δx|多么?。ǖ坏扔诹悖?，從平面函數的曲線來講，ΔyΔx始終是過定點P（x0，y0）割線的斜率，但取得極限后limΔx→0ΔyΔx就產生了值的變化——過P（x0，y0）的切線的斜率了.

再比如，微分的定義，即函數y=f（x）在點x=x0上的改變量Δy可以表示為Δy=αΔx+o（Δx），其中o（Δx）是當Δx→0時比Δx高階的無窮小，這時稱函數f（x）在點x0處可微，且α=f′（x），稱f′（x0）Δx為f（x）在點x0處的微分，記作dy=f′（x0）Δx，于是有Δy=dy+o（Δx），微分又稱為函數改變量的主要部分.微分學的真正意義是，它可以近似等于增量，而且較為精確.這就是用無窮小量定義微分的重要性.類似的概念在高等數學中有很多，這里不再一一敘述.

微積分思想最根本的內容是無窮小，但是這個無窮小到底是什么，它跟0又是什么關系，數學家們一直都沒有搞清楚，當時由此導致產生了一些很有趣的悖論.就連牛頓和萊布尼茲兩位大師對無窮小的定義也很粗糙，甚至于有時候還變來變去，這顯然是很不合適的.最終到了18世紀，導致了數學史上的第二次數學危機.

總之，微積分凝聚了眾多科學家的智慧，經過了近三個世紀的時間才日趨嚴謹和完善起來，而在這一發展過程中無窮小量起到了至關重要的作用.