高觀點(diǎn)下小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的滲透

卜嬌 李明蘭

【摘要】數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓，是統(tǒng)領(lǐng)課堂教學(xué)的主線，對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)意義重大.高觀點(diǎn)下看小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容蘊(yùn)含有形式化的數(shù)學(xué)思想、對象化與結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思想、化歸的數(shù)學(xué)思想.這些數(shù)學(xué)思想方法的滲透有助于初步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維和算術(shù)、代數(shù)思維.結(jié)合教學(xué)實(shí)例進(jìn)行分析，便于教師理解和落實(shí).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想方法，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，高觀點(diǎn)，滲透

對數(shù)學(xué)基本思想的突出強(qiáng)調(diào)是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個重要變化，如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在總體目標(biāo)中提出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn).”[1]這一表述將數(shù)學(xué)基本思想作為義務(wù)教育階段，尤其是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本目標(biāo)之一，更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)基本思想的重要性.然而，就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)實(shí)而言，這一理念還不能說已經(jīng)得到了很好的貫徹落實(shí)，而造成此現(xiàn)象的重要原因就是普遍認(rèn)為：小學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容過于簡單，因而，不可能很好地蘊(yùn)涵一些深刻的數(shù)學(xué)思想.

一、相關(guān)概念的界定

在對這一觀點(diǎn)具體分析之前，需要首先清楚界定數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的內(nèi)涵.以下就是相關(guān)概念的界定.

數(shù)學(xué)基本思想是數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展所必須依賴的思想，也是學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的人應(yīng)當(dāng)具有的基本思維特征.[2]數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的合稱.所謂數(shù)學(xué)思想是指從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來的對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，它在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中被普遍使用，是建立數(shù)學(xué)理論和解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想.所謂數(shù)學(xué)方法是指在研究數(shù)學(xué)問題的過程中所采用的各種方式、手段、途徑、步驟、程序等，它通過一些可操作的規(guī)則或模式達(dá)到某種預(yù)期的目的.[3]總之，數(shù)學(xué)思想是相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的精神實(shí)質(zhì)，是數(shù)學(xué)方法的靈魂，數(shù)學(xué)方法是實(shí)現(xiàn)有關(guān)思想的策略方法，是數(shù)學(xué)思想的具體化反映.同一個數(shù)學(xué)成就，當(dāng)用其去解決數(shù)學(xué)問題時，稱之為數(shù)學(xué)方法，當(dāng)評價(jià)其在數(shù)學(xué)體系中的價(jià)值和意義時，又稱之為數(shù)學(xué)思想.可見數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的聯(lián)系是明顯的，因而，在實(shí)際使用時往往不加區(qū)別.在小學(xué)階段，常將思想和方法這兩重意思合在一起說，以下論述中統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法.

二、小學(xué)數(shù)學(xué)中的基本數(shù)學(xué)思想方法

陳省身先生說過，好的數(shù)學(xué)指的是能發(fā)展的、能越來越深入、能被廣泛應(yīng)用、互相聯(lián)系的數(shù)學(xué).[4]小學(xué)數(shù)學(xué)雖然簡單，但在數(shù)學(xué)知識體系的建構(gòu)中扮演著重要角色，是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是好的數(shù)學(xué).教師要想教好它，就必須立足高觀點(diǎn)下挖掘小學(xué)數(shù)學(xué)知識中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中比較基本和重要的數(shù)學(xué)思想有“形式化的數(shù)學(xué)思想”“對象化與結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思想”和“化歸的數(shù)學(xué)思想”等等.

（一）形式化的數(shù)學(xué)思想

“形式化的數(shù)學(xué)思想”就是將現(xiàn)實(shí)世界的有關(guān)數(shù)與形的事物抽象概括成數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)關(guān)系，用數(shù)學(xué)符號（或語言）表達(dá)出來，即數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).[3]其中體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思維——數(shù)學(xué)抽象思維，即運(yùn)用數(shù)學(xué)語言、符號反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)和規(guī)律的一種思維.

小學(xué)階段學(xué)習(xí)正整數(shù)加減法，常常基于某個特殊的現(xiàn)實(shí)情境展開.比如，“已知有4個蘋果，5個梨，求水果的總量”可列式為“4+5=9”.在這個過程中我們把現(xiàn)實(shí)原型抽象成相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，由特殊過渡到一般，實(shí)現(xiàn)了形式化.顯然，借助現(xiàn)實(shí)原型有利于學(xué)生很好地理解數(shù)學(xué)，這表明數(shù)學(xué)知識向現(xiàn)實(shí)生活“復(fù)歸”至關(guān)重要.需要說明的是，數(shù)學(xué)教學(xué)若一味提倡數(shù)學(xué)知識向現(xiàn)實(shí)生活“復(fù)歸”易導(dǎo)致“去數(shù)學(xué)化”現(xiàn)象.實(shí)際上，與現(xiàn)實(shí)意義在一定程度上的分離對學(xué)生很好地把握相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是十分重要的.可從下段分析中得知.

（二）對象化與結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思想

“對象化與結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思想”主要體現(xiàn)在代數(shù)領(lǐng)域.該領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，注重將各個數(shù)看成抽象的獨(dú)立對象，而不始終聚焦于它們的現(xiàn)實(shí)意義.數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)主要表現(xiàn)在它們的相互關(guān)系，可將這些數(shù)學(xué)對象組成一種整體性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這就涉及了“對象化與結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思想”.其中包括“用字母表示數(shù)的思想方法”與“變量和函數(shù)的思想方法”.

“對象化與結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思想”被看成代數(shù)思維十分重要的一項(xiàng)內(nèi)涵[5]，代數(shù)思維是由具體的數(shù)擴(kuò)展到了式（字母表達(dá)式），達(dá)到了更高的抽象層次.關(guān)于代數(shù)思維的研究有一項(xiàng)重要成果，即斯法德（A.Sfard）的代數(shù)思維的基本形式（對象——過程理論），指明“凝聚”是由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化構(gòu)成了代數(shù)（包括算術(shù)）思維的基本形式.[6]例如，當(dāng)計(jì)算兩個加數(shù)相加（被減數(shù)與減數(shù)相減）就可得到相應(yīng)的和（差），大量的加減法計(jì)算被看成一個過程，隨著學(xué)習(xí)的深入，這些運(yùn)算不再僅僅被看成一個過程，而被認(rèn)為是一個特定的數(shù)學(xué)對象，可以具體地去指明它們所具有的各種性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律等.從心理表征來看，就經(jīng)歷了一個“凝聚”的過程，即由一個包含多個步驟的操作過程凝聚成了單一的數(shù)學(xué)對象.

“用字母表示數(shù)”是代數(shù)思維的基本特征.它可以把數(shù)或數(shù)量關(guān)系簡明而普遍地表現(xiàn)出來，也可以使一些復(fù)雜的運(yùn)算變得簡單，這是發(fā)展符號意識、進(jìn)行量化刻畫的基礎(chǔ)，也是從常量研究過渡到變量研究的基礎(chǔ).[3]小學(xué)代數(shù)內(nèi)容蘊(yùn)涵“用字母表示數(shù)的思想方法”.如在學(xué)習(xí)平面圖形的面積計(jì)算公式時，學(xué)生不僅要?dú)w納出面積計(jì)算公式，還要會用字母表示，體會用字母表示計(jì)算公式的簡便和優(yōu)越.有了“用字母表示數(shù)的思想方法”就利于學(xué)生由“過程”向“對象”轉(zhuǎn)化，再以“數(shù)學(xué)對象”為起點(diǎn)進(jìn)一步學(xué)習(xí)，便于培養(yǎng)小學(xué)生的代數(shù)思維.

“變量和函數(shù)的思想方法”在小學(xué)一年級就有跡可循.如，“在2+8=□，7+□=16，□>43>□等算式中填上合適的數(shù)”，該題用“□”代替具體的數(shù)乃至變量.讓學(xué)生在“2+8=□”中填上合適的數(shù)，這個答案“10”是唯一確定的，如果把左端的2變成3，右端的10就變成11，把左端的8變成7，右端的10就變成9.隨著重復(fù)的計(jì)算，學(xué)生認(rèn)識到右端的數(shù)被左端的數(shù)所唯一確定，而在數(shù)學(xué)里，數(shù)量之間的確定性關(guān)系叫作函數(shù)關(guān)系，這實(shí)際上就是由多個加法的計(jì)算過程“凝聚”形成了學(xué)生對函數(shù)關(guān)系的初步感知，即是由“過程”向“對象”轉(zhuǎn)化，也可以培養(yǎng)小學(xué)生的代數(shù)思維.

（三）化歸的數(shù)學(xué)思想

“化歸的數(shù)學(xué)思想”是指把待解的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已解決或者較容易解決的問題中去，最終求得原問題解答的一般手段和方法.所謂“化歸”就是實(shí)現(xiàn)問題的規(guī)范化，即將待解問題轉(zhuǎn)化為規(guī)范問題，從而使原問題得到解決的方法.這里的規(guī)范問題是指已經(jīng)具有確定的解決方法和程序的問題，而將一個問題化為規(guī)范問題的過程叫作問題的規(guī)范化.[7]小學(xué)階段進(jìn)行規(guī)范化的具體操作方法有：數(shù)形結(jié)合的方法、化曲為直的方法，等等.

“數(shù)形結(jié)合的方法”在小學(xué)認(rèn)識小數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)時常常用到.如在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識時，借助直觀圖使學(xué)生對分?jǐn)?shù)有感性的認(rèn)識（如圖所示）.這里運(yùn)用了“數(shù)形結(jié)合的方法”將未知“分?jǐn)?shù)”轉(zhuǎn)化為已知“圖形”來理解，體現(xiàn)了“化歸的數(shù)學(xué)思想”.

“化曲為直的方法”在小學(xué)數(shù)學(xué)中典型的例子就是探究圓的面積計(jì)算公式.把一個圓平均分成16，32，64份，剪開后可以近似拼成一個平行四邊形，若將這個圓無限細(xì)分，就可拼成一個近似的長方形，于是可以借助拼成的長方形來推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式.該過程是將不會計(jì)算面積的圓轉(zhuǎn)化為會計(jì)算面積的長方形去探索圓的面積計(jì)算公式，即將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，將曲線問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)直線的問題來解決，蘊(yùn)含著“化歸的數(shù)學(xué)思想”.

除了上述具有專門術(shù)語的操作方法外，大量的是沒有專門術(shù)語的操作方法.例如，小數(shù)乘法計(jì)算轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法計(jì)算，不規(guī)則圖形的面積計(jì)算轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積計(jì)算，等等.總之，數(shù)學(xué)問題解決的核心就是化歸，沒有化歸就沒有問題解決.[3]

三、滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略

小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)含有豐富的數(shù)學(xué)思想方法.在小學(xué)階段有意識地向?qū)W生滲透一些數(shù)學(xué)思想方法，可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、公式、定理、定律的理解，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要手段.因此，教師必須有目的地將數(shù)學(xué)思想方法融入數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中，幫助學(xué)生初步體會和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.下面具體論述小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中思想方法的教學(xué)策略.

（一）在知識的形成過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程與數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生過程是緊密聯(lián)系、相輔相成的.每一個概念、規(guī)律都經(jīng)歷著由具體到抽象、由特殊到一般的形成過程.因此，概念的形成、結(jié)論的得出、規(guī)律的概括等過程都蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，是滲透數(shù)學(xué)思想方法極好的素材.為了能選取到滲透數(shù)學(xué)思想方法的合適素材，教師必須深刻鉆研教材，重視設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程，引導(dǎo)學(xué)生從探索出發(fā)，參與概念的形成和規(guī)律的揭示過程.由此學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)概念、定理、法則的過程中，不僅學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)知識，還培養(yǎng)了良好的思維品質(zhì).這一過程自然加深學(xué)生對其中數(shù)學(xué)思想方法的理解與領(lǐng)悟.

例如，教學(xué)兩位數(shù)加一位數(shù)的筆算進(jìn)位加法時，由于這是小學(xué)一開始學(xué)習(xí)列豎式筆算加法，因此，必須為“豎式”的建立做好認(rèn)知鋪墊.教師可以讓學(xué)生逐步經(jīng)歷“擺小棒計(jì)算”——“撥計(jì)數(shù)器計(jì)算”——“列豎式計(jì)算”這一系列操作性數(shù)學(xué)活動，使學(xué)生不但掌握計(jì)算方法，而且獲得對算理的理解，以此為基礎(chǔ)再進(jìn)行算法的提煉和概括.實(shí)現(xiàn)由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化，方便后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)算術(shù)運(yùn)算.教師在列豎式筆算加法的教學(xué)中通過逐步抽象建立“豎式”的過程，不但加深了學(xué)生對豎式的理解，而且滲透了“形式化的數(shù)學(xué)思想”，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維.

（二）在問題解決的過程中提煉數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)問題解決的過程，實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)命題的不斷變換和數(shù)學(xué)思想方法反復(fù)運(yùn)用的過程.[3]數(shù)學(xué)思想方法存在于數(shù)學(xué)問題解決的過程中，并指導(dǎo)數(shù)學(xué)問題的解決.因此，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，數(shù)學(xué)思想方法起著統(tǒng)攝、定向的作用.一方面，教師要讓學(xué)生在已有知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上對問題情境中的信息進(jìn)行重新加工，再將已有知識經(jīng)驗(yàn)與未知相聯(lián)系，并在數(shù)學(xué)思想方法的引導(dǎo)下尋找問題解決的起點(diǎn)和方向，從而找到解決問題的具體思路和方法.另一方面，在解決問題后，教師要引導(dǎo)學(xué)生對解題過程中用到的方法策略進(jìn)行反思、歸納和概括，以加深對數(shù)學(xué)知識的理解.經(jīng)歷由解題的基本方法策略向數(shù)學(xué)思想方法的轉(zhuǎn)化，使得學(xué)生把數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化為自己的觀點(diǎn)，并能夠借助它來解決問題.

例如，“多邊形內(nèi)角和”這個內(nèi)容是在初中重點(diǎn)學(xué)習(xí)的，小學(xué)階段對該問題的研究主要是作為“三角形內(nèi)角和”的拓廣和延伸，不做過高要求.小學(xué)教學(xué)“三角形內(nèi)角和”內(nèi)容普遍采用的是讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想——測量——驗(yàn)證”這一系列活動歸納、概括出數(shù)學(xué)結(jié)論.接下來教師可以提示學(xué)生運(yùn)用課上積累的相關(guān)活動經(jīng)驗(yàn)探究“四邊形內(nèi)角和”.需要注意的是，在進(jìn)行驗(yàn)證的時候教師可以稍做引導(dǎo)，防止學(xué)生一味用“剪拼”的方法進(jìn)行驗(yàn)證，難以想到將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形進(jìn)行計(jì)算.解決“四邊形內(nèi)角和”這一問題之后，教師必須帶領(lǐng)學(xué)生對其中所用的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行反思、歸納和概括，即提煉“化歸的數(shù)學(xué)思想”，幫助學(xué)生將其內(nèi)化，在以后的解題中加以應(yīng)用.

（三）在知識的總結(jié)歸、納過程中概括數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)知識體系中居于核心地位，它們以內(nèi)隱的方式融于知識體系中.一方面，同一知識內(nèi)容可能蘊(yùn)涵著不同的數(shù)學(xué)思想方法，另一方面，同一數(shù)學(xué)思想方法也可能分布在不同的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容中，這反映了知識間具有內(nèi)在的邏輯聯(lián)系.因此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行適時的總結(jié)和歸納.可將其專門作為教學(xué)設(shè)計(jì)的一個環(huán)節(jié)，安排在課后小結(jié)、單元小結(jié)或復(fù)習(xí)時.教師要有計(jì)劃、有步驟地和學(xué)生一起歸納、概括數(shù)學(xué)思想方法，注重從兩方面整理數(shù)學(xué)思想方法及其系統(tǒng)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思想方法的普遍實(shí)用性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

例如，在學(xué)習(xí)完平面圖形面積計(jì)算之后，可專門安排一次復(fù)習(xí)課，包含如下數(shù)學(xué)活動：首先讓學(xué)生回憶都學(xué)過哪些平面圖形的面積計(jì)算公式，其次讓學(xué)生交流這些面積計(jì)算公式是怎樣推導(dǎo)的，重點(diǎn)說說長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形以及圓，最后提問學(xué)生怎么求組合圖形的面積.通過交流，學(xué)生不僅可以加深對這些面積計(jì)算公式的理解和掌握，建立起平面圖形面積計(jì)算公式的聯(lián)系，形成良好的圖式，還可以認(rèn)識到探索這些面積計(jì)算公式時所用到的同一種數(shù)學(xué)思想——化歸，即將新學(xué)的平面圖形轉(zhuǎn)化為已知面積公式的平面圖形，再去推導(dǎo)面積計(jì)算公式，使學(xué)生感受“化歸的數(shù)學(xué)思想”的優(yōu)越性，體會數(shù)學(xué)思想方法的普遍實(shí)用性.

綜上可以看出，小學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富且深刻的數(shù)學(xué)思想方法.作為教師，我們應(yīng)在高觀點(diǎn)指導(dǎo)下挖掘小學(xué)數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容恰當(dāng)設(shè)計(jì)相關(guān)數(shù)學(xué)活動，以使學(xué)生更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維.對這里所說的“數(shù)學(xué)活動”我們應(yīng)作更為廣義地理解：這不僅包括概括、抽象、符號化、操作、算法的應(yīng)用等，而且還包括下定義、綜合、視覺化、表征、證明和公理化等[5]，而教學(xué)的關(guān)鍵就是幫助學(xué)生理解這些數(shù)學(xué)活動的意義，進(jìn)而更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法.

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