高中數學中導數問題的學習研究

吳沛東 潘康林

【摘要】導數廣泛的應用有助于高中生更好地掌握函數的形態等各方面知識，能夠為學生日后在高等數學中的學習打下良好的基礎.本文由導數在高中數學中的重要地位入手，通過對導數的概念教學、導數在解題過程中的應用以及數學思想在導數問題中的應用的探討，旨在探究幫助學生拓展思路、提高能力的有效方法.

【關鍵詞】高中數學，導數問題，學習研究，函數形態，數學思想

【基金項目】本文系：廣西教育科學“十二五”規劃2015年度C類自籌經費一般課題“高中生在導數問題解決中的學習研究——以廣西北海為例”（批準文號：桂教科學【2015】11號，立項號：2015C114）的階段性成果.

現實教學中，很多學生都在私下跟教師反映導數太難學，感覺學不會.導數不僅是高等數學和初等數學之間聯系的紐帶，而且在高中數學多個章節的內容間建立了聯系，是許多重要知識的交匯點，也是學好高中數學的一個重要工具.因此，教師必須為學生解決“導數難學”的問題.筆者結合自身在導數教學中的經驗總結，提出了以下幾點內容，希望為廣大一線高中數學教師提供些許參考意見.

一、導數在高中數學中的地位

（一）有助于學生理解函數性態

函數是高中數學中非常重要的組成部分，要學好函數知識，就要牢固掌握函數的形態，研究這些形態借助函數的圖像往往能夠起到事半功倍的效果.而導數的學習能夠幫助學生更好地繪制和分析函數圖像，對一些通過描點法、圖像變換規律難以做出的函數圖像，利用導數學生就能快速地判定函數的單調性，通過精確的函數極值點和最值點就能快速繪制函數圖像，為學生提供一個解決函數問題的有效工具.

（二）有助于學生掌握函數思想

在解決復雜的函數問題或是一些實際問題時，往往會用數學建模的方法來分析問題并建立函數關系，那么對所建立的函數關系，利用導數的應用以及函數思想往往能夠有效快速地找到突破口.

（三）有助于學生解決切線問題

高中教材上的導數知識是由“變化率”引入的，研究曲線的變化率是一個重點內容，而導數的幾何意義和曲線的變化率密切相關——f′（x0）正是曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線斜率，這個知識點在高考中也是一個非常重要的考點.

二、結合數學史進行概念教學，幫助學生理解導數概念

（一）引 入

現實世界中有許多運動、變化的過程，為了描述、研究這些過程，我們引入了函數.在以往的學習中，我們大多時候都在探究靜態函數的形態，但動態函數在高中數學中也是非常重要的知識點.那么我們該如何研究動態函數呢？微積分的創立為函數的研究提供了非常有力的工具，它是牛頓和萊布尼茨站在巨人的肩膀上劃時代的偉大創造，是數學史上的里程碑，讓我們穿過歷史的長河，來看看微積分是如何誕生的.

（二）情境創設

16世紀時，伽利略在比薩斜塔上做了轟動一時的“自由落體實驗”，發現了兩個不同質量的鐵球是同時落地的，這個發現推翻了亞里士多德提出的“重量不同的物體落地速度不同”的理論，并在當時引起了軒然大波，同時引發了大量科學家對速度問題的思考和探究：自由落體運動明顯是變速運動，那么該如何求其在各個時刻的速度即瞬時速度呢？中國古代有祖沖之利用“割圓術”將圓周率精確到小數點后七位的故事，所謂“割圓術”，即是不斷增加圓的內接正多邊形的邊數，進而近似求出圓的面積，古人認為“天圓地方”正是因為人們所處的地域面積相對整個地球面積小到可以忽略不計而產生“地是方的”的錯誤認知.因此，科學家們認為，如果在極其短暫的瞬間，變速曲線運動也能夠近似看作勻速直線運動，所以只要所取的時間區間Δt非常非常小，并無限趨近于0，那么在這個時間區間內物體的速度就可以看作是不變的.這個認識是一個偉大的認識，由此導致了微積分的誕生.

（三）引出導數概念

（三）構造思想

構造思想能夠將已知條件應用到所求問題中，使得問題轉化為一種更簡單易解的新形式，簡化解題過程.

例如，在問題“已知函數f（x）=exlnx+2ex-1x（x>0），證明f（x）>1”中，直接去證明是非常困難的，此時觀察exlnx+2ex-1x>1這個式子，可以發現里面含有指數函數、對數函數和一次函數，那么可以將指數函數放在一起，把對數函數和一次函數放在一起，即構造不等式xlnx>xe-x-2e，這樣只需去證明函數g（x）=xlnx是恒大于函數h（x）=xe-x-2e的即可.在利用構造法轉化問題之后，再利用導數在函數方面的應用去分析g（x）和h（x）的函數關系，即通過g（x）的一階導g′（x）=1+lnx可得到g（x）在區間0，1e上單調遞減，在1e，+∞上單調遞增，因此，g（x）的最小值為f1e=-1e，同理可以求出函數h（x）的最大值為h（1）=-1e，所以，當x>0時，f（x）>1.

總之，導數在高中階段占據著越來越重要的地位，教師必須高度重視學生對導數的學習研究，精心備課，讓學生樂意將時間和精力用在其中，以不斷提高學生的數學水平.

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