螺旋面方程建立及銑削時刀具刃型設計*

2020-04-11 02:02:46李春旭劉柄宏

沈陽工業大學學報 2020年2期

丁偉，李春旭，劉柄宏

(1. 遼寧科技大學 a. 應用技術學院，b. 機械工程與自動化學院，遼寧鞍山 114051； 2. 鞍鋼股份有限公司煉鋼總廠，遼寧鞍山 114001)

復雜螺旋面螺桿廣泛應用于氣體壓縮機、液體泵、擠出機等領域，根據應用場合不同，對螺旋型面有著不同的要求，且隨著型面結構日益復雜，對其精度要求越來越高.而螺旋面加工存在易干涉、加工精度不高等問題，嚴重影響著產品的質量[1-2]，因此對于復雜螺旋面的加工原理、加工刀具設計及干涉問題的研究極為重要.

針對某些螺旋型面用直角坐標系表達相對困難的問題，本文利用標架確定螺旋面方程，然后再將其轉換成直角坐標方程，并根據共軛原理設計刀具刃型，運用內銑及合理選擇切削用量提高加工精度及效率[3-4].本文提供了母線位于端截面、軸截面、偏軸截面、法截面等各種螺旋型面的數學模型，同時為復雜螺旋面螺桿外、內(旋風)銑削加工提供了刀具設計的數學模型及二分法程序框圖.

1 理論分析及螺旋面方程建立

1.1 銑削螺旋面原理

螺旋面銑削過程中，刀具繞自身軸線作回轉運動，同時工件繞自身軸線作參數為P的螺旋運動，從而加工出螺旋面.螺旋面銑削坐標示意圖如圖1所示.

圖1 坐標系示意圖Fig.1 Schematic coordinate system

圖1中，坐標系(o，x，y，z)與工件固連，z為工件回轉軸；坐標系(o1，x1，y1，z1)與刀具固連，z1為刀具回轉軸，且x1與x重合，y1o1z1面平行于yoz面.銑刀與螺旋面相對運動任意瞬時，工件螺旋面與刀具原始廓面將沿某一空間曲線相切接觸，刀具與工件的運動都不影響這條接觸線的形狀和位置.求出這條接觸線且令其繞工件軸線作參數P的螺旋運動，即得到工件螺旋面[5-6]，也就是該接觸線與工件固連坐標系(o，x，y，z)中的軌跡.令接觸線繞刀具軸線作回轉運動，即形成原始刀具面，也就是該接觸線在與刀具固連坐標系(o1，x1，y1，z1)中的運動軌跡，求出這條接觸線是設計刀具刃型的關鍵[6-7].

1.2 螺旋面方程

螺旋線方程[8]可表示為ρ=Re(φ)+Pφk.其中：R為基圓柱半徑；P為螺旋常數(P=0.5S/π)；S為螺桿導程；e(φ)為圓矢量函數；φ為轉角參數.當φ變化時，e(φ)的矢端曲線為一單位圓，i、j、k表示坐標系(o，x，y，z)三個坐標矢量.

在螺旋線上選直角標架{e1，e2，e3}，且使e1=e(φ)，e2=e1(φ)，e3=k.設ξ(t)、η(t)、ζ(t)為母線上任一點在標架上的分量，其中，t為截面角度參數，則母線可表示為ξ(t)e1+η(t)e2+ζ(t)e3，由此得螺旋面方程為

r=Re(φ)+Pφk+ξ(t)e1+η(t)e2+ζ(t)e3=

[R+ξ(t)]e(φ)+η(t)e1(φ)+

[Pφ+ζ(t)]k

(1)

將螺旋面圓矢量函數表達式變換為直角坐標表達式，可得

(2)

1.2.1 母線位于端截面情況

當螺旋面母線位于端截面時，母線上任意點在標架e3向的分量ζ(t)=0.由式(1)得此時螺旋面方程為

r=[R+ξ(t)]e(φ)+η(t)e1(φ)+Pφk

(3)

由式(2)得螺旋面的直角坐標表達式為

(4)

1.2.2 母線位于軸截面情況

當螺旋面母線在軸截面時，母線上任意點在標架e2向的分量η(t)=0.由式(1)得此時螺旋面方程為

r=[R+ξ(t)]e(φ)+[Pφ+ζ(t)]k

(5)

由式(2)得螺旋面的直角坐標表達式為

(6)

1.2.3 母線位于偏軸截面情況

當螺旋面母線位于偏軸截面時，母線上任意點在標架e1向的分量ξ(t)=0.由式(1)得此時螺旋面方程為

r=Re(φ)+η(t)e1(φ)+[Pφ+ζ(t)]k

(7)

由式(2)得螺旋面的直角坐標表達式為

(8)

1.2.4 母線位于法截面情況

當螺旋面母線在偏軸截面在時，選擇frenet標架，則有

(9)

式中，β為螺旋角.設ξ(t)、η(t)、ζ(t)為螺旋面母線上任意點在frenet標架上的分量，顯然e1向的分量ξ(t)=0.將式(9)代入式(1)得此時螺旋面方程為

r=Re(φ)+Pφk+η(t)e2+ζ(t)e3=

Re(φ)+Pφk-η(t)e(φ)+

ζ(t)[sinβk-cosβe1(φ)]=

[R-η(t)]e(φ)-ζ(t)cosβe1(φ)+

[Pφ+ζ(t)sinβ]k

(10)

將螺旋面圓矢量函數表達式變換為直角坐標表達式，可得

(11)

2 刀具刃型設計原理

只有特定的刀具才能加工出所要求的螺旋面，如上所述，此時刀具和螺旋面在某線上相切，此線即為刀具與螺旋面的接觸線.求出接觸線，即可得到刀具刃型.

設o1o=a，o1y1對oy轉過Σ角，即安裝角，兩坐標變換關系為

(12)

設G點為接觸線F上一點，接觸線關系如圖2所示.過G作公法線n，由于旋轉面上任何法線都與其回轉軸線共面，連接Go1，則Go1在n、z1確定的平面上.設n1為此平面的法線，則n1與n垂直，故有

nn1=0

(13)

式(13)即為接觸線應滿足的向量表達式，即共軛條件式[9].o1在坐標系(o，x，y，z)中的坐標為(a，0，0)，設G點在坐標系(o，x，y，z)中的坐標為(x，y，z)，則o1G坐標為(x-a，y，z)，又知z1坐標為(0，-sinΣ，cosΣ)，因此

Ui+Vj+Wk

(14)

式中：U=ycosΣ+zsinΣ；V=(x-a)cosΣ；W=(x-a)sinΣ.

假設螺旋面的法面截形(即螺旋面母線在法截面內)已知，對式(10)中的φ和t分別求偏導且求外積[9]，可得螺旋面法矢量為

n=(Acosφ+Bsinφ)i+

(Asinφ-Bcosφ)j+Ck

(15)

圖2 接觸線關系Fig.2 Contact line relationship

將式(14)、(15)代入式(13)即可確定接觸線為

f(φ，t)=U(Acosφ+Bsinφ)+

V(Asinφ-Bcosφ)+WC=0

(16)

式(16)是一個關于φ、t的關系式，一般為超越方程，需用數值法求解.將求得的φ、t代入螺旋面方程，即可得到接觸點坐標，進而求得接觸線.由于求出的接觸點坐標是相對螺旋面上的坐標，需用式(12)變換成銑刀上的坐標值(x1，y1，z1).如令d0為接觸點與銑刀軸線間的距離，H為z1軸坐標，把接觸點都旋轉到通過軸線某平面上，即可得到銑刀加工螺旋面部分軸向剖面的輪廓線，即

(17)

3 設計實例

以某壓縮機所用變螺距螺桿為例，建立其中一段螺旋面方程，并設計銑削加工時所用刀具刃型.圖3為此段螺桿零件圖(單位：mm)，由零件圖可知螺桿導程S=72 mm，螺旋常數P=0.5S/π=11.46 mm.圖4為螺桿法面截形，法面截形圓弧半徑r=12 mm，選取截形圓心至工件圓心為基圓半徑，則基圓半徑R=33.5 mm，基圓柱螺旋角β=arctg(R/P)=71.11°.

3.1 螺桿螺旋面方程的建立

把法面截形分為三段(bc、cd、de)，分別求出每段所對應的螺旋面方程，具體分段參見圖4.

圖3 螺桿零件Fig.3 Screw parts

圖4 螺桿法面圖Fig.4 Normal surface of screw

Ⅰ段：已知η(t)=rcost，ζ(t)=rsint，代入式(10)、(11)得螺旋面方程和其直角坐標表達式分別為

r=(R-rcost)e(φ)-rsintcosβe1(φ)+

(Pφ+rsintsinβ)k

(18)

(19)

此時螺旋面法矢量中各參量表達式為

A=rcost[(R-rcost)sinβ+Pcosβ]；B=rsint(rcostcosβsinβ-P)；C=-rsint[(R-rcost)+rcostcos2β].

Ⅱ段：已知η(t)=r=12mm，ζ(t)=-rtgt，代入式(10)、(11)得螺旋面方程及其直角坐標表達式分別為

r=(R-r)e(φ)-rtgtcosβe1(φ)+

(Pφ-rtgtsinβ)k

(20)

(21)

此時螺旋面法矢量中各參量表達式為

A=-rsec2t[(R-r)sinβ+Pcosβ]；B=r2tgtcosβsinβsec2t；C=-r2tgtcos2βsec2t.

Ⅲ段：已知η(t)=rcost，ζ(t)=l-rsint，其中，l=5.1mm，代入式(10)、(11)得螺旋面方程及其直角坐標表達式分別為

r=(R-rcost)e(φ)+(l+rsint)cosβe1(φ)+

[Pφ-(l+rsint)sinβ]k

(22)

(23)

此時螺旋面法矢量中各參量表達式為

A=-rcost[(R-rcost)sinβ+Pcosβ]；B=rcostsinβ(l+rsint)cosβ-Prsint；C=-rsint(R-rcost)-rcostcos2β(l+rsint).

3.2 刀具刃型設計

3.2.1 螺旋面銑削時安裝參數的選取

此螺旋面的截形是由三段光滑曲線組成.只要把螺旋面截形上各特殊點對應的螺旋線映射[10]到特殊平面上，適當選擇刀具軸線與工件軸線的距離a及刀具安裝角Σ，使刀具軸線與各映射曲線的有效支相交，以滿足螺旋面的法線與刀具軸線相交這一共軛條件及不超過共軛界限即可[10].外銑時安裝參數選擇：a=100mm，Σ=17°；內銑(旋風銑)時安裝參數選擇：a=-25mm，Σ=17°.

3.2.2 外銑時刀具刃型設計

將每段螺旋面方程x、y、z的表達式及參數A、B、C代入式(16)，即得每段螺旋面所滿足的接觸條件式.

由f(φi，ti)=0可知，當t0=0時，φ0=0是合理解.以φ0=0為計算的初始值，在整個過程中，前一次的計算結果作為后一次的初始值.由于t是連續的，φ也是連續的，因此以φ0=0為初始值計算出的一系列結果都是合理的.

一般常用于求解超越方程的計算方法是二分法和牛頓法，本文選用二分法.二分法的優點是能充分保證收縮[11]，但它需要預先給出根所在的范圍，否則對于每一個確定的ti能從方程中解出不止一個解，但符合需要的只有一個.用二分法確定外銑刀刃型的程序框圖如圖5所示.