基于無跡卡爾曼濾波的高墩垂直度偏差預控方法

馬成，時小兵，張麒，高凱

基于無跡卡爾曼濾波的高墩垂直度偏差預控方法

馬成1，時小兵1，張麒2，高凱2

(1. 中國建筑第四工程局有限公司 珠海分公司，廣東 珠海 519000；2. 重慶大學 土木工程學院，重慶 400045)

為了解決超高墩垂直度偏差預控缺乏理論基礎的問題，提高超高墩垂直度的精度，推導初始缺陷、日照溫差荷載和風荷載綜合因素影響下的超高墩偏位公式，以此為理論基礎與無跡卡爾曼濾波方法相結(jié)合，構(gòu)建超高墩垂直度偏差預控狀態(tài)方程，實現(xiàn)以墩高為基準的墩身立模值預測和修正，形成一種基于無跡卡爾曼濾波的超高墩垂直度預控方法，經(jīng)過與傳統(tǒng)控制方法比較分析，該方法使垂直度控制精度提高了4.5倍，且最大偏位值只有6 mm，遠小于規(guī)范限值；并分析各參數(shù)對所提方法的影響，得到各參數(shù)的合理取值范圍。通過本文的研究，建立超高墩垂直度偏差預控的理論技術(shù)，為保障超高墩垂直度提供了一條有效途徑。

超高墩橋梁；垂直度控制；無跡卡爾曼濾波；偏位值預測

橋梁結(jié)構(gòu)作為保障我國經(jīng)濟建設的重要基礎設施，其施工質(zhì)量關(guān)系著社會經(jīng)濟命脈和人民生命安全。在我國廣袤的西部地區(qū)，地形險峻，山高谷深，超高墩橋梁成為跨越山水的必然選擇，而隨著橋墩高度的增大，受截面溫差、風荷載以及初始缺陷等的影響，在施工過程中產(chǎn)生的垂直度偏差將更難控制。另一方面，在橋梁建成后的服役期間，混凝土的徐變、收縮等作用可能將施工中的偏差進一步放大，對上部結(jié)構(gòu)的受力更加不利。因此，如何控制橋墩的垂直度偏差是高墩施工階段的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。鐵懷民等[1]報道了某45 m高橋墩在施工中出現(xiàn)了高達55 mm的傾斜，通過有限元分析表明，橋墩垂直度偏差對橋墩線形影響較大，特別是垂直度施工偏差使得二階效應更加明顯，橋墩裂縫寬度和內(nèi)力將成倍增加。宋嘉等[2]指出自重、不平衡彎矩、施工偏載以及風荷載等作用均會引起施工中橋墩垂直度偏差，且對高墩承載力的影響較為顯著，并基于線彈性穩(wěn)定理論，推導了高墩偏位的近似計算公式。楊霞[3]通過測試指出薄壁空心橋墩迎光側(cè)與背光側(cè)的溫差較大，最高可達20°。唐峰等[4]針對日照輻射可引起山區(qū)高墩橋梁墩頂過大偏位的問題，推導非線性溫度分布梯度對高墩垂直度的影響，并指出可采用預偏置法、定時測量校模法等，對施工中的墩身偏位進行控制。劉衡等[5?8]研究采用全站儀、應變等測試方式對施工中高墩垂直度進行量測的適用性，結(jié)果表明可通過測量及施工控制手段消除施工過程中橋墩的垂直度偏差。傳統(tǒng)上橋墩垂直度的控制往往采用預偏置法，即根據(jù)橋墩上一節(jié)段施工中產(chǎn)生的偏差進行反向糾偏，這在墩高較小時有一定的實用性，但隨著橋墩高度的增加，由于不平衡彎矩、初始缺陷、風荷載和日照輻射等綜合因素對高墩垂直度的影響加劇，此時若不考慮這些因素的作用，僅通過簡單的反向預偏將無法達到高墩垂直度控制的目標，例如文獻[1]報道在橋墩垂直度糾偏過程中，橋墩反向偏差超過了20 mm。針對這一問題，本文考慮不平衡彎矩、初始缺陷、風荷載和日照輻射等綜合因素對高墩垂直度的影響，通過理論推導給出高墩偏位的綜合理論計算公式，然后引入無跡卡爾曼濾波技術(shù)提出高墩垂直度預控方法，可大幅提升橋墩垂直度控制的精度，為橋梁高墩及其他類似高聳結(jié)構(gòu)的垂直度施工控制提供技術(shù)支撐。

1 綜合因素作用下高墩偏位計算方法

在不平衡彎矩、初始缺陷、風荷載和日照輻射等作用下，高墩的受力和變形可簡化為如圖1所示的下端固支、上端懸臂的柱[2]。

(a) 第k節(jié)段受力及變形圖；(b) 隔離體受力圖

在圖1中，假設柱的自重全部作用在墩頂，以集中力表示；不平衡彎矩M表示施工荷載不均勻引起的偏載作用，風荷載假設為均布荷載，而由各種因素在墩頂引起的側(cè)向偏位為。引入墩頂初始位移Δ作為高墩的初始幾何缺陷，將滿足幾何邊界條件的橋墩初始位移函數(shù)假設為：

其中：為橋墩當前高度；是選取截面距墩底的距離。

在線性日照溫差分布作用下，橋墩的溫度變形可由梁的純彎曲理論公式求得：

其中：是順橋向橋墩的截面寬度；為截面最大溫差；是橋梁材料的線膨脹系數(shù)。對式(2)進行積分求解，并根據(jù)邊界條件(0)=0，(0)=0可得到僅在線性日照溫差荷載作用下橋墩的偏位公式為：

根據(jù)力學原理分析可知日照溫差荷載對于自由變形的結(jié)構(gòu)物而言只會產(chǎn)生相應的變形而不會產(chǎn)生力[10]，故將日照溫差荷載產(chǎn)生的偏位作為一種初始缺陷加入到假設的橋墩初始位移函數(shù)0中得：

取距墩底距離為截面以上的部分為隔離體，如圖1(b)所示。在隔離體中，對截面求力矩平衡∑M=0，建立微分方程：

其中：和分別為墩體材料的彈性模量和截面慣性矩，是考慮綜合因素影響后的位移函數(shù)。將式(4)代入式(5)，可解出墩頂?shù)钠粸椋?/p>

其中墩頂初始偏位取5 mm，風荷載根據(jù)橋墩標高10 m處的實測風速并進行概率統(tǒng)計意義上的換算求解出基本計算風速，將此風速值代入文獻[19]中式5.4.1計算出靜陣風等效風荷載并在全墩高上進行均勻分配，施工不平衡荷載是根據(jù)墩體兩側(cè)爬模腳手架的自重差值及所承受荷載的差值與截面形心到腳手架中心的距離的乘積計算而出，根據(jù)本案例橋墩爬模設計方案中所給出的爬模設計荷載計算出不平衡彎矩為487.5 kN·m，截面溫差就是根據(jù)溫度傳感器對澆筑前截面溫差進行實測得到。

其中，λ，λ，λ和λ分別為墩頂初始偏位、風荷載、施工不平衡荷載和截面溫差引發(fā)的墩頂偏位系數(shù)。這些系數(shù)項的具體表達式為：

其中：λ，λ和λ這3個系數(shù)均帶有初始缺陷Δ的耦合影響，這表明初始缺陷與風荷載、不平衡力矩和截面溫差效應有耦合作用[10]。在高墩偏位的計算過程中，若不考慮這一耦合效應，可能使計算結(jié)果的精度降低。

2 高墩垂直度偏差施工預控方法

2.1 無跡卡爾曼濾波的基本原理

當高墩橋梁采用節(jié)段施工方案時，其可視為一個動態(tài)的系統(tǒng)，而任意的動態(tài)系統(tǒng)可采用狀態(tài)空間方程進行描述：

其中：為狀態(tài)量；為觀測量；為控制量；，分別代表系統(tǒng)狀態(tài)噪聲量和觀測噪聲量，通常均假設為高斯白噪聲，即的分布為N(0,)，的分布為N(0,)，和分別為協(xié)方差矩陣；(?)為非線性的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)；(.)為非線性的測量函數(shù)；下標表示第時間步。

式(8)描述了動態(tài)系統(tǒng)從1時刻向時刻演變的過程，可采用無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter，UKF)進行求解。UKF的基本思路是通過近似非線性函數(shù)的概率分布得到狀態(tài)量第步的后驗均值和協(xié)方差，而不是對非線性函數(shù)做近似處理來實現(xiàn)非線性變換，從而避免了求解非線性函數(shù)的雅可比矩陣，且理論已經(jīng)證明UKF能以至少二階精度逼近非線性系統(tǒng)的均值和協(xié)方差[11?13]。其基本的計算流程如下。

1) 設定合適的初始值0及初始協(xié)方差矩 陣0：

其中：上標H表示轉(zhuǎn)置。

4) 狀態(tài)更新，即采用第步測試的觀測量修正預測的第步狀態(tài)值，并更新系統(tǒng)狀態(tài)的協(xié)方差矩陣[14]。首先計算第步的濾波增益：

然后，通過得到的濾波增益更新狀態(tài)值及其方差：

5) 重復以上第2)~4)步，從而得到各個時間步的狀態(tài)值和觀測值。

從以上流程可知，UKF主要分為2步，預測和更新。預測步驟可以得到下一時間步的預測值，而更新步驟為下一步預測提供更接近真值的狀態(tài)量[15]。

2.2 基于UKF的高墩垂直度偏差預控方法

在橋梁高墩階段施工過程中，假設已施工第?1節(jié)段，需確定第節(jié)段的預偏值y。若將墩高x?1視為狀態(tài)量，將預偏值y視為觀測量，將第節(jié)段的橋墩高度u視為控制量，根據(jù)無跡卡爾曼濾波原理并引入第2節(jié)的理論推導，可建立高墩施工的狀態(tài)空間方程：

其中：w?1為施工過程中的動態(tài)噪聲，主要由測量第節(jié)段橋墩高度的儀器及人為測量偏差引起；v為測量噪聲，主要是由測量風速、溫度的儀器及人為測量偏差引起。由于同一工程中通常采用同一種設備且測試人員也相對固定，故假設各節(jié)段的動態(tài)噪聲和測量噪聲不變，即0=1=…= w；0=1=…=v，其中為橋墩總節(jié)段數(shù)。

在建立橋墩施工的狀態(tài)空間方程后，可采用UKF的求解過程確定澆筑第節(jié)段的預偏值，并通過在立模時加入預偏值進行預偏控制。具體的預控過程如下：

1) 在第1節(jié)段施工完成后，實測橋墩偏位1，并設置合適的方差1，動態(tài)噪聲和測量噪聲；

2) 按式(10)計算sigma點集；

3) 當?shù)?節(jié)段澆筑的模板已基本架立就位且僅差預偏控制時，測量第2節(jié)段橋墩澆筑高度2，將實測風速換算成等效風荷載2，代入不平衡彎矩2，根據(jù)實測求出截面溫差2；然后按式(15)預測第2節(jié)段橋墩高度2|1和橋墩偏位2|1；

4) 根據(jù)預測的2|1進行模板預偏控制，然后澆筑第2節(jié)段的混凝土；

6) 按式(13)~(14)計算2和2；

7) 重復進行第2)~6)步，直至施工到最后一個節(jié)段。

3 某橋梁高墩垂直度預控實例分析

3.1 橋梁基本概況

某高墩連續(xù)剛構(gòu)橋的跨徑布置均為106+200+ 106 m。其中，上部結(jié)構(gòu)采用單箱單室截面，下部13號和14號橋墩采用雙肢等截面矩形空心薄壁橋墩，在墩底和墩頂均設有4 m高實體段。墩身底部采用箱形墩，截面尺寸為14 m×8.5 m，上部采用雙肢矩形空心薄壁墩，截面尺寸為8.5 m×3.5 m，雙肢間中心距離10.5 m。13號墩的墩高為147 m，其施工方案為節(jié)段現(xiàn)場澆筑，每節(jié)段的高度為3 m，共劃分為49個節(jié)段，如圖2所示。

圖2 節(jié)段劃分圖

3.2 預控結(jié)果分析

根據(jù)第2.2節(jié)中所提的垂直度預偏控制方法和步驟，取1=1×10?6；動態(tài)噪聲方差=1×10?4和測量噪聲=25。以2.2小節(jié)中的步驟進行模板調(diào)整，如此重復以上的流程便可對橋墩每一節(jié)段的立模值進行計算，繼續(xù)對后續(xù)的橋墩節(jié)段實施控制。同時，本節(jié)采用有限元軟件Midas模擬部分節(jié)段在傳統(tǒng)控制手段下的垂直度偏位情況，如圖3所示。

(a) 縱橋向偏位；(b) 橫橋向偏位

為了量化垂直度波動的劇烈程度，定義

式中：=總節(jié)段數(shù)，δ為第節(jié)段橋墩偏位，即每一節(jié)段偏位值的絕對值的平方和除以總節(jié)段數(shù)，此參數(shù)的定義參照了方差的概念，這是統(tǒng)計學中較為常用的估計數(shù)據(jù)離散程度的參數(shù)。同時為了量化墩體結(jié)構(gòu)的線型引入概率統(tǒng)計意義上偏度的概念，描述垂直度整體偏離程度，根據(jù)概率論中對偏度的計算可知：

定義全高垂直度=max/，其中為墩身總高度。

根據(jù)圖3可知：

1) 在采用卡爾曼濾波方法控制時，橋墩縱橋向和橫橋向偏位最大值為6 mm，遠遠小于規(guī)范所規(guī)定的30 mm[20]，說明此方法在工程實際中有較好的應用價值。最大偏位值出現(xiàn)在順橋方向的大里程方向和橫橋向正方向，這種偏位形式可能與施工現(xiàn)場的操作環(huán)境、施工人員的操作習慣有關(guān)。

2) 縱橋向和橫橋向的偏位值均呈現(xiàn)波動形態(tài)，這是由于現(xiàn)場施工誤差及人為因素干擾所形成的。經(jīng)計算可知，采用卡爾曼濾波方法控制時，縱橋向和橫橋向偏位值的分別為9和8，說明縱橋向和橫橋向偏位值的波動較小，整體波動幅度小于5 mm。縱橋向和橫橋向的偏度分別為1.08和0.57，由偏度的數(shù)學統(tǒng)計意義可知，當＞0時，橋墩整體偏位向縱橋向小里程方向和橫橋向的負方向偏移，根據(jù)的數(shù)值大小可知縱橋向的整體偏移大于橫橋向。

3) 通過有限元模擬部分節(jié)段在傳統(tǒng)控制手段下的偏位情況并與無跡卡爾曼濾波方法做比較，整體趨勢上來看基于無跡卡爾曼濾波的控制方法要優(yōu)于傳統(tǒng)方法，當橋墩小于30 m時，部分節(jié)段在傳統(tǒng)控制手段施工下略優(yōu)于卡爾曼濾波方法，這可能與橋墩高度較低所受風荷載、日照溫度荷載影響較小有關(guān)。當橋墩高度大于30 m時，卡爾曼濾波方法的優(yōu)勢顯現(xiàn)出來，說明在外荷載的影響下卡爾曼濾波方法仍可以對垂直度進行控制，且效果 較好。

4) 由圖3可以看出，采用傳統(tǒng)控制手段時，縱橋向偏位最大達20 mm，橫橋向達27 mm，而采用卡爾曼濾波方法縱橋向和橫橋向的最大偏位值為6 mm。根據(jù)規(guī)范對垂直度限值小于30 mm的規(guī)定，這2種控制方法均可以滿足。但采用傳統(tǒng)控制手段時，橋墩縱橋向和橫橋向偏位值的分別為75.5和153.5，表明縱橋向和橫橋向偏位值的波動較大，不利于橋墩整體線性控制。根據(jù)通過計算可知采用卡爾曼濾波方法全高垂直度K=4.1×10?5，采用傳統(tǒng)控制方法的全高垂直度K=18.4×10?5，可見采用卡爾曼濾波方法對垂直度進行控制，精度可提高4.5倍。

5) 根據(jù)引入的方差和偏度指標對比傳統(tǒng)控制手段與卡爾曼濾波控制方法，各指標如表1所示。從方差來看，采用傳統(tǒng)控制手段，縱橋向和橫橋向偏位的分別為采用卡爾曼濾波控制方法時的8.4倍和19.2倍，說明采用無跡卡爾曼濾波方法可以有效控制墩身的偏位幅度。從偏度指標上可以看出無論哪種控制方法，墩身的偏位均向縱橋向小里程和橫橋向正方向偏移，從數(shù)值大小來看，傳統(tǒng)控制方法的縱橋向和橫橋向偏度分別是無跡卡爾曼濾波控制方法的1.3倍和2.4倍，故基于無跡卡爾曼濾波的控制方法效果較傳統(tǒng)控制方法好。

表1 控制指標對比

3.3 參數(shù)影響分析

為了探究無跡卡爾曼濾波算法中參數(shù)選取對高墩控制系統(tǒng)精度的影響，以均方根誤差(RMSE)和平均絕對誤差(MAE)為指標度量系統(tǒng)噪聲方差，測量噪聲方差和初始方差1對系統(tǒng)精度的敏感性[16?18]。

1) 當取不同值時，RMSE和MAE的計算結(jié)果如表2。從表2中可以看出，當值增大時，RMSE和MAE的計算結(jié)果也隨之增大，且其幅度改變較大，說明的參數(shù)取值對于精度影響較大。根據(jù)趨勢可知，當取值越小RMSE和MAE越小，也就是說測量得到的誤差越小，但根據(jù)測量儀器本身誤差的影響，最小值取25，所以在高墩控制方程中參數(shù)取值為25，當＞100時，RMSE和MAE的取值會大于10，這可能會造成高墩偏位實測值誤差大于10 mm，所測得的偏位數(shù)據(jù)很有可能會超過規(guī)范限值的要求。

表2 參數(shù)R的敏感性分析

2) 當取不同值時，RMSE和MAE的計算結(jié)果如表3。從表3中可以看出，當增大時，RMSE緩慢增加，MAE有所波動。整體來講的取值對于精度而言并不敏感，這可能與狀態(tài)方程的建立有關(guān)。對于的選取應從實際出發(fā)，按規(guī)范規(guī)定墩體高程的偏差應不大于10 mm，經(jīng)過單位換算可知，當＜0.000 1時，對于實測偏位值的精度影響穩(wěn)定在5 mm以內(nèi)，所測得的偏位數(shù)據(jù)符合規(guī)范限值的要求。

表3 參數(shù)Q的敏感性分析

3) 當1取不同值時，RMSE和MAE的計算結(jié)果如表4。從表4中可以看出，當1＜0.000 01，RMSE的取值穩(wěn)定在4.5，當1＞1時，RMSE的值穩(wěn)定在5.5，當0.000 01＜1＜1時，RMSE計算結(jié)果變化并不大，也就是說1對于實測偏位的精度影響并不大。通過其他文獻[14]可知1的取值應盡可能接近0所以1取小于0.000 01時均可，但考慮到MAE指標，發(fā)現(xiàn)1取0.000 001時，MAE更小，可使最后的實測結(jié)果更加優(yōu)化，所以本文在計算時選取1=0.000 001。

表4 參數(shù)P1的敏感性分析

4 結(jié)論

1) 將外界所受荷載簡化為方便計算的力學模型，選取某截面建立狀態(tài)平衡方程，得到墩頂位移的解析解，為構(gòu)建狀態(tài)空間方程提供理論依據(jù)。

2) 構(gòu)建基于無跡卡爾曼濾波的超高墩垂直度控制系統(tǒng)，并應用于工程實踐，結(jié)果顯示此種控制技術(shù)可將墩頂橫橋向和縱橋向偏位值控制在6 mm以內(nèi)，遠遠小于規(guī)范所規(guī)定的30 mm。而采用傳統(tǒng)的控制手段，墩身最大偏位為27 mm，經(jīng)過計算基于無跡卡爾曼濾波的控制手段可將控制精度提高4.5倍。

3) 將統(tǒng)計意義上的方差與偏度的概念引入垂直度的控制指標中，表征偏位幅度，表征整體偏移方向，采用卡爾曼濾波方法控制的與均小于傳統(tǒng)控制方法，說明卡爾曼濾波控制方法優(yōu)于傳統(tǒng)控制方法。

4) 以RMSE和MAE為評測指標對，和1進行參數(shù)敏感性分析，討論參數(shù)的合理取值范圍，并給出參數(shù)的最優(yōu)取值。當=25，＜0.000 1，1=0.000 001可有效提高高墩實測偏位值的精度。

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High pier vertical deviation control method based on unscented Kalman filter

MA Cheng1, SHI Xiaobing1, ZHANG Qi2, GAO Kai2

(1. China Construction Fourth Engineering Bureau Zhuhai Branch, Zhuhai 519000, China; 2. School of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China)

In order to solve the problem of lack of theoretical basis for the pre-control of ultra-high pier vertical deviation, and to improve the accuracy of ultra-high pier verticality, this paper deduced the formula of ultra-high pier deviation under the influence of initial defects, sunshine temperature difference load and wind load comprehensive factors. Combining the theoretical basis with the unscented Kalman filter method, the pre-control state equation of the ultra-high pier vertical deviation was constructed, and the prediction and correction of the vertical body value of the pier body based on the pier height was realized, which forms a kind based on no trace. The Kalman filter ultra-high pier verticality pre-control method is compared with the traditional control method, and the method is improved by 4.5 times. And the maximum deviation value is only 6 mm, which is much smaller than the specification limit. The influence of each parameter on the proposed method was obtained, and the reasonable range of values of each parameter was obtained. According to the research of this paper, the theoretical technology of pre-control of ultra-high pier vertical deviation is established, which provides an effective way to guarantee the verticality of ultra-high piers.

ultra-high pier bridge; verticality control; unscented Kalman filter; bias value prediction

U443.22；U24

A

1672 ? 7029(2020)03 ? 0645 ? 08

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20190457

2019?05?26

中建四局科技課題(CSCEC4B-2018-KT-24)

高凱(1988?)，男，四川南充人，博士研究生，從事橋梁、結(jié)構(gòu)檢測、加固、健康監(jiān)測和結(jié)構(gòu)可靠度方面的研究；E?mail：gk1988@cqu.edu.cn

(編輯 陽麗霞)