固定支承式懸浮隧道在洋流渦激作用下的動力響應研究

范澤旭，袁勇，何任飛，張金偉，賀維國

固定支承式懸浮隧道在洋流渦激作用下的動力響應研究

范澤旭1，袁勇1，何任飛1，張金偉2，賀維國2

(1. 同濟大學 土木工程學院，上海 200092；2. 中鐵第六勘察設計院集團有限公司，天津 300308)

以某擬建跨海鐵路隧道工程為背景，研究單跨懸浮隧道在洋流渦激作用下的共振響應問題。將隧道結構簡化為兩端簡支的歐拉-伯努利梁，流體阻尼力和拖曳力采用Morison公式計算，采用一種基于Vanderpol方程的尾流振子模型表述尾流渦街和結構的耦合作用。通過振型分解法和龍格-庫塔法對偏微分方程組進行計算，分析結果表明：在某一洋流速度范圍下，考慮流固耦合效應及非線性特征對結構渦激動力響應結果有顯著影響。改變懸浮隧道單跨長是解決結構渦激共振問題最為有效的辦法，在某些情況下，改變結構截面尺寸及結構阻尼比也能在一定程度下控制共振響應幅度。

懸浮隧道；Morison公式；尾流振子；流固耦合；振型分解法；龍格-庫塔方法

懸浮隧道(Submerged Floating Tunnel)，是一種用于跨越復雜水體環境的新型交通構筑物。由于其具有對自然環境影響小、預制程度高、適用范圍廣等一系列優點，近年來不斷受到各國研究者的關注。相比處在巖土介質中的隧道結構，懸浮隧道管段直接處于水體環境之中，利用水的作用力、自身重力以及錨索或樁臺約束力的共同作用使其達到動態平衡狀態。隧道變形后受到的抗力很小，易產生較大的位移響應。流體繞流隧道后，在結構后方發生邊界層分離和漩渦脫落，使結構受到周期性激勵力，當渦激力的頻率接近結構的固有頻率時，隧道結構會產生顯著的動力響應，這種現象稱渦激共振(VIV)。VIV發生時結構和流體之間存在相互作用，表現出明顯的流固耦合特征。且由于此時結構的位移響應較大，應采用非線性方法進行分析。國內外懸浮隧道VIV的研究已取得一定進展。Remseth等[1]通過SPECTRUM程序對波浪下隧道的流固耦合特性進行研究。麥繼婷[2]對波流共同作用下懸浮隧道的動力響應問題進行研究，其中水流荷載采用Morison公式進行計算。秦銀鋼[3]在此基礎上，在管體振動方程中引入非線性因素，對洋流渦激作用下隧道的動力響應進行了更深入的討論。然而，目前針對洋流渦激作用下懸浮隧道動力響應問題的研究還存在一些不足：采用數值模擬方法可以考慮流固耦合效應，但計算量大，在對隧道結構進行初步選型設計時效率較低。采用解析方法時，由于對渦激現象的研究還不夠深入，目前大部分研究者在分析中通常還將渦激力作為簡諧力考慮，其幅值根據由大量實驗得到的無量綱系數計算，這種方法比較直觀，但不能描述渦激作用的流固耦合特性。為描述耦合特征，可采用將流場和結構視作一整個振動系統，將尾流視為非線性振子，流固耦合通過該振子和結構之間的相互作用實現。尾流振子的概念首先由Birkhoff提出[4]，Bishop等[5]通過開展大量的模型試驗，驗證了該方法的合理性。本文采用Facchinetti等[6]提出的一種基于Vanderpol方程的尾流振子模型。首先建立考慮非線性因素的管段振動微分方程，并以與之耦合的尾流振子方程以表述渦激力的作用。通過求解偏微分方程組，得到單跨懸浮隧道在考慮流固耦合效應下的渦激共振特征，并分析不同設計參數對結構動力響應的影響，提出在渦激作用下控制隧道動力響應的措施。

1 洋流渦激耦合振動分析方法

1.1 隧道振動微分方程的建立

在建立隧道的動力方程之前，本文作如下假設和簡化：

1) 懸浮隧道屬于細長柔性結構，分析時將其視為歐拉?伯努利梁，不考慮剪切變形；

2) 本文研究單跨結構，分析中可將兩端邊界條件視為鉸接[2-3]?？紤]隧道兩端擱置在水中墩臺的支座上，而目前使用的橋梁支座絕大部分不傳遞彎矩，故這樣的簡化是合理的；

3) 假設懸浮隧道的截面形狀、材料性質沿軸線方向處處相同；

4) 假設洋流方向垂直于隧道軸線，洋流速度沿軸線均勻分布。

根據結構動力學的相關知識，兩端簡支梁的振動微分方程為：

式中：為抗彎剛度；為隧道線密度；()為流體作用力；為單位長度阻尼系數。

在式(1)中引入變形的非線性因素，本文中主要考慮由軸力引起的跨中二階彎矩。設隧道的軸力沿長度方向保持不變，其大小可由下式計算[7]

式中：為材料彈性模量；為隧道橫截面積；為隧道長度；為隧道軸向格林應變。

將式(2)代入式(1)，考慮內力的微分關系后得到考慮非線性因素的管體振動方程：

1.2 洋流作用力的計算

式(3)中的()為結構單位長度受到的流體作用力之和，目前在海洋工程中，通常使用Morison公式計算流體力[8]。這是一種基于繞流理論的半經驗半理論方法，將流體力分為拖曳力和阻尼力2項，其形式如下：

式中：F為流體拖曳力；C為附加質量系數，對于圓形截面一般取為1；′為流體密度；為隧道結構特征長度；為結構振動的加速度。

式中：F為流體阻尼力；C為阻尼系數，對于圓形截面一般取為2；為結構振動的速度。

渦激力在順流方向和橫流方向均有分量，且2個方向的振動存在耦合。但實際上橫流向的渦激力要比順流向的力大很多，這種差異通常會達到一個數量級以上。因此，為簡化分析的需要，本文對渦激作用力的研究限于該力的橫向分量，其表達形式如下：

采用Facchinetti在總結前人實驗結果后建議的形式，振子的振動微分方程表述如下[6]：

式中：w為尾流漩渦脫落頻率；和Λ為由試驗得到的經驗常數，根據Stansby和Blevins的實驗結 果[9?10]，一般取為=0.3，Λ =12。

而漩渦脫落的理論頻率按照下式計算：

式中：為Strouhal數；為洋流速度；為隧道結構直徑

1.3 結構渦激動力響應方程的求解

定義結構等效質量為：

將式(4)~(6)代入式(3)中，并考慮結構自身的阻尼系數為，可得到流固耦合下隧道結構的振動微分方程：

式(7)和式(10)即為流固耦合系統的總動力微分方程組。結構和尾流振子的動力耦合效應以式(7)右端的加速度項計入，當不考慮耦合作用時則忽略該項，使方程組解耦，此時尾流振子在不受外界干擾的條件下自振，其振動特征和簡諧函數相同，式(10)中等號右側的渦激激振力項退化為以往很多文獻中采用的簡諧作用力形式。

結構的橫向位移是隧道縱向坐標和時間的函數，考慮到單跨隧道的邊界條件，將其按三角級數分解為如下形式：

將式(11)代入式(10)中得：

C(,)為考慮格林應變的非線性項，其形式如下：

采用伽遼金方法處理該微分方程，對得到的方程組整理后可得：

(15)

式(15)已將結構的振動化為關于時間的單變量函數。同樣，將式(11)代入式(7)中，和結構振動微分方程的處理不同，對于尾流振子，考慮到在渦激作用下，結構的1階自振模態響應較大，高階振型由于頻率較高發生共振的可能性較小，所以只考慮結構1階振動和尾流振子的相互耦合。振子動力的方程式(7)有如下形式：

由于C(,)無法解耦，方程無法直接求得解析解，本文采用5階4級Runge-Kutta-Felhberg算法對方程(15)及方程(16)進行數值求解[11]，同時考慮到結構的高階振型對總振動的貢獻幾乎可以忽 略[2-3]，故只取前3階振型加以計算。

2 算例計算與結果分析

2.1 計算參數的選擇

由于目前世界上尚無在建或建成的懸浮隧道工程，本文中除基本跨長以外的其他隧道參數來自浙江舟山擬建鐵路水下隧道段初步設計中的相關數據，具體如表1所示。

表1 懸浮隧道基本參數

此外，由于本文的研究并不局限于某一確定流速下結構的響應特征，表1中沒有明確給出分析中使用的洋流流速。由于不同參數條件下結構共振響應對應的絕對流速不同，本文采用約化速度U代替絕對速度。其與結構固有頻率有關，經計算，在0~14的約化速度范圍內能夠捕捉到不同情況下結構的首階共振響應，其表達式如下所示：

最后，懸浮隧道根據表1所給出尺寸參數確定的截面特征如圖1所示。

單位：mm

圖1 懸浮隧道截面示意圖

Fig. 1 Cross section of SFT

2.2 計算分析結果

2.2.1 流固耦合效應對結構動力響應的影響

經過大量模型實驗的驗證，尾流振子模型可以較好地描述流場和處在其中結構物之間的耦合運動關系。本文采用表1中的相關參數，在較廣的速度范圍計算結構的動力響應峰值，得到的結果如圖2所示。從圖2中可知在約化速度U=4.8時流固耦合因素對共振響應的影響程度最大。圖3分別描述了在該流速下隧道結構和尾流振子的振動時程 響應。

從圖2中可以得到的結論有：

1) 在約化速度U＜2的情況下，考慮流固耦合因素對結構動力響應的影響幾乎可以忽略，這是由于此時結構的振幅、加速度等動力參數很小，尾流振子的耦合項幾乎等于0，因此耦合系統表現出和非耦合系統類似的動力特征。

2) 在約化速度較高的情況下，考慮耦合后結構出現了更寬的共振響應區域，在峰值附近的曲線平滑，展現出明顯的“頻率鎖定”效應。Carberry 等[12]在進行圓柱繞流模型試驗后，認為鎖定現象對應的約化速度范圍為4.5~7，這和本文的結果比較接近。

3) 在非耦合曲線的位移響應達到峰值后，耦合曲線的響應仍迅速上升，在約化速度約等于非耦合情況下2倍時達到峰值。此時，2條曲線對應的位移響應相差近10倍，這說明在共振響應區域下不考慮流固耦合得到的結果是偏于危險的。

圖2 流固耦合因素對動力響應峰值的影響

(a) 考慮耦合；(b) 不考慮耦合

此外，圖3所示的時程響應曲線還表明流固耦合效應對結構和振子的運動有如下影響：

1) 在考慮耦合作用因素下，系統穩態振動時頻率降低，最終值介于渦脫頻率w和結構在水中的固有頻率w。而不考慮耦合作用因素下，系統振動的穩定頻率為w，即和渦激激勵力的頻率相同；

2) 不考慮流固耦合作用的情況下，結構和尾流振子的相位差完全取決于=0時刻兩者的相位差，在本節的初始條件下，兩者是反相的。而在考慮耦合因素后，兩者的相位差有所降低，這也是流固耦合下振子和結構振動能夠相互增強的原因之一。

2.2.2 非線性因素對結構動力響應的影響

在本文的計算中，采用格林應變計算出結構因變形而產生的軸向力，考慮大跨度梁的2次彎矩效應。圖4(a)為在很大的速度范圍內考慮與不考慮非線性因素2種情況下的最大位移響應，可以看到考慮非線性回復力后，響應曲線的峰值延后，且在原有的峰值后方還保持一定程度的增長趨勢，直到U=8時2條曲線重合。圖4(b)則說明，方程(3)中軸力項充當了非線性回復力的作用，提高了結構的實際剛度，使得振動頻率有所增加。

2.2.3 單跨長度對結構動力響應的影響

從結果可以看出，不同跨長結構共振響應區域的寬度基本相同，但各曲線峰值差異較大?？玳L短的工況跨中位移響應極值反而越高，需注意由于約化速度U和結構的1階自振頻率成正比，圖5中各跨曲線峰值對應的水流絕對流速差異較大，直接比較同一橫坐標下各曲線的值并無具體意義。渦激強度和流速平方成正比，小跨度結構共振需要很高的流速，此時渦街攜帶能量很高，結構的動力響應極值因此較高。同時從圖中還可以看出，只要在設計懸浮隧道單跨長時避開當地洋流速度對應的共振區間，就可以有效避免由于渦激共振響應較大而可能發生的結構破壞。

2.2.4 截面尺寸對結構動力響應的影響

在明確懸浮隧道的使用要求后，內部使用限界也能隨之確定，隧道的直徑此時主要取決于結構的截面厚度。增大厚度，不但增加了截面的剛度，也增大了結構的迎水面積，使其承受的渦激作用力增大，因此管壁厚度對于結構動力響應影響的機理是比較復雜的，根據舟山海底隧道的設計參數，選取跨長為150 m，內徑為4 m，厚度為0.05~0.20倍內徑的4種工況，在較大的速度范圍內研究各工況的相對位移響應。

(a) 峰值響應譜；(b) Ur=4.8時程響應結果

圖5 不同跨長對動力響應峰值的影響

圖6 不同壁厚對動力響應峰值的影響

從圖6中可以發現，增加截面厚度和降低跨長雖然都起到了增加結構剛度的作用，但厚度的增加使得共振響應區域變窄，且速度逐漸增加時各條曲線的分岔出現得較晚。

和降低跨長相同，在一定的洋流條件下，增大截面厚度能夠降低結構約化速度，進而限制結構振幅。但由于此時增加厚度不僅增加了截面的彈性模量，也增加了結構線密度，使得增加結構剛度的效果不如減少跨長的方法明顯。

圖7 流體阻尼對動力響應峰值的影響

2.2.5 阻尼大小對結構動力響應的影響

由于懸浮隧道處于流體介質中，在研究其動力特性時不僅考慮附加質量，還要考慮流體阻尼的影響。流體阻尼大小同結構在介質中的相對運動速度成正比，因此不同情況下對穩態振動的影響程度也是不同的。圖7表明在洋流速度較低時，流體阻尼的作用尚不明顯，但當流速繼續增加時，流體阻尼對結構動力響應的影響十分顯著。

事實上，在工程中很難直接調整流體阻尼的大小。圖8為不同結構阻尼的動力響應曲線，從中可以看出，結構阻尼并不會改變共振響應區域的范圍，但隨著阻尼比的增加，結構的最大峰值振幅有所降低。在約化速度較小的情況下，增加結構阻尼對計算結果基本無影響，而在共振峰值附近使結構位移響應明顯降低。

圖8 結構阻尼對動力響應峰值的影響

3 結論

1) 大量試驗已經證明使用尾流振子模型計算水中結構物的流固耦合運動是可行的。本文針對懸浮隧道在洋流渦激作用下動力響應的計算表明，在水流速度較低時(U＜2)，結構的位移響應總體較小，流固耦合的特征并不明顯，此時可將渦激力看作簡諧作用力，忽略耦合作用。但當水流速度較大時(U＞2)，考慮流固耦合效應后，結構和渦街兩者的相位會發生趨近，它們之間的相互作用也不斷增強，最終穩定后系統的位移響應將顯著高于忽略耦合效應的情況?？偟膩碚f，在懸浮隧道的設計中考慮耦合因素對結構安全十分重要。

2) 考慮非線性特征相當于增加了結構的幾何剛度，提高了穩定后系統振動的頻率。在洋流速度較低時，由于結構的位移響應較小，考慮非線性因素對結構峰值位移的影響不大。但當洋流速度較高，且處在特定范圍(8＞U＞6)時，考慮非線性因素得到的位移響應結果偏高，此時仍采用線性理論計算是偏于危險的。

3) 在研究不同設計參數對結構渦激動力響應的影響后，本文認為改變結構跨長是控制渦激共振響應最有效的措施。當懸浮隧道選址確定后，當地的平均洋流速度可以大致確定下來，在設計單跨長時應避開可能發生渦激共振的跨長區間。當洋流速度的變化范圍很大，或當地地質條件不允許靈活的改變跨長時，開展合理的經濟性評估后也可選擇適當增加截面尺寸或增大結構自身阻尼比的方法，作為輔助控制手段。

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Dynamic response analysis of submerged floating tunnel supported on columns in vortex-induced vibration

FAN Zexu1, YUAN Yong1, HE Renfei1, ZHANG Jinwei2, HE Weiguo2

(1. College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. China Railway Liuyuan Group Co., Ltd, Tianjin 300308, China)

In the context of a planned tunnel project, this study focused on the dynamic response of single-span submerged floating tunnel (SFT) in resonance with vortex shedding. Tunnel tube was simplified as a simply supported Euler-Bernoulli beam. Drag force and damping force were calculated using Morison formula. By introducing a wake oscillator based on van der pol equation, the coupling between structure and wake could be thoroughly analyzed. Mode analysis method and Runge-Kutta method were adopted in solving differential equations. The results show that structural-wake coupling and nonlinearity have a significant influence on dynamic response of SFT. Changing span length is the most effective way in avoiding resonance problem. And under certain circumstance, the resonance response can also be restricted by optimizing sectional dimension and structural damping.

submerged floating tunnel; Morison formula; wake oscillator; structural-wake coupling; mode analysis method; Runge-Kutta method

U451.3

A

1672 ? 7029(2020)03 ? 0653 ? 07

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20190471

2019?05?30

國家自然科學基金資助項目(51478343)

袁勇(1963?)，男，云南景東人，教授，博士，從事地下結構動力問題研究；E?mail：yuany@tongji.edu.cn

(編輯 陽麗霞)