2019年全國卷Ⅰ第22題的多視角解答與探源

◇ 四川 杜海洋

從近幾年高考數學試題來看,高考對能力的考查要求逐步提高,尤其2019年的全國卷，體現了“刷題戰術”的功效明顯下降．最近教育部明確新高考將不再制訂《考試大綱》,這就更需要我們在新課改條件下針對數學試題進行思考并采取有效的復習策略．我們深知學數學離不開解題,在解題中要善于發現和總結解題規律和方法,并能“尋根”與“變式”,避免盲目地“刷題”，從而達到做一題通一類的效果．這其中“題”是關鍵,歷年來的高考真題經過“大場面”的檢驗,所以較經典的高考真題具有代表性和權威性,能引起大家的共鳴．筆者現以2019年全國卷Ⅰ文科和理科22題為例,從一題多解、解法點評、尋根探源與同源變式的角度來進行分析,與讀者交流．

1 真題呈現

(1)求C和l的直角坐標方程;

(2)求C上的點到l距離的最小值.

此題乍看十分普通,細細品味后卻發現內涵豐富,給人啟迪.簡約而不簡單,深刻而不深奧的一道試題既考查了學生數學建模能力,又考查了直觀想象、數學運算等能力．

2 第(1)問的求解

視角1完全平方公式轉換.

視角2先對y進行平方再整體代入.

視角3利用結構特點聯想萬能公式.

設t=tanα,即

視角4先消t2,再消t.

3 第(2)問的求解

視角1轉化為線線距離.

1)利用Δ=0,求切線.

2)利用導數求切線.

視角2直接用點線距離.

1)利用導函數.

2)利用橢圓的參數方程.

設C上點的坐標為(cosθ,2sinθ),則C上的點到直線l的距離

3)利用柯西不等式.

4)利用判別式.

5)利用向量不等式.

視角3轉化為點點距離.

1)利用兩參數方程.

由柯西不等式，得

2)利用伸縮變換求點.

3)利用伸縮變換求過橢圓上任意點的切線.

視角4利用極限思想求過橢圓上任意點的切線.

圖1

4 尋根探究

本題來源于人教A版教材中以下幾題.

從表達式可看出高考題是將教材中的題型進行數據改編而得來的．近幾年高考試題的命制越來越新穎多變、形式多樣,但萬變不離其宗,許多高考試題均能在教材中找到其原型．因此，需要我們在平時的學習過程中留意對課本例題、習題、練習題的訓練，要熟練地進行求解,掌握問題求解的通性通法,同時進行一題多解和多變練習,抓住實質,做到“胸中有本”，以不變應萬變,一題一世界,一題可破萬題山．

5 同源變式

無獨有偶,在同年高考試題中出現了一道相似的題.

兩題可以說是互為變式，有興趣的同學可以仿照第(2)問的解法試試求解(答案為4).

教材是專家們花費大量心血進行千錘百煉、字斟句酌編寫而成的,教材具有示范性和權威性．縱觀近幾年全國各地的高考題和模擬題，可以發現許多試題都能找到課本習題、例題的影子．高考中不變的是知識和思想方法,變化的無非是情境的呈現形式、問題的結構方式．這就要求我們平時在學習中,對例題和有代表性的習題進行講解，不但要講,還要講深講透,同時還要進行一題多解多變,使學生知一題而懂一類,在提煉這些問題的基本方法、常規方法的同時，還需掌握不同題型的“秒殺法”,不論高考試題構思如何新穎,學生都能自如應對．