淺談波利亞四步解題法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

周晨晨

【摘要】杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題的訓(xùn)練.”而他的解題思想集中體現(xiàn)在“四步解題法”中，即：理解題目、擬訂方案、執(zhí)行方案、回顧.本文以該解題思想為理論，以高考圓錐曲線為載體淺談了四步解題法的四個(gè)步驟在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】波利亞四步解題法，高考圓錐曲線，解題思維

一、波利亞四步解題法

波利亞將解題過程分為四個(gè)步驟：理解題目、擬訂方案、執(zhí)行方案、回顧[1]，每一步又都以問題的形式呈現(xiàn).

第一步理解題目.這一步?jīng)Q定要努力的方向.未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？當(dāng)我們拿到一道題目的時(shí)候我們把讀題分為兩個(gè)階段，第一階段熟悉題目，看一下題目的類型，熟悉題目的已知量和未知量，第二階段深入理解題目，深挖已知量背后隱含的條件，理解未知量，知道已知量和未知量之間的關(guān)系，知道自己努力的方向，適當(dāng)?shù)臅r(shí)候可以畫圖引入適當(dāng)?shù)姆?hào).這一步是成功解決題目的前提.波利亞說：“對(duì)你所不理解的問題做出答復(fù)是愚蠢的，為你所不希望的目標(biāo)工作是悲哀的.”

第二步擬訂方案.這一步?jīng)Q定解決問題的成與敗.你以前見過它嗎？你知道一道與它有關(guān)的題目嗎？這里有一道題目和你的題目有關(guān)而且以前解過.你能利用它嗎？如果不能先嘗試解一道與它有關(guān)的題目.努力找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系，如果找不到直接的聯(lián)系，就考慮輔助題目.在這一步中教師能為學(xué)生所做的最好的事情是通過不顯眼的幫助，引導(dǎo)學(xué)生自己獲得一個(gè)好的思路.這個(gè)幫助應(yīng)該是普遍性和常識(shí)性的問題和建議.

第三步執(zhí)行方案.執(zhí)行你的方案，檢查每一個(gè)步驟.要對(duì)第二步的分析進(jìn)行邏輯重組，檢驗(yàn)每一個(gè)細(xì)節(jié)的合理性，不再有可能的隱藏的錯(cuò)誤或含糊之處.

第四步回顧.波利亞認(rèn)為，沒有回顧這一步所有的解題都是就題論題.你能檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果嗎？你能以不同的方式推導(dǎo)出來嗎？你能把這個(gè)結(jié)論運(yùn)用到其他題目中嗎？回顧可以使我們做到舉一反三.

二、實(shí)踐應(yīng)用

（4）回顧：

求解定值問題，首先要求出待求定值式的代數(shù)表達(dá)式，然后對(duì)代數(shù)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理，消去變量，得到定值.第二問中設(shè)出lBP的斜率k，得lBP的方程，結(jié)合橢圓的方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，聯(lián)立lAD和lBP的方程解得點(diǎn)M的坐標(biāo)，方案一先求出lDP的方程，再求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，這是大多數(shù)學(xué)生都會(huì)用的一種最容易想出來的方法，方案二是根據(jù)D，P，N三點(diǎn)共線利用斜率相等得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，這一種方法不容易想，但是很好用，之后求出lMN的斜率后代入所求的式子即可得到答案.

推廣：已知點(diǎn)P（不在坐標(biāo)軸上）是曲線C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)A（-a，0），B（a，0），D（0，b），設(shè)lDP交x軸于點(diǎn)N，lAD交lBP于點(diǎn)M，則2kMN-kBP=ba.

三、總 結(jié)

圓錐曲線在高考中是一大重點(diǎn)、難點(diǎn)，很多學(xué)生對(duì)第二問基本是放棄的，因?yàn)樗揭话愕膶W(xué)生是很難做出來的，但是第二問所占分值是比較高的.此例子利用波利亞解題表來指引第二問，可以看出很多分析步驟是大部分學(xué)生都可以想出來的.波利亞的解題表給我們做題指引了一條明路，不但解決了問題還培養(yǎng)了學(xué)生思維的發(fā)散，真正達(dá)到了理解和應(yīng)用，從而提高解題能力.四個(gè)步驟中的問題對(duì)教師教學(xué)和學(xué)生做題自問都有極其重要的意義，可以為學(xué)生打開解題思路.尤其是第四步回顧的工作是很多學(xué)生不會(huì)做的，但是在“解題表”中我們知道了回顧反思不僅是對(duì)解題過程的回顧，更是我們重新梳理整個(gè)題目解答過程中的思路的過程，總結(jié)解題中的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，達(dá)到“做一題，會(huì)一類”的目的，從而達(dá)到事半功倍的效果.

【參考文獻(xiàn)】

[1]G.波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

[2]鄭云升，向婉詩，劉成龍.《怎樣解題表》指導(dǎo)下的解題實(shí)踐——以2012年成都中考第24題為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（5）：48-51.

[3]涂敏，湯強(qiáng).波利亞“怎樣解題”表的應(yīng)用與評(píng)價(jià)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（13）：132.

[4]韓婷婷.波利亞“怎樣解題”表在中學(xué)幾何題中的運(yùn)用——以2016年山西中考數(shù)學(xué)22題為例[J].甘肅高師學(xué)報(bào)，2017（12）：63-67.