基于生長數學下的學生思維培養研究

楊利金

摘 要：在數學教學中，我們需要培養學生的思維，以發展學生的數學素養。本文通過對數學知識的生長，以浙教版九上“3.5圓周角（1）”為例，引導學生在數學學習中會發現問題，解決問題，從而能找到內在邏輯，充實自己的數學知識結構，完善知識體系。

關鍵詞：生長數學 理解 知識鏈

中圖分類號：G633文獻標識碼：A文章編號：1003-9082（2020）03-0-02

在四基落地，素養生根的時代下，作為初中的數學教育者需要面臨很多挑戰。在數學教學過程中，我們不但需要讓學生能獲得基本的知識和經驗，更重要的是需要給學生在獲得技能的同時培養學生的基本素養，這個獲得需要在教學中，教師能挖掘知識潛在的價值和內涵，也就是我們讓學生在學習數學的過程中根據數學知識的生長，用以得到思維的發展和完善，然后給學生終身受益的過程。下面以浙教版九上“圓周角”為例，進行闡釋。

一、生長數學下的數學研究

1.提出新知概念，獲得研究對象

“圓周角”這個知識內涵中蘊含了數量與位置關系，這個辯證關系在先前的學習中可以說出現過很多的，比如在同一平面內的兩條直線的關系——相交中的特殊關系垂直和平行，都是揭示了數量和位置之間的辯證統一。在教學中如何提出圓周角的概念？筆者在教學過程中也思考過以下四個思路：思路1：利用實際問題（燈光問題）構造圓心角和圓周角的圖形，借機通過類比得到概念;思路2：把圓周角看成是兩條弦的特殊位置關系：含公共端點的情況時的圖形;思路3：給出圓心角，利用改變圓心角角的頂點的位置得到圓周角，類比得出概念;思路4：作三角形的外接圓。但最終基于生長數學下，還是采用類比圓心角得出圓周角，在學生的思維鏈上容易理解。

2.探究發現定理，確定研究內容

在學習“圓周角”之前，學生已經具有有序的形和本源的形的理解，在符合學生認知發展的規律上來說，學習這個定理是螺旋上升的。但是學生積累的圓的知識還是不夠多，需要教師一定的教學引導。定理中有個前提是一條弧，也就是要同弧。 所以我們認為弧可能是提出圓周角定理的關鍵橋梁。

變化中（位置）的不變性（角度）是由于它們所對的弧是同一條引起的。 從而去猜想圓周角與其所對弧的度數之間可能存在某種數量關系;弧的度數是通過其所對圓心角的度數來刻畫的，由此聯系在一起。

3.精準學習內容，制定研究方法

我們選擇的是幾何定理研究的一般方法：“實驗（測量）——猜想——驗證——證明”的方式進行定理的探究過程。蘊含著從特殊到一般的思想。在特殊中進行猜想，在一般中進行證明。這個過程中需要將無限轉化為有限的過程，形成新的學習經驗。

二、教學研究下的教學設計

1.內容解析

圓周角（第1課時），是在圓的有關知識、圓心角的概念和性質上對圓周角的概念學習、圓周角與圓心角關系的探索。在研究圓與其它平面圖形中起著橋梁和紐帶作用。

2.目標解析

2.1理解圓周角的概念。

2.2經歷探索圓周角與圓心角之間關系的過程。

2.3了解并證明圓周角定理及其推論。

2.4能簡單應用圓周角定理及其推論。

3.重、難點分析

探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系;了解并證明圓周角定理及其推論是重點。

經歷探索圓周角與圓心角之間關系的過程，同時證明圓周角定理需要“分類討論”，是本節課的難點。

4.流程概述

問題一：圖1哪一個是圓心角？

問題二：圖1中的第2個圖與圓心角在位置上有什么相同點和不同點？

圖1

設計意圖：從“數學內在的邏輯”引入課題，通過“圓心角”來類比“圓周角”，得出圓周角的概念，符合學生的認知發展，也是在學生已有基礎上，馬上能習得的知識，也為后續學習埋下伏筆。

問題三：找出圖2中所有的圓周角。

設計意圖：根據幾何研究路徑：定義——判定——性質——應用的知識鏈來研究。概念辨析，達成目標：能說出圓周角的定義，會畫出一條弧所對的圓周角，能在具體的情境或較復雜的圖形中辨認出同弧或等弧所對的圓周角。

問題四：如何來研究性質：在所給的圓中畫出圓周角，量一量大小，并猜一猜其中的規律。

設計意圖：通過畫和量，讓學生感受一條弧所對的圓周角有無數條，但是圓心角卻是唯一的，所以引發學生內心認知沖突，將圓周角的大小刻畫通過研究圓心角來判斷。并通過猜測，引起學生興趣，激發證明的欲望。

問題五：驗證這條弧對的無數個圓周角的度數。

設計意圖：這個過程是學生經歷實驗——猜想——驗證——證明中的證明過程。如何將無數個圓周角化歸為有限個角，需要學生學會這個分類標準。利用幾何畫板，引導學生利用圓心進行分類，確定角的位置。第一類：圓心在圓周角一邊上;第二類圓心在圓周角的內部;第三類圓心在圓周角的外部。

由圓的軸對稱性聯想到把硬紙片對折、發現過圓周角的頂點C作輔助線“直徑”，可以把第二、第三類情況轉化為第一類來驗證。

設計意圖：通過證明圓周角的大小，在無限到有限的過程中，能培養學生思維的嚴謹，縝密，為后續思維的生長奠定了良好的基礎。

問題六：半圓所對的圓周角是多少？直徑所對的圓周角是多少？

設計意圖：通過練習讓學生鞏固應用圓周角的性質，從而得出圓周角定理的推論。

問題七：課堂小結

設計意圖：通過黑板框架圖的呈現，讓學生一目了然本節課內容，并賦予學生思考幾何問題的一般路徑。

三、教學設計下的教學反思

1.理解數學是學習的前提條件

章博士指出要理解數學，對于一線教師來說，想要教好學生，先要把數學理解透徹，避免在教學的時候本身對數學理解是一知半解的，那么給學生的也是比較膚淺或者片面的。所以對教材的知識應該弄清楚來龍去脈，從哪里來，到哪里去，一些定理、公式和法則中存在的價值體現需要教師去深入挖掘，只有真正理解其中內涵，才能教好學生，讓學生思維得到培養.。

在幾何學習上，可以說是橫向聯系或類比之前或之后所學的知識;縱向理清整一章節的知識體系，突出知識脈絡的呈現方式。一線教師應該對課標進行解讀，不能讓學生在學習數學過程中成為操作者和打工者，而是領跑者和創造者。圓周角這一課時可以說對學習圓和其他平面圖形有著非常重要的橋梁作用，在數學理解上教師必須關注知識鏈的整體設計，讓方法、思維形成一條暗線，初“形”串式，一題一線，基本圖形的演變，知識形成一條明線，貫穿其中。

2.理解學生是學習的重要機制

課堂教學離開了學生可以說是空的，所以在教育教學中必須關注學生的學習力。每一課時都是需要符合學生的認知發展。在教材中安排的知識是螺旋上升的，但不同的學生學習背景也是不同的，學習能力也存在著差異，所以在教學中可以設計一些前測、后測進行調查學生已有的知識經驗和掌握的程度，那么整個課堂就會是高效精準的。學生在學習圓周角之前，已經學習了圓心角的內容，利用舊知，對知識進行銜接、類比新知從而可以順勢而為。當對概念提出后，教師設置了概念辨析，以達到知識的內化，當探究圓周角定理的時候，設計了自己動手操作進行感知，讓學生能對知識的理解深刻，隨后又進行了精致化的過程，也就是進行了鞏固練習，這讓圓周角的學習過程完整。實質上理解學生最終還是為了在課堂上怎么教，讓學生提高課堂效率。學生的課堂效率能真正提高思維能力。

3.理解教學是學習的根本保障

課堂教學在理解教材和理解學生下，最終體現的是對教學的理解。在課堂上怎么講，講什么還是需要一線教師考慮周全的。課堂的精準引導和智慧生產都是需要教師的教育機智的，因為在課堂上會產生一些沒有預設的突發事件，這個時候需要教師對教學過程中設計的彈性和預留。

圓周角定理的證明需要分三種情況進行，對于分類標準，學生不易想到。設想是先不分類，在證明定理時，發現一個圖形不能概括一般情況時，產生分類的必要性，而對于位置的分類則一般需要參照物，由此去聯系與圓心的位置關系作為分類標準。當課堂上有學生以角的大小作為分類標準的時候，即銳角的時候、直角的時候、鈍角的時候，這個時候教師需要教育機智，引導學生這兩種分類是否有聯系，引導學生的思維層次到高階層去，從而培養了學生的高階思維。課堂中生成的是學生和老師碰撞智慧的結果，是教學相長的過程，所以說課堂是寶貴的場所，需要珍惜。

4.理解技術是學習的重要補充

在教學過程中，隨著媒體技術的發展，我們需要不斷的學習，讓技術支撐我們的教學，作為教學的重要補充。尤其是幾何學習，我們需要動態的演示其中的過程，就會借助幾何畫板，讓學生能一目了然。圓周角定理的探索過程中可以借助幾何畫板讓學生發現角度不變的過程，從而為驗證起了非常重要的作用。所以一線教師在教學過程中需要不斷地增加自己的源頭活水，讓學生在思維層面得到顯性的理解。

參考文獻

[1].義務教育數學課程標準[M].北京：師范大學出版社.2011.