巧用變式突破“t”的幾何意義

秦盛華

【摘要】涉及到直線與圓錐曲線相交的問題，當聯立方程組不太容易求解時，利用t的幾何意義是一個比較好的選擇，既能節省時間，提高解題效率，還能增強學生學習的自信心。利用數形結合、韋達定理解題，往往可以收到意想不到的驚喜，本文僅研究直線參數方程標準形式下解決的一大類問題：“IMQI+l MPI”類型。

【關鍵字】直線參數方程 標準形式 幾何意義 距離

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（ 2020） 06-079-01

涉及到直線與圓錐曲線相交的問題，當聯立方程組不太容易求解時，利用t的幾何意義是一個比較好的選擇，既能節省時間，提高解題效率，還能增強學生學習的自信心。假設直線與圓錐曲線交于P、Q兩點，M為直線PQ上一點，對于∣PQ∣的幾何意義：∣t1-t2∣=（t1+t2）2-4t1·t2和∣MP∣·∣MQ∣的幾何意義∣t1·t2∣公式是固定的;對于IMPI+IMQI的幾何意義∣t1∣+∣t2∣，如何正確理解t的幾何意義，如何用上韋達定理是一個難點，這里就這個難點提出一些教學心得。

一、參數方程及參數t的幾何意義

（1）直線的參數方程：

經過點Mo（xo，Yo），傾斜角為a的直線l的參數方程為

（t為參數）

（2）直線參數方程中參數t幾何意義：參數t絕對值∣t∣表示參數t所對應的點M到定點Mo的距離。此時，若t>0，則的M0M方向向上;若t<0，則M0M的方向向下;若t=0，則點M與點M0重合。

二、對于IPQI的幾何意義∣t1-t2|=（t1+t2）2-4t1·t2和∣MP∣·∣MQ∣的幾何意義∣t1·t2∣，公式是固定的，學生只需要死記硬背就可以很快掌握

例如：人教版A版選修4-4 P36例1：已知直線1：x+y-1=0與拋物線y=x2交于點A，B兩點，求線段IABI的長和點M（-1.2）到A、B兩點的距離之積。

三、對于∣MP∣+∣MQ∣的幾何意義：∣t1∣+∣t2∣，如何用上韋達定理是一個難點，這個難點提出一些教學心得

學生在理解t的幾何意義過程中比較想不明白的是t的正負情況，還有不清楚怎么把絕對值符號去掉以及如何合理應用韋達定理，通過幾個變式可以很好地幫助學生理解。

例1變式1：例1條件不變，所求改為：求點M（一1，2）到A、B兩點的距離之和。

例1變式2：例1條件不變，所求改為：求點P （1，0）到A、B兩點的距離之和。

例1變式3：例1條件不變，所求改為：求點Q（一2，3）到A、B兩點的距離之和。

通過以上三個變式的訓練，學生不但進一步理解了t的正負情況，還能理解P點的位置對韋達定理的合理應用有著重要影響。他們意識到不能盲目背公式，要畫圖幫助理解題意，這就是數學當中的重要解題方法之一：數形結合法。鞏固提升：在直角坐標系xoy中，直線1的參數方程為

可是大多數學生在解題出現了以下常見錯誤解法：

提醒學生：當點O不在直線MN上時，∣OM∣和∣ON∣都不具備t的幾何意義，利用t來計算，結果一定是錯誤的。這時候如果求∣OM∣ +∣ON∣的取值范圍可以象本題利用p的幾何意義進行計算，如果是求∣OM∣ +∣ON∣的值則可以直接把M、N、O三點坐標求出，利用兩點間距離公式解答即可。

對于鞏固提升的設計，提醒學生不能題目給什么參數方程就直接把參數方程代入圓錐曲線方程，需要仔細看清楚定點，既能提升學生對t的幾何意義的理解，同時可以鍛煉學生的運算能力。直線t的幾何意義不是萬能的，必須結合題目已知條件，選擇正確的解題方法，這樣才能達到好的效果。

[參考文獻]

[1]徐智勇高中生數學思維能力培養探析[J].考試周刊.2018

[2]陳堆章論高中數學教育中學生數學思維意識養成和創新能力培養，[J].亞太教育，2019