“多型交互、多元發展”的作業設計
——以《圓》的作業設計為例

胡才燕

數學作業是數學課堂教學的延續和補充，是學生進一步理解數學知識，形成技能技巧，獲得深層次發展的學習活動，是數學學習的重要環節。前蘇聯教學論專家凱洛夫、斯米爾諾夫，都認為作業與課堂教學同等重要，隨著教學改革的不斷深入和新課改的推進，作業問題更向多維視角分析研究轉變。教育專家曾指出過：要提倡布置活動性、實踐性的小學作業。新課改的行動綱領中也明確指出：要改進學生的訓練方式，構建學生的訓練體系，要大力開發習題對于促進學生主動活動，培養學生創造才能的功能，把非形式推理的開放性問題、課題研究和建模求解等納入新編習題作業的范圍，與原先強調現有知識掌握鞏固的習題類型相配合，組成完整的數學訓練體系。近年來，我校教研組加強作業問題的研究，以學生為主體，以數學核心素養的培養為目標，開展作業改革，嘗試豐富作業類型，多型交互，挖掘作業功能，提升作業實效，促進學生多元發展。

一、操練鞏固型——夯實數學基礎，熟練數學技能

操練鞏固型作業是教師最熟悉、最常用的作業形式。學生要發展，基礎知識和基本技能不能偏廢，“雙基”是學生獲得發展的基礎。依據學生的數學基礎，控制總量，設計階梯式的操練鞏固型作業滿足不同學生對作業的實際需求，讓不同水平的學生通過作業得到不同的提升和發展。夯實數學基礎，熟練數學技能，為學生的更優發展奠基。

【設計1】教學“圓”單元后

作業設計：

A 套（基礎型）

B 套（發展型）

C 套（拓展型）

作業反饋：學生依據自身學習水平選擇相應套餐完成作業，糾錯。

學習水平不同的學生組成組際水平相近的學習小組。學生依據自身的學業水平選擇適合自己的作業套餐，基礎一般的學生在選擇A 套餐的同時可挑戰B 套餐和C 套餐中的全部題或個別題。基礎好的學生選擇練C 套餐中的題。學習小組內交流互助，相互評價，共同提升，夯實基礎，共同提高。

二、探索研究型——促進數學理解，發展數學思維

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”。數學學習活動應該是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。教師要用一雙數學的眼睛挖掘數學中可探究的素材，教師要有一個數學的大腦，設置有一定難度而通過努力又能解決的探究活動，引導學生在探究活動中理解數學，提出新思路、新方法、新方案，把學生推向思維活動的前沿。探索研究型作業旨在緊密聯系教學內容，以學生獨立自主學習或合作討論為作業主要形式，給學生足夠的探究時間和空間去動手動腦，在觀察、調查、假設、實驗等多種形式的探究活動中明理，促進對數學的理解，讓學生的思維更具開放性和敏捷性。

【設計2】教學“圓的解決問題”后

作業設計：外方內圓和外圓內方我們已經研究過了，如果兩種情況組合又會有什么新的發現呢？選擇你喜歡的方式研究研究，做好記錄。

作業反饋：

圖1

圖2

圖3

圖1三個圖形（由外到內）的面積比為：4∶π∶2

圖2三個圖形（由外到內）的面積比為：2π∶4∶π

圖3由上面的研究發現：外圓面積是內圓面積的2 倍，外正方形面積是內正方形面積的2 倍。

學生在課堂研究的基礎上開展自主研究，再團隊合作交流分享。有選擇用課堂教學的設數法進行研究的，也有利用課堂研究結論直接推導的，不同的學生有不同的方法，相同的是在探究活動中，學生深化了對這兩種形體組合關系的認識，熟練了圖形探究的方法，其思維是積極的、發展的。個體自主研究和團體合作研究相結合有效促進了學生對數學的理解，發展了思維。

三、實踐運用型——感悟數學價值，善于數學應用

數學是注重應用的科學，學習的最終目的是為了應用。數學來源于生活，又應用于生活，數學在社會生產和日常生活的各個方面都有廣泛應用。實踐運用型作業設計旨在帶領學生走出教室，跳出課本，讓學生看到生活中處處有數學，數學是生活中不可缺少的工具。重點放在學生應用所學的數學知識和方法，去分析、解決生活中的實際問題，再在實踐運用中掌握和悟得一些研究問題的策略方法，從而使所學知識得到拓展和延伸，讓學生在感悟數學價值的同時形成數學應用的意識，更樂于去學習數學，學好數學，善于應用數學。

【設計3】教學“圓的認識”后

作業設計：1.生活中的圓怎么畫？2.生活中的哪些現象是在畫圓？

作業反饋：可以用圓規畫的圓用圓規畫最方便，沒有圓規則可以用圓形物體描。

圓規畫不了的較大的圓，則根據圓的特點“同一個圓的半徑相等”，可以定點（圓心）、定長（半徑）來畫。如體育老師畫圓，就用標槍固定為圓心，卷尺取給定的距離為半徑畫圓。注意點：作為半徑的卷尺或繩子要無伸縮性，要拉緊。

生活中畫圓的現象有：鐘面上的指針運動（秒針針尖1 分鐘畫一個圓；分針針尖1 小時畫一個圓；時針針尖12 小時畫一個圓）；噴水裝置往四周噴灑水；拴在柱子上的牛、羊能吃到草的范圍；……

【設計4】教學“圓的面積”后

作業設計：你能有辦法知道學校500年樹齡的銀杏樹枝干的橫截面面積嗎？用類似方法你還能知道什么的面積？

作業反饋：測量出橫截面的周長，用周長除以圓周率除以2 得出圓的半徑，再計算出橫截面的面積。用這個方法，我們可以求出任意橫截面是圓形的物體截面面積。

不論是圓的畫法，生活中的畫圓現象，還是圓形截面面積的計算，都讓學生深切感受到生活中處處有數學，運用數學的智慧可以解決生活中看似復雜的問題，增強其運用數學的意識。解決問題的成功感讓學生更真切地體驗到數學的價值，樂于去應用數學，讓學習數學更有方向性。

四、人文熏陶型——欣賞數學之美，提升數學情感

數學教育的價值之一是向學生傳承數學文化，感受數學的魅力。著名哲學家羅素曾說：“數學，不但擁有真理，而且有至高之美。”顯然數學是美的，數學的美是一種抽象、嚴謹、含蓄、簡潔的美，它滲透在數學知識的背后，需要用心體悟才能感知。數學還是積累的科學，是歷史的記錄，是人類智慧的體現，是人類的一種文化。人文熏陶型作業設計關注數學美和數學文化，通過作業讓學生欣賞數學、品味數學，品讀數學家的生平軼事，了解數學知識及方法的發展歷程等數學文化。在至高之美和博大精深的數學文化熏陶下開闊視野，激發數學學習的興趣，增進學好數學的情感。

【設計5】認識了圓，初步學會用圓規畫圓后

設計作業：請以“圓”為主要構圖元素，設計一幅美麗圖案。

作業反饋：

學生的創意是多樣的、靈動的、生活的（如上圖）。學生在設計作品的同時，熟練掌握了畫圓的技巧，也感受到圓在生活中的廣泛存在，體驗到圓給生活帶來的各種美和在生活中的美好寓意。學生在美的欣賞和創造中對數學的情感得到了升華。

【設計6】教學“圓的周長”后

設計作業：一位英國數學家說：“這個奇妙的3.14159 溜進了每一扇門，沖進了每一扇窗，鉆進了每一個煙囪。”圓周率的研究已持續了幾千年。同學們，圓周率到底有什么魅力呢？讓我們走進它，了解它的研究史吧。

作業反饋：學生通過各種渠道查閱圓周率的發展史，以數學日記、數學小報等多種形式表達。

日記節選：

1.英國人瓊斯首次創用π 代表圓周率。它的符號并未立刻被采用，后由歐拉予以提倡，才漸漸推廣開來。現在π 已成為圓周率的專用符號，π 的研究，在一定程度上反映這個地區或時代的數學水平，它的歷史是饒有趣味的。

2.為什么數學家要無休止地計算π 的值呢？在古代，π 值的獲得是衡量數學水平的重要標準之一，其數值、性質、公式是數學史上最悠久、最奇特、最富有思想，也是最能體現數學進步的主題之一。

3.從“割圓術”到解析法再到計算機求π 值，2002年12月6日，算出了12411 億位π 值，真是神奇的發現！

一次簡單的作業，一次不簡單的經歷。學生在做作業的過程中，通過各種渠道搜集資料，了解了圓周率的研究發展史，認識了很多數學大家，感受到數學家做學問的執著，數學智慧為數學研究帶來的方法變革。以小見大，感受數學魅力，對數學的敬仰愛慕之心油然而生，對數學的美好情感自然升華。

美國教育家彼得·克萊恩說：“學習的三大要素是接觸、綜合分析、實際參與。”根據不同的學習內容，設計多種類型的作業，自然交互，讓學生跳離形式單一的機械練習，經歷觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、欣賞等活動，讓學生在“做”數學作業的過程中，既能掌握學習和生活必備的基本知識和基本技能，更能學會思維和創造，進而培養學生學會學習、生活的能力，讓學生在豐富的、有意義的作業活動中，拓展延伸課堂教學的效果，獲得多元發展。