把握概念本質 深化數學認知
——以“三角形底與高”的教學為例

管小冬

在區教師發展中心組織開展的青年教師優課評比活動上，一位青年教師執教了蘇教版四年級（下冊）《認識三角形》。其間，“認識三角形的底和高”這一環節的設計，引發了我對“認識圖形”教學中，如何“準確把握概念本質，遵循認知邏輯展開教學”這一問題的思考。

【課堂】

在揭示“三條線段首尾相接圍成的圖形叫做三角形”這一描述性定義后。

師：生活中，你在哪些地方見到過三角形？

（學生交流后，課件出示房屋“人字梁”的圖片）

師：屋頂的人字梁是三角形，你能量出它的高度嗎？你量的是哪條線段？它有什么特點？

學生在獨立觀察、思考、交流后，明確中間這條從頂點到它對邊的垂直線段的長度就是“人字梁”的高度。

課件從“人字梁”抽象出三角形，結合圖示，出示三角形高和底的定義。

師：你能畫出這個三角形（下圖）底邊上的高嗎？

在學生活動、交流的基礎上，明確畫指定“底”上的高，就是從這條底邊所對的頂點向底邊畫一條垂直線段。

師：發現沒有，畫三角形指定底邊上的高，跟上學期我們掌握的“過直線外一點畫它的垂直線段”本質上是一樣的。

隨后，教師又通過畫高、量高等練習，進一步深化學生對三角形高的認識，鞏固三角形高的畫法。過程中，當指定底邊不在水平方向時，部分學生畫高出現了錯誤，教師又引導全體學生進行交流、辨析，強調三角形的底與高是相對應的。

【反思】

特級教師俞正強所著《種子課》一書中談到，“如果將某一知識系統作為一棵樹，這棵樹的生長過程表現為若干節課，那么，一定有一些課需要蒔也若子，充分理透脈絡；……蒔也若子的課，通常處于起點或節點，謂之種子課。”

認識圖形是深入研究該類圖形的重要起點，可謂之“種子課”。小學階段“認識圖形”一類課中，“認識三角形”又有著特殊而重要的價值與意義。一方面，“認識三角形”，不僅是學生進一步研究三角形內角和、分類及面積計算方法等內容的重要基礎，更對學生認識、研究其他平面圖形有著極為重要的作用。另一方面，教材對三角形的描述——“三條線段首尾相接圍成的圖形叫做三角形”，是極簡潔明了的。但“越簡單越復雜”，三角形是學生首次認識的邊與角等元素間聯系極為緊密的平面圖形。對這種聯系的深入探究，不僅可為學生積累更為豐富的數學活動經驗，更有利于進一步發展數學思考，培養空間觀念。

那么，如何展開這部分內容的教學，使之真正成為學生后續學習的“種子”呢？筆者以為，引領學生深刻認識“三角形的底與高”的含義及價值，是達成這一目標的重要途徑。

一、充分感受高與底源于定量刻畫平面圖形的需求

我們對圖形的認識，正經歷了從定性把握到定量刻畫這樣的過程。即先在觀察、對比的基礎上，嘗試用數學語言描述圖形，將之區分于其他非同類圖形；進而嘗試通過數據來細致描述、刻畫，將之區分于其他同類圖形。“認識三角形”時，我們也正是遵循這樣的認知邏輯，先“認識三角形的基本特征，初步形成三角形的概念”，再“認識三角形的高與底的含義”。

上述案例中，教師從“如何測量人字梁的高”這一問題出發，引導學生通過思考、操作與交流，認識三角形的高與底。這樣的設計，看似立足生活經驗，自然展開對“三角形高與底”的認識，然而，仔細推敲，在引導學生深刻感悟“高”與“底”是對三角形的定量刻畫上，作用卻未盡明顯。

我們姑且不論現在的學生對“人字梁”有多少了解，仍借助其展開對“三角形高與底”的認識。不妨可以這樣設計：課件呈現多個不同形狀、大小的人字梁，引導學生在觀察、對比中發現，因為底邊長度不同、高度不同，所以人字梁的形狀、大小也不盡相同。接著將人字梁抽象為三角形，請學生嘗試畫出剛才所說的“高”。再通過交流、辨析，明確“從三角形的一個頂點到對邊的垂直線段是三角形的高，這條對邊是三角形的底”。最后，請學生在測量出高與底的長度后，說一說它們分別是“底多少，高多少”的三角形。

值得注意的是，在“認識圖形”的教學中，不少教師僅立足學生的幾何直觀，未能通過有效設計充分激發學生定量刻畫圖形的需求。如“認識長方形和正方形”時，直接告訴學生“通常把長方形長邊的長叫做長，短邊的長叫做寬。”

我們應該認識到，在“認識圖形”的教學中，教師精心設計數學活動，讓學生充分感悟數在具體刻畫形方面的作用，有助于學生數學思考的發展和空間觀念的初步形成。

二、深入認識高與底對定量刻畫平面圖形的意義與價值

面積與形狀是我們在研究平面圖形時重點關注的兩個維度。就小學階段學生認識的長方形、三角形、平行四邊形、梯形這幾個平面圖形而言，數據的定量刻畫對它們積與形兩個維度的描述效果并不完全相同。

我們知道，一個二維的平面圖形，需要使用兩個數據（水平方向、垂直方向）進行定量刻畫。區別在于，如果知道長方形的長和寬，我們不僅可以確定其大小，也能確定其形狀。這與長方形的特征——“四個角都是直角”有關。即長方形中，邊的長度是可變的，但角大小卻固定不變。但如果知道三角形、平行四邊形、梯形底和高的長度，我們僅能確定圖形的大小（面積），卻不一定能確定其形狀。因為相較于長方形而言，這三種圖形的邊與角的聯系更為緊密。而三種圖形中，三角形尤甚之。角的大小改變會導致邊的長度發生變化，形狀也隨之變化。反之亦然（相似形除外）。這也是三角形穩定性的數學內涵。基于這一點，我們不難理解，平面圖形的定量刻畫，本質上指向“積”的維度。

由此，在認識三角形的高與底后，我們可以設計以下數學活動，促進學生對三角形高與底意義與價值的理解，進而深化對三角形的認識。

1.數學游戲“三角形變變變”。利用課件動態呈現三角形的多種變化，引導學生觀察變化前后的圖形，說說什么變了，什么沒變。在對比觀察、交流辨析中感悟三角形邊與角之間的密切聯系，以及三角形形狀改變，其相應的底、高也可能會發生改變。

2.數學游戲“三角形大猜想”。課件呈現三角形的一條底和一條高，請學生嘗試想象這個三角形的形狀（如下圖）。

學生在觀察、想象、思考中進一步體會底與高的對應性，及其對三角形的定量刻畫作用。

接著，追問學生，如果一個三角形的底4 厘米，高3 厘米，你能想象出它的樣子嗎？試著在方格紙上畫一畫。進而組織學生交流發現，雖然三角形底與高的長度確定了，但其形狀仍有多種可能。

隨后，繼續追問學生，如果長方形長4 厘米、寬3 厘米，它會有多種不同形狀嗎？課后思考：為什么長方形只有一種，而三角形卻有無數種？這些底與高相同，但形狀卻不相同的三角形，在本質上又有什么聯系呢？

“認識圖形”教學中，我們應立足學生現有的生活經驗與知識基礎，遵循認知發展邏輯，引導學生在數學活動中，定性把握圖形的基本特征，抽象、概括圖形的概念；創設有效的數學情境，引發學生定量刻畫圖形的需求，在觀察、對比、交流、辨析等活動中理解概念本質，深化數學認知。