巧設(shè)任務(wù) 提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力
——《因數(shù)和倍數(shù)》教學(xué)實(shí)踐與思考

唐曉丹

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版五年級下冊第30～32頁。

【教學(xué)過程】

一、設(shè)計(jì)問題任務(wù),促使需求的自發(fā)產(chǎn)生

談話：在數(shù)的世界，有一些特殊的數(shù)叫完全數(shù)，也叫完美數(shù)。比如6 就是一個(gè)完美數(shù)。

追問：關(guān)于完美數(shù)你想知道什么？

生：什么是完美數(shù)？

生：哪些數(shù)是完美數(shù)？

揭示課題：要想解決同學(xué)們的問題，那就要先來研究因數(shù)和倍數(shù)。

【思考：因數(shù)和倍數(shù)是一對比較抽象的數(shù)學(xué)概念，為此，在課首設(shè)計(jì)了“完美數(shù)”的問題任務(wù)。先出示“完美數(shù)”這一名稱，并告訴學(xué)生“6”就是一個(gè)完美數(shù)，此時(shí)學(xué)生被這個(gè)名稱所吸引，便自然而然地思考“什么是完美數(shù)？”“為什么6 是完美數(shù)？”“除了6 以外還有哪些數(shù)也是完美數(shù)？”等問題，在此基礎(chǔ)上再來明確要想解決這些問題，需先從因數(shù)和倍數(shù)的概念學(xué)起。在問題任務(wù)的驅(qū)動下，學(xué)生自發(fā)產(chǎn)生了對所學(xué)知識的需求，同時(shí)激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?！?/p>

二、設(shè)計(jì)操作任務(wù)，推進(jìn)概念的穩(wěn)步建構(gòu)

1．?dāng)?shù)形結(jié)合初體驗(yàn)。（想一想）

師：用12 個(gè)同樣大的正方形擺長方形。想一想，每排擺幾個(gè)，擺了幾排？

生：每排可以4 個(gè)，擺3 排。

生：每排可以擺6 個(gè)，擺2 排。

生：每排擺12 個(gè)，擺1 排。

師：每排3 個(gè)，擺4 排，你對這個(gè)長方形有什么想說的？

生：這個(gè)和每排4 個(gè)，擺3 排擺出的長方形是一樣的。

師：不錯(cuò)，這兩個(gè)長方形形狀相同，只是擺放的位置不同而已。

追問：如果每排擺5 個(gè)，能擺出長方形嗎？

生：不能，最后多出兩個(gè)，擺出的就不是長方形了。

小結(jié)：通過研究，發(fā)現(xiàn)用12個(gè)同樣大的正方形擺長方形有三種不同的擺法。

追問：你能用簡單的乘法算式表示這些擺法嗎？

明確：分別用4×3＝12，6×2＝12，1×12＝12 來表示這三種擺法。

揭示：今天我們要研究的內(nèi)容就藏在這樣的乘法算式中。

2．巧搭框架建模型。（說一說）

師：在4×3＝12 這個(gè)算式中，我們可以知道4 是12 的因數(shù)，3也是12 的因數(shù)。反過來說，12 是4 的倍數(shù)，12 也是3 的倍數(shù)。

要求：照樣子說一說4、3、12的關(guān)系。

師：像上面這樣，我們可以簡潔地說“4 和3 都是12 的因數(shù)，12 是4 的倍數(shù)，也是3 的倍數(shù)”。

師：聯(lián)系前面說說在2×6＝12，1×12＝12 這兩道乘法算式中，哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的因數(shù)，哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)？

師：想一想擺長方形的過程，你覺得長方形的長和寬可以是0嗎？為什么?

生：不能，因?yàn)殚L或?qū)挒? 的話就不是長方形了。

明確：是的，所以我們在研究因數(shù)和倍數(shù)的時(shí)候，所說的數(shù)一般是指不是0 自然數(shù)。

3．深入剖析找本質(zhì)。（辨一辨）

提問：如果給出一道除法算式，你還能不能找出其中的因數(shù)和倍數(shù)？（課件出示10÷2＝5）

生：2 和5 都是10 的因數(shù)，10 是2 和5 的倍數(shù)。

師：根據(jù)2＋3＝5 這道加法算式，能說2 和3 都是5 的因數(shù)嗎？

小結(jié)：只有在乘法算式或是除法算式中，才能找出算式中的因數(shù)和倍數(shù)。

師：下面隨機(jī)在同學(xué)們的號碼中選5 個(gè)數(shù)（課件隨機(jī)出示5個(gè)號碼：3、5、9、20、36），選兩個(gè)數(shù)，說一說哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的因數(shù)？哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)？你的依據(jù)是什么？

（學(xué)生回答略）

師：老師也選了兩個(gè)數(shù)（圈出20 和36），“36 是20 的倍數(shù)，20是36 的因數(shù)”這樣說對嗎？

生：不對，因?yàn)?6÷20 不等于整數(shù)。

師：是的，自然數(shù)a 除以自然數(shù)b 商是整數(shù)的時(shí)候，我們就說a 是b 的倍數(shù)，b 是a 的因數(shù)。

師：那我這樣說“20 是倍數(shù)，5 是因數(shù)”，你認(rèn)為可以嗎？

生：不行。因?yàn)?0 是5 的倍數(shù)，不是3 的倍數(shù)。

師：看來因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，我們在說的時(shí)候要說清楚哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)的因數(shù)，哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

【思考：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要學(xué)生經(jīng)歷體驗(yàn)、理解和反思這幾個(gè)階段。為了讓學(xué)生獲得豐富的感性體驗(yàn)，這里設(shè)計(jì)了“想一想”“說一說”“辨一辨”三個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)。在第一個(gè)任務(wù)中，通過“想形”“思數(shù)”的過程，建立了清晰的圖形表象，為正確的概念找到了原型。第二個(gè)任務(wù)通過“示范說”“模仿說”“變式說”這三個(gè)層次初步掌握了因數(shù)和倍數(shù)的概念。第三個(gè)任務(wù)首先讓學(xué)生感知因數(shù)和倍數(shù)除了能在乘法算式中找，還能在除法算式中找。其次在兩次辨析任務(wù)中理解只有整除時(shí)才有因數(shù)和倍數(shù)，而且彼此相互依存，通過深入地剖析找到了概念的本質(zhì)?！?/p>

三、設(shè)計(jì)探究任務(wù)，推動思維的深度激發(fā)

1.在“扶”中思，辨出因數(shù)特征。

師：在這五個(gè)數(shù)（3、5、9、20、36）中，有哪些數(shù)是36 的因數(shù)？

生：3、9、36。

師：36 的因數(shù)只有3 個(gè)嗎？

生：肯定不止這些。

要求：試著把36 的所有因數(shù)全部列舉出來。獨(dú)立完成挑戰(zhàn)性任務(wù)單一。

學(xué)生匯報(bào)交流：

生：用除法來找因數(shù)。

師：根據(jù)一道除法算式能找到幾個(gè)因數(shù)？

生：一般也能找到2 個(gè)。

師：那為什么36÷4 后，不算36÷5 呢？

生：因?yàn)椴荒苷?/p>

師：那除以6 之后，為什么不往下除以7、除以8、除以9 了呢？

生：因?yàn)橥鲁床荒苷?，要么就重?fù)了。

辨析：看這位同學(xué)列舉的，你有什么想對他說的？

生：他沒有按照順序找，比較亂，而且還漏掉了。

師：說得真好。還有不同的方法來找因數(shù)嗎？

師：在一道乘法算式中能找到幾個(gè)因數(shù)？

生：一般情況可以找到2 個(gè)，但是在6×6=36 這道中只能找到1 個(gè)。

師：看看這兩個(gè)同學(xué)整理的，他們都找全了。但是你覺得哪一個(gè)看著舒服?

明確：在列舉寫的時(shí)候可以這樣一前一后的把每組列舉出來，也可以用集合圈的形式把36的因數(shù)列舉出來。

（課件動態(tài)演示列舉過程）

師：想一想剛剛的過程，怎么樣才能把36 的因數(shù)找全？

明確：只有有序思考，一組一組的列出來才能把36 的所有因數(shù)找全。

（板書出示有序、一組一組）

師：下面我們用掌握的方法來試一試。

（課件出示15、16、17三個(gè)數(shù)）

師：猜一猜，這三個(gè)數(shù)，哪個(gè)數(shù)的因數(shù)最多？

明確：原來并不是數(shù)大，因數(shù)就一定多的。

談話：仔細(xì)觀察，這些數(shù)的因數(shù)有什么相同的地方？

生：都有因數(shù)1。

生：因數(shù)中都有它本身。

生：最小是1，最大是它本身。

師：你們真會觀察，既然因數(shù)有最小和最大，也就是說因數(shù)的個(gè)數(shù)是能數(shù)出來的。我們給它一個(gè)詞——有限。想一想一個(gè)數(shù)的因數(shù)最少是幾個(gè)？

明確：看來1 比較特殊，它的因數(shù)只有1 個(gè)，就是它自己。

2．在“放”中探，論出倍數(shù)規(guī)律。

師：研究完因數(shù)，還要研究倍數(shù)。為了便于研究，老師給大家準(zhǔn)備了一份“挑戰(zhàn)性任務(wù)單二”。

師：明確要求了嗎？

學(xué)生思考，探索。匯報(bào)交流。

師：這兩位同學(xué)分別列舉了3 和6 的倍數(shù)。請他們來說一說是怎么列舉的？

生：我是計(jì)算的1×3=3,2×3=6……

生：我是用6×1=6，6×2=12，6×3=18 這樣一直往下乘的。

師：那怎么找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，誰能用一句話來概括？

生：找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，只要用這個(gè)數(shù)依次乘1、2、3……得到的積就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

師：那這兩個(gè)同學(xué)列舉的后面為什么有“……”呢？

生：因?yàn)閷懖煌辏梢砸恢蓖铣恕?/p>

明確：看來一個(gè)數(shù)的倍數(shù)是無限的。

追問：在你們的研究過程中，還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：最小的倍數(shù)是它本身。

生：沒有最大的倍數(shù)。

師：在你們研究的成果中，還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)奇怪的現(xiàn)象?？匆粋€(gè)數(shù)的最大因數(shù)和最小的倍數(shù)，你有什么想說的？

生：一個(gè)數(shù)既是他自己的因數(shù)，也是它自己的倍數(shù)。

【思考：這里設(shè)計(jì)了兩個(gè)“探究式”的挑戰(zhàn)任務(wù)。在列舉因數(shù)時(shí)，拋出第一個(gè)任務(wù)：“如何才能把36 的全部因數(shù)找出來，做到一目了然，而且能讓人看得特別舒心?！庇捎趯W(xué)生數(shù)學(xué)能力不同，在挑戰(zhàn)的過程中又會產(chǎn)生不同的個(gè)體需求。一部分不能找全的學(xué)生會迫切地想要知道找全因數(shù)的方法；一些已經(jīng)找全的學(xué)生會思考如何讓別人一目了然；更有一些已經(jīng)完成目標(biāo)任務(wù)的學(xué)生，想急切地表現(xiàn)自己。這樣個(gè)體就會自發(fā)產(chǎn)生學(xué)習(xí)的需求，那些最初的“不知”就會在這一過程中悄悄變成“知”。這樣就不再是對知識的簡單灌輸，而是在挑戰(zhàn)性任務(wù)的驅(qū)動下，提升了學(xué)生的“基礎(chǔ)學(xué)力”。第二個(gè)任務(wù)安排在倍數(shù)教學(xué)中，前面學(xué)習(xí)因數(shù)是教師帶著學(xué)生一起探究，這是一個(gè)扶的過程，進(jìn)入倍數(shù)的教學(xué)，教師就可以適當(dāng)放手，設(shè)計(jì)這樣一個(gè)開放性的操作任務(wù)，能驅(qū)動學(xué)生自主探究倍數(shù)的相關(guān)知識。這樣便把被動接受的學(xué)習(xí)模式轉(zhuǎn)變?yōu)榉e極參與的學(xué)習(xí)狀態(tài)，讓學(xué)生的高階思維得到良性發(fā)展，達(dá)到新的高度?！?/p>

四、設(shè)計(jì)游戲任務(wù)，促進(jìn)知識的趣味生成

出示游戲規(guī)則：根據(jù)出示的游戲要求，你手中的號碼如果符合要求，請起立。

1.游戲1——找因數(shù)。

（1）我是28，我的因數(shù)在哪？

（2）我是18，我的因數(shù)在哪？

（3）我是5，我的因數(shù)在哪？

（4）我是1，我的因數(shù)在哪？

明確：1 是任何一個(gè)數(shù)的因數(shù)。

2.游戲2——找倍數(shù)。

（1）我是8，我的倍數(shù)在哪？

（2）我是4，我的倍數(shù)在哪？

明確：8 本身是4 的倍數(shù)，所有8 的倍數(shù)也一定是4 的倍數(shù)。

3.游戲3——找完美數(shù)。

師：還記得課前我們說到的完美數(shù)嗎？

出示完美數(shù)概念：6 的因數(shù)有1、2、3、6，這幾個(gè)因數(shù)之間的關(guān)系是1+2+3=6。像6 這樣的數(shù)叫作完全數(shù)（也叫完美數(shù)）。

要求：看看自己的號碼是不是完美數(shù)。

師：關(guān)于完美數(shù)，還有很多等著大家去研究呢。課后同學(xué)們可以通過查資料等方式試著完成這張研究報(bào)告。

【思考：好玩是學(xué)生的天性。課尾設(shè)計(jì)游戲任務(wù)，以比賽的形式輕松愉快地進(jìn)行知識鞏固。讓學(xué)生站一站，不僅能經(jīng)歷知識再認(rèn)識的過程，而且還頗具趣味性。學(xué)生在站的過程中，能更直觀觀察到數(shù)越來越小，但是“1”號始終站著，便自然得出“1”是任何一個(gè)數(shù)的因數(shù)，很好地將因數(shù)概念進(jìn)行了外延。最后一個(gè)任務(wù)設(shè)計(jì)是判斷自己的號碼是否是完美數(shù)。在學(xué)生的心里都希望自己的號碼是一個(gè)完美數(shù)，會帶著期待去列舉因數(shù)，體現(xiàn)了操作的主動性。同時(shí)也和課首的任務(wù)進(jìn)行呼應(yīng)，使整節(jié)課更加完整?！?/p>