勿讓優化變成窄化
——以《替換的策略》教學為例

戴 俊

課堂教學中，在對解題方法多樣化探索的基礎上進行思路優化，是激活、打開、凝練學生思維的既定路徑，這種優化不應以是否簡便、是否易于學生掌握等作為對思路取舍的唯一標準。以《替換的策略》一課教學為例，優化的過程中應尊重和鼓勵學生的創新思維，著重發現每一種方法背后的數學思維，暢通學生的思路，嚴密學生的思維邏輯性，這樣的教學才更加深刻、更加高遠、更加指向人的發展。

一、緣起：課堂總結后的嘀咕

《替換的策略》是蘇教版六年級的內容，這部分內容主要包含倍數關系和相差關系的兩類替換。對于倍數關系的替換，教學預設往往是：通過替換將兩種量轉化成一種量后，總和不變。那實際情況果真如此嗎？

在一次公開課教學中，對于例題“把720 毫升果汁倒入6 個小杯和1 個大杯，正好都倒滿。小杯的容量是大杯的。大杯、小杯的容量各是多少毫升？”教師引導學生用兩種方法進行解決：一種思路是將大杯換成小杯，即“6小杯和1 大杯，共720 毫升”替換成“6 小杯和3 小杯，共9 小杯是720 毫升”；另一種思路是將小杯換成大杯，即替換成“2 大杯和1大杯，共3 大杯是720 毫升”。“這兩種方法有什么相同的地方？”教師進行總結：“只要把兩種量替換成一種量，替換以后的和還是720 毫升，它們的和是不變的。”

課至此處，這位教師帶領學生經歷了替換的過程，學生也對兩個量是倍數關系替換的方法有了充分的體驗，課堂總結出替換后和不變這一規律看似非常必然和順暢。

但就在此時，卻有一位學生在下面嘀咕著表示異議：“老師，我覺得不一定，如果將兩邊都乘3，就變成了9 大杯等于2160 毫升，這也是將兩種量替換成一種量，但是和卻發生了變化。”

這位學生的觀點讓大家感到很詫異，在隨后教師引導學生比較哪種方法更容易掌握的“優化”過程中，這位學生提出的兩邊同時擴大的方法也被“替代”了，后來再也沒有被用到或提起。

二、厘清：替換的形式并不唯一

課已了，思未散。課堂中那位學生的嘀咕沒有隨著課堂的結束而終止, 一直在聽課教師的耳邊縈繞。

1．兩邊乘相同的數不是替換嗎？

從上面我們可以更清楚地看出，等式左邊6 小杯乘3，轉化成了6 大杯，等式左邊的1 大杯乘3，轉化成了3 大杯，相加得到共有9 大杯；等式右邊720 毫升乘3 得到了2160 毫升。根據“9 大杯＝2160 毫升”，就可以得出大杯和小杯的容量各是多少毫升。

進一步分析我們可以得出：如果存在x=n×y 這一等量關系，對于x＋y=a,我們常用的方法是在等式值不變的情況下，將x 用n×y 替換，原來式子就轉化成了n×y＋y=a,即（n＋1）×y=a，得出y=a÷（n＋1）。

另外一種方法，只要將y 乘n 替換成x,原來的式子就轉化成了（x＋y）×n=a×n,得到x×n＋y×n=a×n，即x×n＋x=a×n，得出x=a×n÷（n＋1）。

學生的觀點無疑是正確的。只不過，這種兩邊同時擴大的方法，卻使和發生了變化。

2． 為何教師更傾向于教學“和不變”的替換？

在“6 小杯+1 大杯＝720 毫升”這個關系式中，存在著小杯、大杯和總和三種量。第一種方法，即替換后和不變的思路中，只要將其中的6 小杯換成2 大杯，或者將1 大杯換成3 小杯，另外的兩種量無需進行變換。

用第二種方法解決這個問題，需要根據“等式的性質”，將等式的兩邊同時乘3，“6 小杯、1 大杯、720 毫升”這幾個量都要進行變換。同時，對于“6 小杯×3”的結果，不等于18 小杯，而是轉換成了6 大杯，對于學生來說，這也是很大的思維跳躍。對于解題正確率的追求，無形之中增加了執教者對學生使用這種方法的憂慮。

于是乎，在只替換一部分與需要轉化三個量，在部分替換與整體轉換的較量、權衡中，我們往往偏向于第一種方法的教學，第二種方法被忽略甚至是被回避，被第一種方法“替換”的現象也就不足為奇了。

三、重建：在知識脈絡的前沿后續之上展開

華羅庚說過：“新的數學方法和概念，常常比解決數學問題本身更重要。”當我們站在學科知識發生、發現、發展的軌跡上來看替換的教學，第二種方法絕不可以用不簡便、不常用來搪塞學生。

首先，在五年級的教學中，對于“等式兩邊同時乘一個相同的非零數，等式依然成立”這一等式的性質，學生在相關的問題解決中萌生出了一定的應用意識和能力。當出現“6 小杯＋1 大杯=720毫升”，用兩邊同時乘進行轉換這一方法必然會出現在學生數學思維的菜單中，這絕不是偶然迸發出的一道火花，而是其思維發展的一種可能。其次，在學生的后繼學習中將接觸到方程組，利用等式的性質進行消元將成為解決此類問題的基本方法。這種方法在六年級學生中出現，雖然“意料之外”，但亦是“情理之中”，教師應有“這可能又是一個良好的教學契機”的資源意識，要對“意外”進行靈活利用，即時開發，要提供學生展示屬于自己思維方式和解題策略的機會，提供給學生解釋和評價自己思維結果的時空。作為教師，不應漠視學生思維發展的這顆種子，甚至以優化的名義帶領學生將其摒棄，這樣將窄化學生的思維與思想。正如盧梭所說：“兒童是有他特有的看法、想法和感情的。如果用成人的看法、想法和感情去代替他們的看法、想法和感情，那簡直是最愚蠢的事情。”

教師不應在課堂中借優化的名義而將方法唯一化甚至是絕對化。課堂不應是解決數學問題的“獨唱”，而應是面向學生適應其終身發展和社會發展需要的關鍵能力和必備品格的“交響”。這必然考量到教師對兒童觀、教學觀、課堂觀、發展觀等本質問題的理解程度。蘇霍姆林斯基說：“學生的注意力就像一只極易受驚的小鳥，當你走近時，它馬上會飛走；當你抓住它并把它關起來時，以后就別想再聽到優美的歌喉。”尊重學生的每一次嘗試，激活學生的每一次探索，傾聽學生的每一次實踐……教師與學生同在一個“教學場”中，教師就有可能真正聽到學生那優美的“歌唱”，師生也有可能會實現真正的“同頻共長”，這才是課程優化、教法優化、思維優化、素養優化……趨近的結果。