概率論在生活中的應用舉例

常會敏

（國家開放大學 應用數學學院，北京 100039）

概率論的起源與賭博有關，著名的“分賭金”問題就是概率論的萌芽發展。由于概率論豐富的內容和研究對象的廣泛性，使得它逐漸滲入很多相關領域。近年來，隨著科學技術的迅猛發展，概率論已經在經濟、教育、心理學等方面發揮著至關重要的作用，也在日常生活中影響著我們的決策。

一、賭博與概率論

【案例】2018年，金立手機品牌創始人劉立榮親口承認在塞班島參與賭博，從金立“借用”了資金，輸了大概“十幾個億”，直接導致金立集團資金斷裂。同年11月，金立申請破產重組。賭博可能不是導致金立破產的根本原因，可卻毀掉了一個人的大好前途，讓劉立榮人格破產。

概率論中有一個著名的賭徒輸光定理：在“公平”的賭博中，任一個擁有有限賭本的賭徒，只要長期賭下去，必然有一天會輸光，即“賭久必輸”。下面從概率論的角度給出嚴密的解釋。

假設賭徒的初始資金為n（任何一個賭徒，不論多么富有，n總是一個有限值），每賭一次或贏或輸，資金分別變為n＋1或者n-1，輸或者贏的概率都為0.5。設P(n)表示從n開始一直賭下去，資金變為0的概率，顯然有P(0)=1，并且容易得到遞推關系

（1）式變形可得關系式

我們假設P(1)=a(0≤a≤ 1)，由（2）式知

P(2)=2a-1,P（3）=3a-2,…,P(n)=n(a-1)+1

由概率的性質可知P(n)=n(a -1)+1≥0對于任意大的n都成立，故a接近于1。對于任意數n，P(n)也接近于1。

因此，無論一個人多么富有，即使以0.5的勝率參與賭博，如果長期賭下去，必然有一天會輸光。每個人都應該遠離賭博，杜絕賭博惡習，潔身自好。

二、彩票與概率論

【案例】2010年開始，上海的徐某喜歡上了買彩票。剛開始，他購買彩票尚能量力而行，運氣好還中過獎，這讓他感覺買彩票既好玩又能賺錢，逐漸上癮，每次出手經常是兩三萬元買彩票。徐某就這樣沉迷于買彩票六七年，前后花費600多萬元買彩票。可惜的是，他買得越多，“輸”得越多，結果搞得傾家蕩產、走投無路，在向彩票站老板借錢遭到拒絕后，竟當場潑灑酒精焚燒彩票機，觸犯法律。結果徐某被浦東新區人民法院以放火罪一審判處有期徒刑四年。

我國的彩票分為體育彩票和福利彩票兩種，是由國家統一發行的，目的是籌集社會公眾資金，資助福利、體育等社會公眾事業。[1]因而購買彩票應該本著娛樂的心態，為國家籌集資金，奉獻愛心，而不應該沉迷于彩票，靠彩票發家致富。一張彩票的中獎概率有多大呢？下面以雙色球為例，用概率論的知識計算彩票中獎的概率。

雙色球為兩區號碼投注，投注號碼由6個紅色球號碼和1個藍色球號碼組成，紅色球號碼從01—33中選擇，藍色球號碼從01—16中選擇。投注者所選單注投注號碼與當期開出中獎號碼相符的球色和個數確定中獎等級，假設中獎等級與相應的獎金按如下分布（見表1）。

表1 雙色球中獎等級與相應的獎金分布

設Pi表示中i等獎的概率（其中i=1,2,3,4,5,6），由概率論的知識得到

假設購買一張雙色球需要花費2元，設X表示購買一張雙色球所得利潤，則X可能的取值為1 000萬、50萬、3 000、200、10、5、-2（為了計算的方便，中獎時所得利潤沒有減去花費2元），則隨機變量X的分布列如下（見表2）。

表2 隨機變量X的分布列

因而購買一張彩票所得利潤的期望

即每購買一張彩票，平均收益是負值。

因而購買彩票要有平和的心態，千萬不能被一等獎的巨額獎金沖昏頭腦，甚至不惜借錢購買大量彩票，最終只能導致與長期賭博有同樣的下場。

三、保險與概率論

【案例】王先生是一位身材魁梧的東北漢子，靠自己的努力在北京扎根買房，還組建了一個幸福的家庭。為抵御小家可能遭遇的風險，2010年，王先生在某保險公司為自己投保了終身男性重大疾病險保額10萬，同時購買了提前給付重大疾病保險，保額40萬。2018年底，王先生感覺上腹脹痛，起初以為是慢性胃炎發作，并未重視，但癥狀逐漸加重，疼痛難忍，于是王先生去某醫院檢查，經醫生詳細檢查后確診為“原發性肝癌”。王先生得知病情后，及時聯系保險公司的服務人員，申請理賠并遞交相關材料，最終保險公司支付王先生保險費共計50萬元。

保險，是現代出現頻率比較高的一個詞匯，與我們的生活息息相關，例如汽車保險。保險最大的意義是，用最小的成本進行風險轉移，從而保障生活中小概率事件的產生，以降低損失等。如果是發生頻率高且損失大的事件，一般情況下保費會很高，甚至保險公司會拒絕承保。我國的保險行業是一個盈利機構，且存在巨大的利潤，2019年第一季度保險行業整體盈利763億。究其原因，就是成功的運用了小概率事件原理。下面通過一個例子看保險公司如何盈利。[2]

某一保險公司，有2 500個同一年齡層的相同社會階層的人參加保險，在一年內，每個人死亡的概率為0.002.每個參加保險的人在1月1日支付12元保險費，如果他在這一年內死亡，家屬可以從公司領取保險費2 000元，求此保險公司虧本的概率。

分析：該保險公司一年內的收入為2 500×12=30 000元，假定投保的人一年內死亡x人，則公司應賠付的錢為 2 000x，因此當 2 000x＞30 000，即x＞15時，該公司會虧本。已知x～B(2 500,0.002)，求的是概率P(x＞5)。

由泊松定理：對于二項分布B(n,pn)，若當n→ +∞時，n pn→λ（固定常數），則，當n很大而p很小（通常要求p＜0.1），np大小適中（通常≤ 5）時，二項分布的概率函數近似等于泊松分布的概率函數。

解：假定參加保險的人一年內死亡x人，x＞15時，該公司會虧本。已知x～B(2 500,0.002)，由泊松定理，

“保險公司賠錢”是一個小概率事件。事實上，該公司在本年獲利小于10 000元的概率是0.014，即正常情況下，該公司獲利不會少于10 000元。

四、相互寶與概率論

2018年10月16日，由螞蟻保險和信美聯合推出相互保險新產品——相互寶。截至2019年5月，已有超過6 000萬人加入了相互寶計劃。相互寶具有如下特點：門檻低，0元加入；可隨時退出；覆蓋全，可覆蓋100種重癥疾病；額度高。如果成員生病，最高可獲得30萬的互助金；分攤費用少。一人生病，大家分攤，2019年分攤費188元封頂。相互寶每月14日、28日為分攤日，根據加入的人數和患病的人數決定分攤金額的多少，下面通過一個例子感受相互寶的強大作用。

假設相互寶中成員人數為5 000萬，公示100個出險案例，按最高賠付金額100×30萬=3 000萬元，加上協議中規定的10%管理費即300萬元，那么在分攤日，就是5 000萬人平攤3 300萬元，人均分攤3 300÷5 000=0.66元。相互寶一年分攤費用預估在100—200元之間。

對于一個健康的人來說，雖然得100種重癥疾病中的某種疾病是一個小概率事件，但也有可能不幸發生。相互寶每月的分攤費用很低，正是這種“抱團取暖”的思路，低分攤、（相對）高賠付，因而不斷有成員自愿加入相互寶。

五、結束語

概率論知識起源于生活，反過來又指導和影響著我們的生活。充分利用概率論知識與生活的緊密聯系，結合生活中的有關案例，有助于我們的日常教學。將有趣且與知識點相關的例子應用于課堂教學，能激發學生的學習興趣，[3]培養學生善于思考、分析問題和解決問題的能力，也有助于學生數學建模能力的構建，以期為社會培養更多應用型的數學人才。