基于均方根容積卡爾曼的δ-GLMB多目標跟蹤算法

母曉慧 楊風暴 劉 哲 陶曉偉 張雅玲

(中北大學信息與通信工程學院 山西 太原 030051)

0 引 言

由于戰場環境的復雜性、傳感器觀測的干擾性、目標的強機動性等，非線性高雜波密度環境下的多目標跟蹤已成為國內外學者的研究熱點。目前，基于隨機有限集(Random Finite Set，RFS)理論[1]的多目標跟蹤濾波方法可有效避免數據關聯產生的組合爆炸問題，其中以δ-廣義標簽多伯努利濾波器(δ-Generalized Labeled Multi-Bernoulli Filter,δ-GLMB)為代表的算法不僅能夠估計目標狀態與數目、區分目標跟蹤的軌跡[2]，而且可在低信噪比環境下有效跟蹤多目標，從而克服經典RFS濾波算法[3—6]數據關聯帶來的組合爆炸問題及不能估計目標軌跡的缺陷。

多目標多伯努利算法在濾波過程中存在集合積分運算，難以求得解析解的問題，因此當前實現該算法的途徑主要有兩類：(1) 序列蒙特卡洛(Sequential Monte Carlo,SMC)，該實現方法可解決非線性場景下的多目標跟蹤問題，但由于采樣粒子數多和粒子退化，造成濾波器計算復雜度高，難以對目標進行快速跟蹤；(2) 高斯混合(Gaussian Mixture,GM)，該實現計算復雜度相對較低，但其適用于線性高斯環境下的多目標跟蹤問題[7]。

針對上述問題，文獻[8]分別提出非線性系統下多模型多伯努利(MM-MB)濾波器的容積卡爾曼高斯實現和基于均方根容積卡爾曼高斯實現方法，增強了算法的數值穩定性和魯棒性。文獻[9]提出箱粒子δ-GLMB濾波算法，在非線性條件下目標跟蹤精度得到有效提高。文獻[10]引入區間分析理論，給出了一種雜波未知的非線性條件下基于箱粒子濾波的勢平衡多目標多伯努利濾波算法，既保證了目標精度又大幅度提高了算法的執行效率。文獻[11]將GM-δ-GLMB濾波算法與積分卡爾曼非線性濾波器(Quadrature Kalman Filter,QKF)相結合，為δ-GLMB濾波算法在非線性場景中的應用提供了一種新的實現方法，但其在非線性高雜波密度環境下其跟蹤精度有所下降。侯利明等[11]利用擴展卡爾曼(Extended Kalman Filter,EKF)與GM-δ-GLMB濾波器相結合的方法，在弱非線性環境下取得了較好的跟蹤效果，但當系統非線性較強時，EKF會導致模型描述誤差增大[12]，致使EKF-GM-δ-GLMB的濾波精度下降。因此，提出無跡卡爾曼(Unscented Kalman Filter,UKF)[13]與GM-δ-GLMB濾波器相結合的方法，通過Sigma點計算多目標密度函數的均值和方差，能夠克服EKF線性近似帶來的巨大誤差，但當系統維數超過三維時，UKF存在協方差矩陣非正定問題，導致UKF-GM-δ-GLMB濾波精度急劇下降[14]。上述濾波算法能夠在一定程度上解決非線性環境下的目標跟蹤問題，但對于雜波密度高的環境，其目標跟蹤精度下降甚至發散。

因此，本文將非線性濾波算法均方根容積卡爾曼濾波(Square-rooted Cubature Kalman Filter,SCKF)[14]與GM-δ-GLMB相結合，解決非線性高雜波密度環境下的多目標跟蹤問題。該算法使用帶標簽的隨機有限集描述多機動目標的位置和速度等狀態，對每個目標用互不相同的標簽進行區分，并通過三階球面-徑向容積準則選取一組等權的容積(Cubature)點集。采用誤差協方差的平方根形式進行遞推，利用容積點集求取多目標密度函數的均值和協方差矩陣，對δ-GLMB高斯項進行預測與更新，從多目標狀態后驗概率密度中估計單目標的位置與速度，根據目標的標簽實現目標軌跡跟蹤，提高濾波算法非線性逼近性能。為了驗證該算法的有效性和可行性，通過不同高雜波密度條件下的仿真實驗，將所提算法的濾波精度與EKF-GM-δ-GLMB和UKF-GM-δ-GLMB進行較詳細的對比。本文算法總體框圖如圖1所示。

圖1 本文算法總體框圖

1 背景理論

1.1 標準δ-GLMB濾波器

假設標準δ-GLMB濾波器多目標密度先驗分布如式(1)所示的δ-GLMB形式。

(1)

(2)

根據Chapman-Kolmogorov預測和貝葉斯濾波準則，多目標預測密度及后驗密度仍然為δ-GLMB形式[6]，δ-GLMB既能估計多目標狀態估計，又能預測跟蹤目標的運動軌跡，有效跟蹤多目標。δ-GLMB濾波過程包括預測與更新兩個步驟。

1) 預測：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

2) 更新：

多目標預測密度為δ-GLMB分布，則多目標后驗密度仍是δ-GLMB分布：

δI+(L(X))[p(ξ,θ)(·|Z)]X

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：目標軌跡-量測的映射關系為θ：L→Z={0,1,…,|Z|},0表示漏檢。假設k+1時刻傳感器獲得m個量測，量測集合為Z={z1,z2,…,zm}，則更新軌跡標簽集合關聯歷史為ξ=(θ1,…,θk,θk+1)。所有映射關系θ的集合Θ稱為關聯映射空間。Θ(I)表示定義域為I的Θ子集。pD(x,l)為檢測概率，g(z|x,l)是目標(x,l)生成量測的似然函數值，κ(·)為量測過程中的雜波密度函數值。

1.2 δ-GLMB濾波器的高斯混合(GM)實現

從式(6)和式(12)中可看出，δ-GLMB濾波器在預測與更新步驟中存在有限集積分運算而難以求得解析解的問題，為此文獻[7]提出了該算法在線性高斯模型下的高斯混合(GM)實現過程，即利用高斯項加權求和的方式代替用于傳遞的伯努利參數的過程。

(15)

GM-δ-GLMB濾波算法實現具體如下：

1) 預測：

預測多目標密度π+(X+)如式(3)所示，其高斯混合實現如下：

(16)

(17)

(18)

2) 更新：

假設k時刻的預測多目標密度在新的關聯歷史條件ξ=(θ1,…,θk,θk+1)下單目標分布密度函數為：

(19)

(20)

高斯分量剪枝與合并：刪除生存概率低于其最低門限的伯努利分量，對保留下來的分量所對應的高斯分量進行剪枝和合并，剔除權重低的高斯分量，合并距離相近的高斯分量。

多目標狀態提取與軌跡估計：利用最大后驗估計(MAP)從勢分布中估計出多目標數目，然后從與估計目標數相同的假設中選取權重最大假設的多目標均值和標簽，分別作為估計目標狀態及軌跡。

2 基于SCKF的GM-δ-GLMB算法

GM-δ-GLMB濾波器在線性高斯模型下具有閉式解析解，在非線性系統模型下不能有效跟蹤，但將其與非線性濾波器結合可以解決非線性模型下的多目標跟蹤問題。

在非線性模型下，假設單個目標運動與量測方程是非線性的，即:

(21)

式中：k為觀測時刻；xk為k時刻目標的狀態向量；zk為k時刻傳感器的觀測向量；f(·)和h(·)分別為已知的非線性狀態轉移函數和非線性觀測函數；uk-1和vk分別為相互獨立的過程噪聲和觀測噪聲，服從均值為0、協方差矩陣分別為Qk-1、Rk的高斯分布。

在非線性模型系統下，本文采用基于SCKF的GM-δ-GLMB實現方法。已知在k-1時刻誤差協方差的平方根為Sk-1|k-1，記為Sk-1|k-1=Tria(A)，表示對矩陣A的QR分解，Tria(·)是矩陣的一種三角化運算，且Sk-1|k-1為下三角陣。SCKF基于三階球面-徑向容積準則選取容積點，獲得如下容積點及權重：

(22)

(23)

1) 預測：

(1) 對式(16)組成的目標軌跡中的第j個高斯項的協方差矩陣進行Cholesky分解：

(24)

(25)

ωj=1/(2n)

(26)

(3) 計算經非線性狀態方程傳播后容積點的值：

(27)

(4) 估計狀態預測值：

(28)

(5) 估計預測誤差協方差矩陣的平方根值：

(29)

2) 更新：

量測更新當前時刻的觀測，計算預測粒子狀態的均值及其狀態協方差矩陣；

(1) 計算容積點：

(30)

(2) 計算經量測非線性函數傳播后的容積點：

(31)

(3) 計算量測預測值：

(32)

(4) 計算新息協方差的平方根值：

(33)

(34)

(5) 計算互協方差矩陣：

(35)

(36)

(6) 計算卡爾曼增益：

(37)

(7) 更新狀態均值：

(38)

(8) 更新協方差矩陣的均方根：

(39)

3 仿真實驗

3.1 仿真場景設置及參數設定

表1 6個機動目標的初始狀態及出現消亡時間

圖2 目標真實軌跡

本文在非線性模型系統下參考文獻[15-16]中的目標運動模型、轉彎模型CT，其狀態轉移方程為：

(40)

其系統非線性量測方程為：

(41)

雜波模型服從強度為κk=λVu(z)的泊松RFS，其中V表示傳感器監視區域的觀測面積；u(·)表示該監視區域的均勻概率分布函數，λ為雜波密度。仿真實驗在MATLAB R2016a環境下進行，處理器為Intel Core i7-7700,運行內存為8 GB，本文進行300次蒙特卡洛仿真實驗來驗證所提算法的有效性。

3.2 實驗結果與分析

仿真1固定雜波密度環境下實驗結果分析。

圖3為本文所提算法在雜波密度為λ=1.5×10-6m-2時的目標濾波結果圖，x軸和y軸分別為二維坐標平面內的x位置和y位置。本文算法在x軸和y軸方向上對機動目標的跟蹤效果如圖4所示，從圖中可得知各目標出現和消亡的時間及運動狀態。圖3、圖4中濾波結果與目標真實軌跡幾乎重合，因此本文算法能夠準確地估計目標的運動軌跡，對目標進行準確跟蹤。

圖3 目標濾波結果

圖4 本文算法對目標狀態估計圖

本文選用最優子模式分配(Optimal sub-pattern assignment,OSPA)[17]距離作為評價多目標跟蹤算法性能的準則指標，OSPA距離越大該算法的綜合精度越差。其定義為：

(42)

式中：X、Y為任意子集，且維數分別為m、n，距離敏感性參數p表征距離誤差，水平調節數c表征集合勢誤差。本實驗選取參數c=100,p=1。圖5為3種算法的勢估計及其誤差對比圖，圖6為OSPA距離誤差對比圖。

(a) 勢估計

圖6 OSPA距離對比圖

在圖5(a)可以看出，λ=1.5×10-6m-2時，三種算法都可以隨著時間的變化較準確地估計出目標數目，圖5(b)中三種不同算法對目標數量的估計均出現一定程度的偏差。其中UKF-GM-δ-GLMB在目標出現消亡時即t=66 s和80 s時，反應速度延遲時間最長，對目標數目的估計出現了明顯的偏差，EKF-GM-δ-GLMB次之，本文算法延遲時間最短，更能有效地估計目標數目。在t=10 s、20 s、40 s、66 s、80 s時目標數目發生變化，所以三種算法的勢估計誤差均增大。圖6中在開始時三種算法的OSPA距離都很大，在后來變小并趨于穩定。在66 s之前三種算法的OSPA距離相近，此后本文所提算法略低于其他兩種算法，證明此算法的跟蹤效果更好。

出現上述現象是因為UKF-GM-δ-GLMB實現時的濾波參數值一般需要先驗知識，針對復雜和高狀態維數的多目標跟蹤問題難以有效解決。EKF-GM-δ-GLMB是因為其適用于弱非線性環境，當非線性程度較高時，容易出現濾波發散問題，導致跟蹤精度下滑。本文算法是基于三階球面-徑向容積準則選取一組等權的容積點集，得到的參數更加準確，可實現較高精度的目標跟蹤。

仿真2不同高雜波密度環境下實驗結果分析。

為了進一步驗證算法跟蹤性能，在整個跟蹤周期圖7及圖8分別給出了本文所提算法與UKF-GM-δ-GLMB算法、EKF-GM-δ-GLMB算法在5個高雜波密度λ=(4.0,4.5,5.0,5.5,6.0)×10-6m-2的OSPA距離對比圖及勢估計誤差對比圖。

圖7 勢估計及其誤差對比圖

圖8 OSPA距離對比圖

根據圖7和圖8，可得到以下結果：

(1) 當雜波密度增大時，三種算法的勢估計誤差和OSPA距離均會相應增大。

(2) 在某一雜波密度下，與UKF-GM-δ-GLMB算法與EKF-GM-δ-GLMB算法相比，本文算法的勢估計誤差要低得多，平均降低了18.8%、24.6%。

(3) 在某一雜波密度下，本文算法的OSPA距離也比其他兩種算法要低，平均降低了1.6%、3.6%。

綜上所述，當不同高雜波密度環境下，本文所提算法的勢估計誤差和OSPA距離最小，跟蹤精度最高。

4 結 語

本文提出了基于SCKF的GM-δ-GLMB實現算法，在非線性高雜波密度系統下，該算法可以準確地估計機動目標的運動狀態與軌跡，有效提高目標跟蹤精度。與UKF-GM-δ-GLMB、EKF-GM-δ-GLMB算法進行實驗對比，本文算法的OSPA距離最小且其勢估計最準確，證明其跟蹤精度最高。本文算法在非線性模型系統下具有較高的跟蹤精度，下一步將致力于將其用于強機動目標、擴展目標和群目標等較為復雜的多目標跟蹤問題。