錐b-度量空間中非線性壓縮自映射對(duì)的一致點(diǎn)新結(jié)果

王忠謙

（江蘇第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210013）

Jungck首先研究度量空間中弱相容自映射對(duì)的一致點(diǎn)及其應(yīng)用[1-2]，2007年Huang等提出錐度量空間的概念[3]，是度量空間的重要推廣。此后，許多學(xué)者先后在錐度量空間中得到相應(yīng)的弱相容自映射對(duì)的一致點(diǎn)存在與唯一性結(jié)果[4-6]。Hussian等結(jié)合b-度量的性質(zhì)，提出錐b-度量空間的概念，是b-度量空間與錐度量空間的重要推廣[7]。而后，多位學(xué)者分別在錐b-度量空間中建立了一些映射的不動(dòng)點(diǎn)與重合點(diǎn)定理[8-10]。但上述結(jié)果都是在一般廣義壓縮條件小于1的情況下討論的，目前尚無對(duì)壓縮條件大于1情形的研究。基于這一點(diǎn)，本研究的主要工作是在容許壓縮條件不小于1的情況下，在錐b-度量空間中建立了一個(gè)弱相容非線性壓縮自映射對(duì)的一致點(diǎn)和重合不動(dòng)點(diǎn)的存在性與唯一性定理，并舉例說明本研究的結(jié)果是對(duì)已有文獻(xiàn)[3,4,8,10,11]中相應(yīng)存在性和唯一性結(jié)果的改進(jìn)和補(bǔ)充。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)E是一個(gè)實(shí)的Banach空間。如果E中一個(gè)子集P滿足下列條件，則稱P為E中的一個(gè)錐:

（a）P是閉的、非空的且P ≠{θ}；

（b）對(duì)任意的a,b ∈?+,x,y ∈P有ax + by ∈P；

（c）P ∩(-P) ={θ}。對(duì)于給定的E 中錐P，定義關(guān)于P 的偏序?yàn)?x ≤y ?y - x ∈P[3]。如果存在K ＞0，當(dāng)θ ≤x ≤y 時(shí)，有‖ x ‖≤K‖ y ‖成立，則稱錐P為正規(guī)的。如果int P ≠?，錐P稱為體錐。

下文中，總是假設(shè)E是一個(gè)實(shí)的Banach空間，P是E中的一個(gè)體錐，≤是關(guān)于P的偏序。

定義1［7］設(shè)X ≠?，s ∈[1,+ ∞)給定，如果映射d:X × X →E 滿足下列條件，則稱d 是X 上的一個(gè)錐b-度量，(X,d)是一個(gè)錐b-度量空間:

（d1）對(duì)任意的x,y ∈X，有d(x,y) ≥θ，并且d(x,y) = θ當(dāng)且僅當(dāng)x = y；

（d2）對(duì)任意的x,y ∈X，有d(x,y) = d(y,x)；

（d3）對(duì)任意的x,y,z ∈X，有d(x,y) ≤s[d(x,z) + d(z,y)]。

如果s= 1，則稱d是X上的一個(gè)錐度量，(X,d)是一個(gè)錐度量空間［3］。

定義2[7]設(shè)(X,d)是一個(gè)錐b-度量空間，x ∈X，{xn}?X。

（1）如果對(duì)任意的c ∈E，θ ?c，存在N ∈?，使得d(xn,x) ?c(?n ＞N)，則稱{xn}收斂于x，記為xn= x或者xn→x。

（2）如果對(duì)任意的c ∈E，θ ?c，存在N ∈?，使得d(xn,xm)?c(?n,m ＞N)，則稱{xn}是一個(gè)Cauchy列。

（3）如果每一個(gè)X中的Cauchy列都收斂于X，則稱(X,d)是完備的錐b-度量空間。

引理1[7]設(shè)(X,d)是一個(gè)錐b-度量空間，x ∈X，{xn}?X，則

（2）{xn}是一個(gè)Cauchy列的充要條件是d(xn,xn+m)→θ(n,m →∞)。

定義4[11]設(shè)f、g是X中兩個(gè)自映射，如果對(duì)一些x ∈X，有w= fx = gx，則稱x是f、g的一致點(diǎn)，并稱w是f、g在一致處的點(diǎn)。

定義5[4]如果錐b-度量空間(X,d)中的兩個(gè)自映射f、g在它的一致點(diǎn)處是可交換的，則稱f、g為弱相容的，這意味著如果fx = gx，則gfx = fgx。

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)(X,d)是錐b-度量空間且系數(shù)s ∈[1,+ ∞)，如果映射f、g:X →X 滿足f(X) ?g(X)，且f(X)或者g(X)是X的完備子空間，對(duì)任意的x,y ∈X，有

這里φi:X × X →[0,+ ∞)，i =1，2，3，4，5。如果φi滿足條件

（i）對(duì)任意的x,y ∈X，有φ1(x,y) + φ4(x,y) + φ5(x,y) ＜1；

（iii）a ＞0，b ＞0且A ≥0，B ≥0；

則f、g在X中有一致點(diǎn)，且一致處的點(diǎn)唯一。如果f、g是弱相容的，則f、g有唯一的重合不動(dòng)點(diǎn)。

證明 任取x0∈X，據(jù)條件可知，存在x1∈X，使得fx0= gx1。由歸納的方法構(gòu)造X中序列{xn}使得fxn=gxn+1。

對(duì)于n =0,1,2，…，根據(jù)式（1）及定義1，能夠得到

和

由條件（ii），能夠得出

和

由以上可得

由此可得

表明對(duì)任意的n ＞N1，m ∈?*有d(gxn+m,gxn)?c，即{gxn}是X中的一個(gè)Cauchy列。

根據(jù)條件，f(X)或者g(X)是X 的完備子空間，可得fxn-1= gxn→y*∈f(X)或者g(X)，并且存在x*∈X使得gx*= y*。n =0，1，2，…，根據(jù)式（1）及條件（ii），有

{gxn}是X中的一個(gè)Cauchy列，根據(jù)引理1及上式，有

下面說明f、g在X中一致處的點(diǎn)的唯一性。利用反證法，假設(shè)還存在另一點(diǎn)x*∈X使得gx*= fx*。于是，由式（1），可得

由條件（i），可得d(gx*,gx*)= θ，即gx*= gx*。

進(jìn)一步，如果f、g是弱相容的且u = fx = gx，則fu = fgx = gfx = gu，說明fu = gu也是f、g在X中一致處的點(diǎn)。再據(jù)上述證明的一致處的點(diǎn)的唯一性可得u = fu = gu，即u 是f、g 的重合不動(dòng)點(diǎn)。另外，如果-u= f -u=g-u，則-u是f、g在X中一致處的點(diǎn)，由唯一性可知u = -u。證畢。

任何一個(gè)非線性壓縮都包括一個(gè)線性壓縮作為其特例。據(jù)定理1不難得到下述推論。

定理1的結(jié)論仍然成立。

注2 設(shè)推論1中映射g是恒等映射，可證明映射f的不動(dòng)點(diǎn)的存在唯一性定理。錐b-度量空間在s= 1的情況下，推論1中壓縮系數(shù)變?yōu)?/p>

3 例子與結(jié)論

例1 設(shè)X ={1,2,3}，E = ?2，P ={(x,y):x ≥0,y ≥0}。映 射d:X × X →P 定 義 為d(1,1) = d(2,2) =d(3,3) =(0,0)，d(1,2) = d(2,1) = d(1,3) = d(3,1) =(1,1)，d(3,2)= d(2,3) =(2,2)，則(X,d)是完備的錐b-度量空間且系數(shù)s= 1。再定義兩個(gè)映射f、g：X →X為

進(jìn)一步，當(dāng)x = 2、y = 3時(shí)，有

當(dāng)x = 3、y = 2時(shí)，有

當(dāng)x = 1、y = 2時(shí)，有

當(dāng)x = 2、y = 1時(shí)，有

根據(jù)d(f(1),f(1)) = d(f(2),f(2))= d(f(3),f(3)) = d(f(1),f(3) = d(f(3),f(1)))=(0,0)，易得推論1 的條件都滿足，所以f、g有唯一的一致處的點(diǎn)，且x = 1是一致點(diǎn)。由于f、g是弱相容的，說明x = 1是f、g的唯一重合不動(dòng)點(diǎn)。但對(duì)于任何ki≥0(i = 1,2,3,4,5)且k1+ k2+ k3+ k4+ k5＜1，有當(dāng)k3≤k2時(shí)，

當(dāng)k3＞k2時(shí)，

說明f、g不滿足文獻(xiàn)[3-4,10]中一般廣義壓縮條件k1+ k2+ k3+ k4+ k5＜1。

4 結(jié)束語

本研究證明了當(dāng)壓縮條件k1+ k2+ k3+ k4+ k5＞1 時(shí)，在錐b-度量空間下，非線性壓縮自映射對(duì)的一致點(diǎn)和重合不動(dòng)點(diǎn)的存在性與唯一性定理，并舉例說明本研究的結(jié)果改進(jìn)和補(bǔ)充了已有文獻(xiàn)中相關(guān)的存在性和唯一性定理。