初中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題中滲透數(shù)學(xué)建模思想的策略研究

鞏玉英 田承恩

摘要：“數(shù)學(xué)建模”是解決中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的常見方法，其主要是指利用抽象思維、簡化手段、假設(shè)條件和變量關(guān)系引進等數(shù)學(xué)解題思維，用數(shù)學(xué)方式對數(shù)學(xué)實際問題進行表達，通過模型方法求解的解題方式。本文重點針對初中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題中滲透數(shù)學(xué)建模思想的策略展開研究，并以“魯教版”初中數(shù)學(xué)為例，筆者結(jié)合相關(guān)實例提出自己的思考與啟發(fā)，希望通過以圖建模，培養(yǎng)學(xué)生的審題能力；通過類比轉(zhuǎn)化建模，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識；針對“最近發(fā)展區(qū)”建模，促進學(xué)生思維的發(fā)展，有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高分析問題和解決問題的能力，提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)成效。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用問題；數(shù)學(xué)建模思想

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）11-0155

核心素養(yǎng)教育視角下，初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)也應(yīng)因時而變、因材施教，尤其對于正處于初中階段的學(xué)生而言，在數(shù)學(xué)教學(xué)中更要有意識地激發(fā)和培育學(xué)生的學(xué)習(xí)意識，因此教師在課堂教學(xué)時的側(cè)重點不應(yīng)只是過度關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績，而是通過對數(shù)學(xué)建模思想的有效滲透和應(yīng)用，鼓勵學(xué)生在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有效應(yīng)用建模思想，借助數(shù)學(xué)模型有效解決數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維意識，提高學(xué)習(xí)效能。正如著名數(shù)學(xué)家懷特海曾說：“數(shù)學(xué)就是對于模式的研究和運用。”誠然，數(shù)學(xué)建模思想是貫穿于初中數(shù)學(xué)、高中數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種重要學(xué)習(xí)思維和方法，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師要多引導(dǎo)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)以及用數(shù)學(xué)，這對于提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維意識，引導(dǎo)學(xué)生由“應(yīng)試教育”轉(zhuǎn)向“素質(zhì)教育”具有重要意義。

一、以圖建模，培養(yǎng)學(xué)生審題能力

在初中數(shù)學(xué)教材中應(yīng)用問題較多，其中包含了很多數(shù)學(xué)信息，而題干涉及的文字也繁多，這在無形為對學(xué)生的信息篩選能力和題干信息的閱讀和理解能力增加了很多困難。對于一些相對復(fù)雜的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，學(xué)生需要對相關(guān)隱含信息內(nèi)容進行轉(zhuǎn)換，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)符號或已知的數(shù)學(xué)變量，因此建立數(shù)學(xué)模型尤為重要。學(xué)生在解決這類數(shù)學(xué)應(yīng)用問題時，可通過圖標建模在圖表或圖形中獲取相關(guān)的解題數(shù)據(jù)信息，也可借助數(shù)學(xué)圖表、相關(guān)數(shù)學(xué)圖形等轉(zhuǎn)化變量之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)量關(guān)系列等式。這樣一方面能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，另一方面還可增強學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)問題已知、未知數(shù)據(jù)的處理能力。

例如，在講解初中數(shù)學(xué)中的行程應(yīng)用問題時，教師可通過畫線段的方式引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形找數(shù)量關(guān)系。如甲、乙二人同時從相距18公里的西村和東村出發(fā)，已知甲每小時行走14公里，并在2h后可以追上乙，那么請問乙每小時行走多少公里？對于這類題型，先假設(shè)乙每小時行走x公里，然后可以圖建模：

根據(jù)圖1中數(shù)學(xué)模型，即可得到等式關(guān)系：18+2x=28，x即等于6公里。

二、類比轉(zhuǎn)化建模，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識

與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)與學(xué)生的日常生活實際聯(lián)系最為緊密，而在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題教學(xué)實踐過程中，關(guān)鍵和重點是要培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，即通過分析問題和解決問題培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識，使其自然而然地學(xué)會將數(shù)學(xué)知識與日常生活實際相聯(lián)系。但有些初中數(shù)學(xué)知識點復(fù)雜，無法直接建立模型，針對此類應(yīng)用問題需要引導(dǎo)學(xué)生多角度思考，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神以及數(shù)學(xué)處理方法，通過類比轉(zhuǎn)化建模，讓學(xué)生學(xué)會在數(shù)學(xué)解題過程中學(xué)以致用。

例如，在一元一次方程的教學(xué)過程中，有如下應(yīng)用問題：A和B每天晚上在學(xué)校的環(huán)形跑道中跑步鍛煉身體，已知該環(huán)形跑道的長度為400米，其中，A和B平均每秒鐘分別跑5m和7.5m。有一天晚上，B對A說：“我比你速度快，這次你可以先跑25m，然后我們再一同開始跑。”那么請問：1. A和B同時同向出發(fā)，兩人需要多長時間才能相遇？2.在2點和3點之間，若時針和分針重合，此時會是什么時刻？3.在2點和3點之間，請問時針和分針若要成直角或平角，需在什么時刻？

此類數(shù)學(xué)應(yīng)用題考查的是學(xué)生對一元一次方程的應(yīng)用及數(shù)學(xué)變式關(guān)系的應(yīng)用，而在初中數(shù)學(xué)中，這兩種基本問題可以實現(xiàn)類比轉(zhuǎn)化，只要引導(dǎo)學(xué)生建立如下圖所示的數(shù)學(xué)模型，即可讓學(xué)生更加直觀地找出題目中所隱含的數(shù)學(xué)等量關(guān)系，也可直接將鐘表中的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為生活中的追擊問題，這種解題思路難度適中，更加貼近學(xué)生的日常生活實際，通過建模解題可增強學(xué)生的自信心，幫助學(xué)生樹立數(shù)學(xué)思維意識，使其在解題中由被動變主動，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

三、針對“最近發(fā)展區(qū)”建模，促進學(xué)生思維發(fā)展

近年來，在新課改背景下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)更加強調(diào)對學(xué)生核心素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，尤其是初中數(shù)學(xué)，其知識點多、內(nèi)容繁雜，學(xué)生理解起來相對比較困難。以初中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)為例，教師通過數(shù)學(xué)建模，即可通過解題方法創(chuàng)新，針對“最近發(fā)展區(qū)”建模，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，創(chuàng)新解題意識。

比如，某工廠有22名工人生產(chǎn)螺母和螺釘，其中每個工人每天平均可以生產(chǎn)2000個螺母和1200個螺釘，已知1螺釘可配2螺母，為了使螺釘和螺母正好完全配套，請問該工廠每天至少應(yīng)該分配多少名工人生產(chǎn)螺釘和螺母？

很顯然，此類問題也屬于應(yīng)用型數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)題干內(nèi)容來源于學(xué)生的日常實際，所以在解決這類數(shù)學(xué)問題時，教師要打破常規(guī)，不能盲從課本知識，尋找學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，根據(jù)學(xué)生興趣建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生聯(lián)系實際，引導(dǎo)學(xué)生列表格、畫示意圖等對相關(guān)數(shù)學(xué)問題關(guān)系進行表征，根據(jù)不同類型的應(yīng)用題，建立不同的數(shù)學(xué)模型。在此題中，可讓學(xué)生假設(shè)該工廠每天生產(chǎn)螺釘至少需要x人，由此可根據(jù)上述已知題意列出如下表格模型。

通過上述圖表建模方法，可啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生多去深入思考與題目內(nèi)容相關(guān)的概念、條件或結(jié)論等，以圖表建模優(yōu)化數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解題策略。

對于初中學(xué)生而言，在自主探究與實踐中能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，在體驗中加深對知識的印象，從而獲得學(xué)習(xí)的成就感。尤其是在初中數(shù)學(xué)教材中，應(yīng)用問題包含數(shù)學(xué)信息文字繁多，無形中會對學(xué)生閱讀和理解能力產(chǎn)生影響。但毋庸置疑，數(shù)學(xué)是一門與學(xué)生日常生活聯(lián)系最為緊密的基礎(chǔ)學(xué)科，其更加強調(diào)學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力與數(shù)學(xué)邏輯思維。而數(shù)學(xué)建模思想是一種有效的解題策略，建模的本質(zhì)與核心在于引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)方法和數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題技巧，通過不同方式建立合適的數(shù)學(xué)模型，有助于培養(yǎng)學(xué)生的想象力、觀察力和創(chuàng)新創(chuàng)造能力，塑造學(xué)生的核心素養(yǎng)。因此，在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)中，教師的根本任務(wù)就是要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的建模思維能力，通過分析、解決問題引導(dǎo)學(xué)生善于“用數(shù)學(xué)”，并自然而然地學(xué)會轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題。只有積極改變策略，踐行新課改教育指導(dǎo)精神，更加注重對學(xué)生核心素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，才能指導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)建模和解題方法創(chuàng)新培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想，創(chuàng)新解題意識。

通過以上案例分析及論述可以看出，數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)不是一蹴而就，應(yīng)在平時點點滴滴的學(xué)習(xí)中進行長期的滲透和積累。因此，在教學(xué)實踐過程中，教師要善于對學(xué)生學(xué)習(xí)技能進行培養(yǎng)，積極轉(zhuǎn)變教學(xué)方法和思路，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，多從生活實際出發(fā)，多觀察和總結(jié)身邊的數(shù)學(xué)，將實際問題與數(shù)學(xué)問題相結(jié)合，在解決數(shù)學(xué)問題時，要從多角度入手，學(xué)會運用數(shù)學(xué)模型分析問題與思考問題，借助數(shù)學(xué)模型將具體問題簡單化，真正提高解題能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，促進學(xué)生多方面數(shù)學(xué)能力的提升，使學(xué)生可以學(xué)習(xí)和運用有用的數(shù)學(xué)知識，產(chǎn)生巨大效益，并使學(xué)生終身受益。

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（作者單位：山東省淄博市桓臺縣城南學(xué)校256400）