例談數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的解題方法

上官志薇

【摘 要】 抽象函數(shù)是高考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，原因在于抽象函數(shù)題目所給條件是有限的，只有函數(shù)的部分特點(diǎn)。但學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本初等函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容和函數(shù)特性，因此，只要掌握方法，我們就可以將抽象函數(shù)問題進(jìn)行分類，逐個攻破。

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué);抽象函數(shù);解題策略

一、理解符號，求定義域

定義域是學(xué)習(xí)和了解一個函數(shù)基礎(chǔ)的、最先應(yīng)該考慮的內(nèi)容。因此，遇到抽象函數(shù)，我們首先應(yīng)該理解題目中符號的意思，同時與學(xué)習(xí)過的基本初等函數(shù)進(jìn)行歸納和對比，最終才能得出結(jié)論。

抽象函數(shù)求定義域的問題一般有兩種形式：①已知f[g（x）]定義域，求f（x）定義域;②已知f（x）定義域，求f[g（x）]定義域。同時，這兩種形式的本質(zhì)也并沒有變化。我們可以將f（x）看作f[h（x）]，那么兩種問題就都可以轉(zhuǎn)化為已知f[g（x）]定義域，求f[h（x）]定義域的問題。我給大家舉了一個具體的例子：已知函數(shù)f（x2）的定義域是[1，2]，求函數(shù)f（x）的定義域。解題時，首先進(jìn)行變式，那么g（x）=x2，h（x）=x;接著進(jìn)行分析，已知函數(shù)f（x2）的定義域是[1，2]，那么g（x）的范圍就是[1，4]，由g（x）與h（x）取值范圍相同可得，h（x）的取值范圍同樣是[1，4]，最終得出x的取值范圍是[1，4]，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇1，4]。接下來，為了便于學(xué)生理解，我又出了一個稍顯復(fù)雜的題讓大家解決：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，2]，求函數(shù)f[log2（3-x）]的定義域。看來大家把我之前對于兩種形式本質(zhì)的解讀了解得很徹底，很快就給出了解決方案。首先進(jìn)行變式，那么g（x）=x，h（x）=log2（3-x）;接著進(jìn)行分析，已知函數(shù)f（x）的定義域是[-1，2]，那么g（x）的范圍就是[-1，2]，由g（x）與h（x）的取值范圍相同可得，log2（3-x）的范圍就是[-1，2]，最終進(jìn)行求解可以得出x的取值范圍是[-1，]，即函數(shù)f[log2（3-x）]的定義域?yàn)閇-1，]。

求解定義域是抽象函數(shù)問題中最容易理解的，但這并不代表對學(xué)生能力的要求有所降低。相反，學(xué)生更要理解定義域和取值范圍之間的轉(zhuǎn)化及具體定義，才能夠正確、靈活地解題。

二、正確賦值，求解值域

對于抽象函數(shù)問題來說，題中的已知條件一定是足夠充分的。求解值域與求解單調(diào)性等問題不同，它對于臨界值的要求更高，并不僅止步于趨勢。因此，學(xué)生一定要學(xué)會根據(jù)條件和函數(shù)特點(diǎn)正確賦值，才能求解值域。

如在給同學(xué)們講解如何求抽象函數(shù)值域的問題時，我著重強(qiáng)調(diào)了根據(jù)其特點(diǎn)進(jìn)行正確賦值的重要性。但是說起來容易做起來難，大家還是不太清楚賦值的具體用法。因此，我拿出一個典型例題為大家講解：已知函數(shù)f（x）定義于實(shí)數(shù)集上，對于任意實(shí)數(shù)x、y，f（x+y）=f（x）f（y）總成立;且存在x1≠x2使得f（x1）≠f（x2），求函數(shù)f（x）的值域。首先，我們可以發(fā)現(xiàn)，令x=y=0，可得f（0）=f2（0），那么f（0）=0或f（0）=1。接下來進(jìn)行驗(yàn)證，若f（0）=0，則f（x+0）=f（x）f（0）=0，即f（x）=0在實(shí)數(shù)集內(nèi)成立，不存在x1≠x2使得f（x1）≠f（x2），不符合題意，因此f（0）=1。同時，根據(jù)題中“對于任意實(shí)數(shù)x、y，f（x+y）=f（x）f（y）總成立”可得f（x）=f（+）=f（）·f（）=f2（）≥0。接下來我們就只需要判斷在實(shí)數(shù)集中，是否存在x0使得f（x0）=0即可。假設(shè)是存在的，那么f（0）=f（x0-x0）=f（x0）·f（-x0）=0，不符合我們一開始對于f（0）=1的求解，因此，很顯然，x0是不存在的。最終可得f（x）>0，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，+∞）。

由此可以看出，對于像0、1等比較特殊的數(shù)字來說，一定要先根據(jù)運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行計算，才能為后面的求解打開思路。同時，大家還得注意，賦值并不僅局限于“值”，合理賦“符”和“字母”也是求解的關(guān)鍵。

三、轉(zhuǎn)化變量，求解析式

對于函數(shù)來說，因變量隨著自變量的改變而變化。因此，在已知抽象函數(shù)解析式特征的情況下，我們可以通過轉(zhuǎn)化變量進(jìn)行代數(shù)式相消，從而簡化表達(dá)形式，最終得到函數(shù)的解析式。

對于求解析式的題型，題中可能給出分?jǐn)?shù)、指數(shù)和對數(shù)等形式。在講解這一部分內(nèi)容時，我拿一個分?jǐn)?shù)形式的題為例，向?qū)W生詳述了通過轉(zhuǎn)化變量求解析式的具體用法及過程：設(shè)對滿足x≠0、x≠1的所有實(shí)數(shù)x，函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（）=1+x，求函數(shù)f（x）的解析式。顯然，我們現(xiàn)在的目的就是通過轉(zhuǎn)化變量來簡化其表達(dá)形式。首先，令題中所給條件f（x）+f（）=1+x為式①，將x=代入式①得到式②f（）+f（-）=。這時候，式②中引入了新的函數(shù)形式f（-），因此，我們將x=-代入式①得到式③f（-）+f（x）=。最后，要消去除f（x）外的函數(shù)形式，通過①-②+③并簡化得到最終結(jié)果：f（x）=。不難看出，求抽象函數(shù)解析式的核心在于消去多余變量。這就需要學(xué)生注意觀察解析式的特點(diǎn)并進(jìn)行分析、合理轉(zhuǎn)化，才能進(jìn)一步計算并且最終求得函數(shù)解析式。

很顯然，如果不清楚轉(zhuǎn)化變量的方法，學(xué)生求解抽象函數(shù)解析式時將會沒有方向。同時，每一道題目的轉(zhuǎn)化方式也不可能完全相同，因此，教師一定要鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生多多計算和練習(xí)，才能熟練掌握。

函數(shù)的性質(zhì)和表達(dá)式本就是多變的，同樣的，抽象函數(shù)的變通性也很強(qiáng)。但是萬變不離其宗，抽象函數(shù)的解決都離不開定義域、值域和表達(dá)式這幾個方面。因此，只要大家仔細(xì)琢磨、勤加練習(xí)，就一定能夠?qū)W好這個知識點(diǎn)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]唐海燕.高考數(shù)學(xué)抽象函數(shù)解題方法研究[J].新校園，2017.

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