多點(diǎn)思維，巧妙拓展

袁文娟

美國著名的數(shù)學(xué)教育家G·波利亞曾經(jīng)說過：“觀察可能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)，觀察將提示某種規(guī)則、模式或定律。”在解決一些典型的高考數(shù)學(xué)真題時，我們要深入觀察，多思維，巧變條件，妙拓展，往往會有意想不到的收獲。下面圍繞一道函數(shù)問題中的參數(shù)代數(shù)式的值的求解展開分析，以深刻體會一下深入觀察的魅力。

【問題】（2018屆江蘇省天一中學(xué)高三適應(yīng)模擬·14）若實(shí)數(shù)a，b滿足，則a+b的值為? ? ? ? ? ? 。

分析：本題以分段函數(shù)的形式給出兩個相應(yīng)參數(shù)a，b所滿足的不同函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系式巧妙轉(zhuǎn)化。如何建立起兩參數(shù)a、b之間的關(guān)系，是破解問題的關(guān)鍵所在。通過對本題的深入觀察與研究，發(fā)現(xiàn)可以從多個角度切入，采用多種方法來分析與求解。

思維角度1：（函數(shù)性質(zhì)法）通過構(gòu)造函數(shù)f（x）=4x+x，結(jié)合指數(shù)式與對數(shù)式的運(yùn)算轉(zhuǎn)化，得到f（-b）=f（a）=2，利用函數(shù)f（x）=4x+x是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，得到a=-b，進(jìn)而確定a+b的值。

解法1：設(shè)函數(shù)f（x）=4x+x，則有f（a）=2，f（-b）=+-b=+-b=·42-b+-b=·+-b=·2log2（2b+1）+-b=（2b+1）+-b=2，

可得f（a）=f（-b）=2，

而函數(shù)f（x）=4x+x是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，可知a=-b，整理可得a+b=。

思維角度2：（參數(shù)轉(zhuǎn)化法）結(jié)合對數(shù)關(guān)系式b+=2的轉(zhuǎn)化，得到b++log4（b+）=2，引入?yún)?shù)c=log4（b+），得到4c+c=2，利用函數(shù)f（x）=4x+x是R上的單調(diào)遞增函數(shù)得到2-a=b+，進(jìn)而確定a+b的值。

解法2：由b+log2=2，可得b+log4（2b+1）=2，即b++log4（b+）=2，

令c=log4（b+），可得b+=4c，則有4c+c=2，

而函數(shù)f（x）=4x+x是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，可知a=c，即a=log4（b+），

可得4a=b+，即2-a=b+，整理可得a+b=2-=。

點(diǎn)評與拓展：其實(shí)，通過對以上典型數(shù)學(xué)問題的解決并深入觀察，根據(jù)條件加以進(jìn)一步拓展，可以進(jìn)行深化與變式，從中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并解決問題，真正達(dá)到“解一題拓一類，拓一類通一片”的效果，避免“題海戰(zhàn)術(shù)”，從而真正培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)，提升解題思維與解題能力，以不變應(yīng)萬變。

變式方向1：（變換常數(shù)）改變兩個相應(yīng)關(guān)系式中的常數(shù)為1，通過不同常數(shù)來進(jìn)行變式

【變式1】若實(shí)數(shù)a，b滿足，則a+b的值為

。

解析：由b+=1，可得b+log4（2b+1）=1，即b++log4（b+）=1，

令c=log4（b+），可得b+=4c，則有4c+c=1，

而函數(shù)f（x）=4x+x是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，可知a=c，即a=log4（b+），

可得4a=b+，即1-a=b+，整理可得a+b=1-=。

變式方向2：（變換函數(shù)）改變兩個相應(yīng)關(guān)系式中的函數(shù)關(guān)系，通過不同函數(shù)數(shù)來進(jìn)行變式

【變式2】若實(shí)數(shù)a，b滿足，則a+b的值為? ? ? ? ? ? ?。

解析：由b+log3=1，可得b+log9（3b+1.5）=1，即b++log9（b+）=1，

令c=log9（b+），可得b+=9c，則有9c+c=1，

而函數(shù)f（x）=9x+x是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，可知a=c，即a=log9（b+），

可得9a=b+，即1-a=b+，整理可得a+b=1-=。

變式方向3：（變換一般性結(jié)論）改變兩個相應(yīng)關(guān)系式中的常數(shù)為一般參數(shù)，通過常數(shù)變參數(shù)來進(jìn)行變式

【變式3】若實(shí)數(shù)a，b滿足，則a+b的值

為? ? ? ? ? ? ? ? 。

解析：由b+=m，可得b+log4（2b+1）=m，即b++log4（b+）=m，

令c=log4（b+），可得b+=4c，則有4c+c=m，

而函數(shù)f（x）=4x+x是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，可知a=c，即a=log4（b+），

可得4a=b+，即m-a=b+，整理可得a+b=m-。

以上只是從兩個特殊角度——改變函數(shù)的基本性質(zhì)以及改變函數(shù)的關(guān)系式系數(shù)來進(jìn)行拓展變形，其實(shí)，還可以從其他方面入手來進(jìn)一步拓展與應(yīng)用。美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說過：問題是數(shù)學(xué)的心臟。對學(xué)生來說，如何確定解題思維，把問題歸結(jié)到同一個熟悉的“問題”來處理是關(guān)鍵，也就是解題方法與技巧，以不變應(yīng)萬變，熟練解決問題。