多吊點升降系統中鋼絲繩張力的計算方法研究

戴志榮

(甘肅工大舞臺技術工程有限公司，蘭州 730050)

1 引言

鋼絲繩被廣泛應用于舞臺機械中，如吊桿機中桿體的吊掛，對開大幕機中幕布的牽引，飛行機構中演員或道具的牽引，升降平臺的提升，等等，偶爾也用于導向裝置。在計算鋼絲繩的張力時，由于吊點位置分布不同，懸吊部件本身結構不同，以及所受外載的不均衡性，在不同鋼絲繩間往往存在著張力大小差異。工程計算中對吊桿機等多吊點吊掛設備的單根鋼絲繩載荷分配，通常沒有考慮載荷不平衡系數，而是按均攤計算[1]。即使考慮鋼絲繩張力的差異，也是用平均張力乘以不平衡系數進行粗略估算。而不平衡系數的選擇范圍較大(1.2～4.0)，這對在設計中計算校核鋼絲繩的安全系數存在著一定的難度。如果設計經驗不足，分配系數使用不當，就會存在一定的安全隱患。鑒于此，論文對舞臺機械中鋼絲繩的使用方法進行歸納總結，對常見使用形式中鋼絲繩的張力采用“力矩分配法”進行準確計算，以便在設計中對鋼絲繩的選用及吊點的分布有所幫助。

2 多吊點桿狀結構

舞臺機械中吊掛設備的載荷接受件通常為桿狀結構，包括單桿、雙桿(平面桁架)及三桿(空間桁架)等，其懸吊及升降通常采用多根垂直的鋼絲繩傳遞載荷。由于桿體在豎直平面內剛度較好，因此在計算鋼絲繩的張力時可視為連續梁。另外，吊掛的平面框架結構(如防火隔離幕的幕體、側燈光吊架等)同樣可視為連續梁。上述結構通常采用三根以上鋼絲繩懸吊牽引，在計算每根鋼絲繩的張力時，用靜力平衡條件無法求解，因屬于超靜定結構。在面對此類問題時，力矩分配法是行之有效的解決方法。

2.1 力矩分配法

用一般的力法或位移法分析超靜定結構時，都要建立和解算線性方程組。如果未知數目較多，計算相當繁瑣。力矩分配法是在位移法基礎上派生出來的一種求解超靜定結構的簡便方法，是一種漸近的計算方法，不需解方程即可直接求出桿端彎矩，主要適用于連續梁和結點無側移剛架的內力計算[2]。由于計算簡便，力矩分配法在建筑結構設計計算中應用很廣，特別是對非結構專業設計人員更具優越性。

2.1.1 基本概念

(1)線剛度i

桿件橫截面的抗彎剛度EI與桿件的長度l之比，即i：

(2)轉動剛度S

轉動剛度表示靠近結點的桿件端對該結點轉動的反抗能力，等于桿端產生單位轉角需要施加的力矩，即S=M/θ。施力端只能發生轉角，不能發生線位移。桿件的轉動剛度與遠端支承方式的關系如圖1所示。

(a) (b)

(c) (d)圖1 桿件的轉動剛度與遠端支承方式的關系

(a)當遠端B為固定支座時，在A點處，AB桿的轉動剛度SAB=4i；

(b)當遠端B為鉸支座時，在A點處，AB桿的轉動剛度SAB=3i；

(c)當遠端B為滑動支座時，在A點處，AB桿的轉動剛度SAB=i；

(d)當遠端B為自由端時，在A點處，AB桿的轉動剛度SAB=0。

連續梁和剛架的所有中間支座在計算轉動剛度時均視為固定支座。

(3)分配系數μ

同一結點A上各桿的分配系數與各桿遠端支承方式有關，如圖2所示。

(a) (b)圖2 同一結點上各桿的分配系數與遠端支承方式的關系

M=MAB+MAC+MAD

=SAB·θA+SAC·θA+SAD·θA

各桿A端所承擔的彎矩與各桿A端的轉動剛度成正比。

MAj=μAj·M

∑μAj=1

μAj稱為分配系數，如μAB表示桿AB在A端的分配系數。它表示AB桿的A端在結點諸桿中，承擔反抗外力矩的百分比，等于桿AB的轉動剛度與交于A點各桿的轉動剛度之和的比值。總之，加于結點A的外力矩，按各桿的分配系數分配于各桿的A端。

(4)傳遞系數C

傳遞系數表示當近端有轉角(即近端產生彎矩)時，遠端彎矩與近端彎矩的比值。因此一般可由近端彎矩乘以傳遞系數C得出遠端彎矩。

當遠端為固定的邊支座或非邊支座時C=1/2；

當遠端為鉸支邊支座時C=0；

當遠端為滑動支座時C=-1。

MBA=CAB·MAB

系數CAB稱為由A端至B端的傳遞系數。

結點A作用的外力矩M，按各桿的分配系數μ分配給各桿的近端；遠端彎矩等于近端彎矩乘以傳遞系數。

將每一對相鄰結點之間的桿件視為一根兩端支座為固定支座或一端固定一端鉸支的單跨梁，這樣的梁在各種外載荷作用下的桿端彎矩叫做固端彎矩。

兩端鉸支的單跨梁無固端彎矩，只有固定端才有固端彎矩，鉸支端的固端彎矩為零(單跨梁)。常見等截面單跨梁的固端彎矩見表1。

表1 等截面單跨梁的固端彎矩

(6)桿端彎矩M

力矩分配法解題過程中所指的桿端彎矩是指固端彎矩、分配彎矩及傳遞彎矩之和。

(7)近端和遠端：習慣上將發生轉動的桿端稱為近端，而桿件的另一端稱為遠端。

2.1.2 力矩分配法的計算模型

計算桿端彎矩的目的，是因為桿端彎矩一旦求出，則每相鄰結點之間的“單跨梁”將可以作為一根靜定的脫離體取出來進行該桿的內力分析。其上作用的載荷有外載荷，每一根桿端面上一般有一個剪力和一個彎矩，兩端共有兩個剪力和兩個彎矩。這兩個彎矩就是桿端彎矩，既然它們已經求出，那么余下的兩個剪力可由兩個靜力平衡方程解出。等截面單跨梁的固端彎矩，如表1所示。

2.1.3 力矩分配法的運算步驟

連續梁或剛架力矩分配法運算過程如下：

(a)求各桿件(梁或柱)的線剛度i、桿端(梁端或柱端)轉動剛度S和分配系數μ。

(d)將分配得到的彎矩視該結點各桿遠端支座特征決定是否向遠端傳遞。這種分配、傳遞將可能進行多次，但是工程實踐上只進行2～3個循環即可滿足設計的要求。

(e)將上面運算之后的與同一結點相連的每根桿件桿端的固端彎矩、分配彎矩、傳遞彎矩分別求代數和，即為各桿的桿端彎矩。與同一支座相連的各桿的桿端彎矩代數和必定為零，否則說明計算有錯，或尚需進一步分配、傳遞。

2.2 力矩分配法應用實例

某吊桿機的桿體長度L=24m，吊點數n=6，吊點間距l=4m，懸臂部分長度l′=2m，桿體自重G=1300N，外載Q=7500N(假設外載為均布載荷，而且桿體質量分布是均勻的，則線載荷q=(G+Q)/L=366.67N/m)，鋼絲繩的平均張力F=(G+Q)/n=1466.7N，計算每根鋼絲繩的張力。如圖3所示。

(a)載荷、撓曲線圖

計算過程：

(1)求分配系數

a.桿AB、BC、CD、DE、EF的線剛度均相等，i=EI/l。

b.轉動剛度：

SAG=SFH=0，SBA=SEF=3i，SAB=SBC=SCB=SCD=SDC

=SDE=SED=SFE=4i

c.分配系數：

μAG=μFH=0，μAB=μFE=1

μCB=μCD=μDC=μDE=0.5

d.校驗：

μAG+μAB=μBA+μBC=μCB+μCD

=μDC+μDE=μED+μEF=μFE+μFH=1

此梁的懸臂部分AG段及FH段為靜定部分，該部分的內力根據靜力平衡條件即可求出：

(3)分配并傳遞：先從不平衡力矩較大的結點A和結點F開始，可使收斂較快，先分配再傳遞；在分配結點B和結點E的彎矩時，應包含傳遞彎矩，且注意是“取代數和后反號”再分配；結點C和結點D同理，如表2所示。

表2 24m等截面五跨連續梁的力矩分配法

(4)豎向疊加求桿端彎矩

(5)求吊點力(即鋼絲繩張力)[3]

GA梁：RG=0

RH=0

將同一結點的兩個吊點分力相加，即為最終的吊點力，也就是各結點鋼絲繩的張力：

FA=∑RA，FB=∑RB

FC=∑RC，FD=∑RD

FE=∑RE，FF=∑RF

為了便于計算，用EXCEL的函數功能進行處理，結果如表2所示。從中可以看出：

FA=FF=1544.3N

FB=FE=1367.8N

FC=FD=1487.9N

若L=22m，G=1200N，其余條件不變，則懸臂部分長度l′=1m，線載荷q=(G+Q)/L=395.45N/m，鋼絲繩的平均張力F=(G+Q)/n=1450.0N。計算結果為：

FA=FF=1081.7N

FB=FE=1715.1N

FC=FD=1553.2N

若L=20m，G=1100N，其余條件不變，則懸臂部分長度l′=0m，線載荷q=(G+Q)/L=430.0N/m，鋼絲繩的平均張力F=(G+Q)/n=1433.3N。計算結果為：

FA=FF=677.9N

FB=FE=1951.8N

FC=FD=1670.3N

從上面的計算結果可以看出：無懸臂多跨連續梁的鋼絲繩張力懸殊很大，在偏載情況下更大，選擇合適的懸臂長度，對鋼絲繩張力的均衡分布起到重要的作用。

3 多吊點升降平臺結構

力矩分配法也可以用在多吊點升降平臺結構鋼絲繩張力的計算。

3.1 計算思路

1)根據重心及外載位置，用疊加法及力矩分配法先進行縱向分配，再根據平衡條件進行橫向分配。

3.2 應用實例

某秀場為了滿足其特定神話劇目的演出需要，要求演員及道具從臺口上方出場，以增強演出效果。因此需制作一長22m，寬6m，升降行程為12m的主舞臺升降平臺。其外載除3.0k·N/m2的均布載荷外，還有點載荷。臺面厚度不超過0.3m，同時要控制造價。

因升降臺跨度、行程較大，臺面厚度受限，經計算用四吊點很難滿足臺架自身重量及外載的要求，故采用六吊點鋼絲繩提升方案。

升降平臺用6根鋼絲繩牽引提升，平臺自重G=1.5k·N/m2，長度L=22m，寬度W=6m，外載均布載荷Q=3.0k·N/m2，點載荷P1=7.5k·N，P2=35k·N，P3=18k·N，方向均垂直向下。圖中a=4m，b=9m，c=5.5m，d=4m，e=5，f=2m，計算每根鋼絲繩的張力。如圖4所示。

圖4 多吊點平臺受力圖

計算過程：

(1)先用疊加法進行縱向分配：總載荷等于重力載荷(均布)、均布外載荷及點載荷P1、P2、P3的疊加。

(a)平臺受均布載荷(包括重力載荷及均布外載荷)時，根據表1可得：

(b)平臺受點載荷P1、P2、P3時，根據表1可得：

P1=0

(c)將以上兩項得到的結果分類相加即為總的固端彎矩，再用力矩分配法進行計算，之后用靜力平衡條件求出每對鋼絲繩的張力，結果如表3所示。

從表3可以看出：

P1=0

P1=0

P1=0

(2)再進行橫向分配(按權重)：

(a)令P1=0，P2=0，P3=0，則有

G=0

G=0

G=0

(b)令G=0，Q=0，則有

表3 平臺的力矩分配法

(c)根據(a)、(b)的結果及力矩平衡條件可得[4]：

=218.6k·N

RE=(RB+RE)-RB=202.3k·N

以上即為每根鋼絲繩最終的張力。

4 結論

力矩分配法是建立在結構力學基礎之上求解超靜定結構的一種簡便計算方法，只要適用條件符合，其計算結果完全有效。對于舞臺機械中多吊點設備這種平行力系的求解，用力矩分配法基本上可以得到滿足。從計算實例可以看出，力矩分配法容易掌握，計算過程也相對簡單。只有得出每根鋼絲繩張力的實際大小，才能正確選用鋼絲繩的規格，以保證設備在工作中的使用安全。同時，通過準確計算每根鋼絲繩的張力大小，對吊點的合理布置及受力件的結構優化設計起到一定的指導作用。

致謝：本文在寫作過程中得到魏發孔教授的悉心指導，在此表示衷心的感謝！