基于數學核心素養培養的解析幾何復習備考策略

盧瑞庚

高中數學解析幾何內容在近年高考中一直作為壓軸題出現，常常讓學生感到無從下手，究其原因，在于考生沒有真正把握此類內容的數學本質，致使解題思路受阻.在復習備考的關鍵階段，為了幫助教師化解解析幾何備考的諸多問題，筆者謹以此文與同行分享自己的思考與備考體會.

一、認識解析幾何的數學本質，明確考查方向

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱課標）明確指出：數學是研究數量關系和空間形式的一門科學.數學源于對現實世界的抽象，基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等，理解和表達現實世界中事物的本質、關系和規律;高中數學課程以學生的發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養;數學學科核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析，它們既相對獨立又相互交融，是一個有機的整體;高中數學教學應把握數學本質，以發展學生數學學科核心素養為導向.

綜觀高中數學的教學內容，大致包含14個知識板塊，各知識板塊之間相互銜接，形成高中數學知識的網絡體系，且各自在培養學科核心素養方面又有不同的側重.解析幾何作為14個知識板塊之一，其數學本質是用代數的方法研究曲線的性質，因此，它也是溝通代數與幾何的橋梁，堪稱數形結合的典范.解析幾何里的代數方法，主要包括方程方法和函數方法。方程方法主要是利用曲線交點問題聯立方程，消元后形成一元二次方程，再利用判別式、韋達定理等，通過消元來降低未知數的個數及次數，最終達成為問題求解的目的;函數方法主要是通過構建目標函數來研究函數的相關性質，包括定義域、值域、單調性、極值、最值等，最終達到求值或為范圍求解的目的.事實上，運用方程或函數的方法為問題求解的過程，就是運用代數方法研究直線與圓錐曲線的位置關系，用代數符號語言刻畫幾何關系，得出代數結論并給出幾何解釋的過程。以上學習過程，可以用來培養學生的數學抽象、邏輯推理和數學運算等學科核心素養.

解析幾何研究包含兩大任務：一是建立曲線的方程，二是利用方程研究曲線的性質.這也是高考命題的兩大考查方向.

建立曲線方程的考題，如2018年高考理科數學全國Ⅱ卷第19題——設拋物線[C：y2=4x]的焦點為F，過F且斜率為[k （k>0） ]的直線[l]與[C]交于A，B兩點，[AB]=8.（1）求[l]的方程;（2）求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程.該題兩問都是建立曲線方程，包括直線方程和圓的方程;所涉及的位置關系，一是直線[l]與拋物線C相交且已知弦長，二是圓與C有兩個交點且與C的準線相切.第一問通過聯立直線與拋物線方程，利用韋達定理代入弦長公式求出斜率，即可得出直線C的方程;第二問先求出線段AB的垂直平分線方程，再根據相切關系轉化為圓心到準線距離等于半徑，解方程組可得圓心坐標及半徑，最后寫出圓的標準方程.由以上求解過程可知，建立曲線方程的考題，本質上就是用代數方法去研究曲線的幾何性質.為這一類問題求解時，學生因為不能理解解析幾何的數學本質，數學抽象和邏輯推理能力有待發展，所以在思維層面就難以嫻熟地達成從數到形再到數的過程轉化，表現在解題中就是不能嫻熟地運用建立方程的諸多方法（待定系數法、直接法、相關點法）為問題求解.此外，學生的運算求解能力也不夠過關，帶字母運算在化簡的過程中經常丟三落四，這也反映出學生的數學運算核心素養有待發展.

利用方程研究曲線性質的考題，如2015年高考理科數學全國Ⅱ卷第20題——已知橢圓C：[9x2+y2=][m2（m>0）]，直線[l]不過原點[O]且不平行于坐標軸，[l]與[C]有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.（Ⅰ）證明：直線OM的斜率與[l]的斜率的乘積為定值;（Ⅱ）若[l]過點[（m3，m）]，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時[l]的斜率;若不能，說明理由.本題兩問中，第一問是研究兩直線斜率的乘積為定值，第二問是研究四邊形能否成為平行四邊形.無論問題是什么，解決的策略還是運用代數的方法，具體到本題中，就是運用方程的方法來運算、求證，運算過程涉及邏輯推理和數學運算核心素養.

二、基于問題，以核心素養培養為導向，合理安排每輪復習的內容和方法

高三復習備考的主導思想是基于問題，以核心素養培養為導向，切實提高學生的學科核心素養水平暨備考能力.通常而言，教師應根據考綱所列考查內容合理設置例題及變式題，對學生加強解題方法指導，讓學生在解題的過程中達成提升核心素養的目標.

通常情況下，高三備考需要依據考綱和全國卷近三年的試題及解題過程整理出每個知識板塊所要考查的主要問題，明確高考要考什么、怎么考，再畫出每一個知識板塊所要考查的問題中各輪復習要解決的具體問題關系圖和知識結構圖，以此確定各輪復習的重點復習內容.復習方法的選擇則應徹底摒棄知識本位，堅持核心素養導向，通過聚焦各知識板塊所要考查的具體問題，切實培養并有效提高學生的問題解決能力.第一輪復習應明確各板塊知識要用什么概念、原理、法則來解決哪些具體問題;教學中要緊扣教學目標，以高考真題為例研究、剖析所考查的問題實質，并根據核心素養的培養要求進行題組訓練;課堂目標檢測則由本課所講具體問題的變式題構成，板塊目標檢測以本板塊全部具體問題的變式題構成.第二輪復習主要是解決第一輪復習中存在的問題，在第一輪復習的具體問題和方法技能中精選小問題，聚焦核心素養考查目標進行題組練習.第三輪復習的重點則是解決第二輪復習中存在的問題，針對第二輪復習中篩選出來的小問題提煉解題的思想方法，核心素養導向更加突出.三輪復習始終基于問題，以核心素養培養為導向，環環相扣、層層深入，引導學生對所考查的問題進行抽絲剝繭，有效解決所要考查的本質問題.

分析近三年高考理科全國Ⅲ卷中的解析幾何試題（如圖1），可知該知識板塊所考查的問題主要是根據曲線的幾何特征或與其他直（曲）線的幾何關系，求該曲線其他幾何特征的量或數量關系.考查的本質是選擇幾條曲（直）線，其中一條含參數，從坐標平面上的特征點出發引出一條直線，選擇恰當的參數值，提出并解決與其中的線段或角有關的數量關系問題，或者求曲線（或直線）的幾何特征量.由此我們可以歸納出解析幾何第一輪復習所要解決的如下20個具體問題：（1）求直線中的[k，b];（2）求直線的方程;（3）求圓的圓心和半徑;（3）求圓的方程;（4）求直線與圓的位置關系;（5）求圓與圓的位置關系;（6）求橢圓的[a、b、c、e];（7）求橢圓的方程;（8）求拋物線的[p]、準線和頂點;（9）求拋物線的方程;（10）求雙曲線的漸近線和[a、b、c、e];（11）求雙曲線的方程;（12）根據定義求軌跡方程;（13）根據相關點法求軌跡方程;（14）根據待定系數法求軌跡方程;（15）求線段的長;（16）分析兩個角的大小關系;（17）求直線與曲線相切的問題;（18）求定點定值問題;（19）求參數取值范圍問題;（20）求證存在性問題.上述問題確定后，教師應以問題解決為出發點，配合相應的例題、變式題組織學生進行專題訓練，歸納出針對不同問題的一般解題思路和方法.基于問題組織第一輪復習，課堂目標檢測及板塊目標檢測亦須以核心素養培養為目標，通過問題變式題檢測學生是否掌握相關的解題方法，具備相應的解題能力.第二輪復習時，應針對第一輪復習過程中存在的問題進行再度歸納整理，提煉出更具針對性的問題，通常情況下包括以下四類問題：（1）曲線方程求法（如2017年）;（2）設問中幾何關系轉化為代數關系（每年都考）;（3）定點定值問題（2017年，2019年）;（4）定值，范圍，最值問題（2018年，2019年）.到第三輪復習時可再次提升，更加聚焦核心素養考查，無論是例題還是變式題，都要瞄準邏輯推理、數學抽象、數學運算三大核心素養進行組題訓練，讓學生對考題做到心中有數、方法對路.

[? 【2017年理科數學全國Ⅲ卷】20.已知拋物線C：[y2=2x]，過點（2，0）的直線[l]交[C]與[A，B]兩點，圓[M]是以線段[AB]為直徑的圓.

（1）證明：坐標原點[O]在圓[M]上;

（2）設圓[M]過點[P]（4，-2），求直線[l]與圓[M]的方程.

【2018年理科數學全國Ⅲ卷】20.已知斜率為[k]的直線[l]與橢圓[C：x24+y23=1]交于A，B兩點，線段AB的中點為[M（1，m）][（m>0）].

（1）證明：[k<-12];

（2）設[F]為[C]的右焦點，[P]為[C]上一點，且[FP+FA+FB=0].證明：[FA]，[FP]，[FB]成等差數列，并求該數列的公差.

【2019年理科數學全國Ⅲ卷】21.已知曲線[C：][y=x22，D]為直線[y=-12]上的動點，過[D]作[C]的兩條切線，切點分別為[A，B].

（1）證明：直線[AB]過定點;

（2）若以E（0，[52]）為圓心的圓與直線[AB]相切，且切點為線段[AB]的中點，求四邊形[ADBE]的面積. ]

三、解析幾何解題能力訓練及核心素養培養

（一）解析幾何題目中所蘊含的核心素養及相關能力獲得

1.著眼于數學抽象核心素養的培養，幫助學生獲得解析幾何研究的對象及思路.課標指出：數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養.主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征.數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學產生、發展、應用的過程中.解析幾何解題過程中的數學抽象，體現為透過題目中對數量關系的描述形成幾何圖形（題目本身一般不會給出圖形），通過在數與形之間的反復轉化形成解題思路，從而得到數學研究的對象，并用數學符號語言予以表征.正因為解析幾何中數學抽象的成分較重，才導致每屆高考考生在該題中平均得分最低.

2.著眼于邏輯推理核心素養的培養，幫助學生獲得解析幾何的研究精髓.課標指出：邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養.主要包括兩大類，一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.邏輯推理是得出數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質.考綱指出，邏輯推理的考查應貫穿全卷.解析幾何題目中的邏輯推理，主要是依據題目中體現出來的各種邏輯關系，以代數的形式，依據規則推導出命題和結論的過程.教師在復習中要特別注意加強解析幾何證明題訓練，讓學生真正學會用代數的形式進行推理，用數學的符號語言表達思維.

3.著眼于數學運算核心素養的培養，讓學生獲得嚴謹求實、一絲不茍的科學精神.課標指出：數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養，主要包括理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果等.數學運算是解決數學問題的基本手段.解析幾何題目中的數學運算一般都比較繁雜，不僅運算量大，而且運算中包含復雜的邏輯關系，學生在考場上往往因為時間不足而對它望而卻步.

（二）解析幾何解題能力訓練及核心素養培養

1.形成一套行之有效的解題模式.解析幾何的本質是用代數方法解決曲線問題，一般是直線與圓錐曲線相交產生的系列問題.基于數學抽象核心素養，可以歸納出如下解題模式：（1）先引入參數，如引入直線的斜率[k]（此時要注意討論[k]是否存在），再設直線方程.（2）直線方程與曲線方程聯立，得[y=kx+bf（x，y）=0]，消去[y]，得到[Ax2+Bx+C=0].此時先用判別式判斷根的個數，再用韋達定理[x1+x2=-BA，x1x2=CA].（3）將題目中的幾何條件轉化為[x1，x2]的關系式;（4）結合消元[x1+x2，x1x2]，化出[k]的關系式，形成以[k]為變量的目標函數，進而為問題求解.

以2017年理科數學全國Ⅲ卷第20題（如圖1）第一問的證明過程為例.（1）證明：①當[AB⊥x]軸時，將[x=2]代入[y2=2x]，得[y=±2].所以，坐標原點[O]在以[AB]為直徑的圓[M]上.②當[AB]不垂直于[x]軸時，設[AB]的方程為[y=k（x-2）]，A，B兩點的坐標分別為[A（x1，y1），B（x2，y2）].由[y2=2xy=k（x-2）]消去[y]，整理得[k2x2-（4k2+2）x+4k2=0.]于是[x1+x2=4k2+2k2x1x2=4]，[y1+y2=][k（x1+x2-4）=2k]，[y1y2=k（x1-2）（x2-2）=-4].進而得出[kOA·kOB=][y1y2x1x2=-1]，[OA⊥OB]，所以坐標原點[O]在以[AB]為直徑的圓[M]上.該題的解題過程需要注意以下幾點：（1）針對[k]的討論;（2）得到韋達定理后如何轉化，這是個難點，關鍵在于如何結合幾何條件消元，再把幾何關系轉化為代數關系;（3）由于解析幾何的計算“牽一發而動全身”，一個細節出錯會導致整個運算出錯，這就要求學生一定要有全局觀，探究最優的運算思路、方法和程序，盡量簡化運算，提高數學運算核心素養.選擇點的坐標、如何設立直線方程等都將直接影響計算的繁簡，進而影響計算的準確與否.

2.探索學生數學運算核心素養的培養策略.首先要放手給學生，留夠時間給學生，讓學生親自動手運算，充分暴露思維上的障礙，親身體驗運算過程中的艱難險阻，從中提升數學運算核心素養.其次可用更復雜、更高難度的競賽題訓練學生，比如圓錐曲線的競賽題思維含量高、運算量大，便是合適的訓練素材.筆者在實踐中發現，學生在做此類競賽題時思維更加活躍、解法更加靈活.

比如2019年全國高中數學聯賽A卷一試第10題：在平面直角坐標系[xOy]中，圓[Ω]與拋物線Γ：[y2=4x]恰有一個公共點，且圓[Ω]與[x]軸相切于Γ的焦點[F].求圓[Ω]的半徑.學生給出了兩種令人“驚艷”的解法.解法一（如圖2）巧妙利用了曲線系方程的特點，將問題化解，充分彰顯了學生的思維創新能力;解法二（如圖3）借助數學抽象，結合圖形，發現了特殊三角形這個解題關鍵，大大減少了運算量.

3.訓練學生用規范的數學符號語言表達思維，關注學生書寫的細節.解析幾何題是壓軸大題，用數學符號語言表達思維過程，用方程或不等式之間的轉化詮釋邏輯推理，要求學生思維嚴謹，步步為營，推理表達恰到好處，特別要注意以下過程如何用符號語言表達、轉化：（1）題目通常是把條件隱藏在直線與二次曲線相交形成的弦上，解題時往往要通過對弦端點坐標的設而不求、整體代換等，把條件轉移到目標函數中來，最終實現問題的解決.（2）解題時必須樹立方程思想，依次經歷直線與二次曲線方程的聯立、韋達定理、判別式消元，最終形成單變量函數.其間聯立方程消元化簡，一定要確保無誤;判別式、變量取值范圍容易遺漏;設立直線方程時要注意對斜率是否存在進行討論;等等.（3）當平面向量與圓錐曲線問題結合時，向量通常要轉化為坐標關系，用韋達定理進行消元轉化.

另外需要說明的是，在解析幾何解題過程中，建議不要使用一些不太常用的結論，即學生所謂的“黑科技”.比如在2018年理科數學全國Ⅲ卷中直接使用中點弦結論[k=b2x0a2y0]，在2019年理科數學全國Ⅲ卷中直接使用拋物線[y2=2px]上一點[（x0，y0）]的切線方程[y0y=][2p·x+x02]，這些都會被扣分.當然，如果這些“黑科技”出現在選擇填空題或競賽題中是可以的.因為解析幾何重推理，要展現知識的發生發展過程，對于那些不是從課本中歸納出來的性質、定理等，建議不要輕易使用.如果先推理證明了該結論，那么就可以使用了.

總之，高中數學解析幾何板塊復習備考，應通過對至少近三年高考真題的研究，提煉出此類內容考查的本質和具體問題，再聚焦核心素養的培養對學生加以系統訓練，便可切實攻克解析幾何的解題難關.

（責編 白聰敏）