高超聲速巡航氣動參數/軌跡聯合優化與算法比較

王開強，張柏楠，左 光，侯硯澤

高超聲速巡航氣動參數/軌跡聯合優化與算法比較

王開強，張柏楠，左 光，侯硯澤

（北京空間技術研制試驗中心，北京，100094）

針對高超聲速穩態巡航飛行的氣動參數/軌跡聯合優化問題，設計了嵌套形式的兩級優化器。其中，內層優化器針對巡航軌跡進行優化，優化算法選用序列二次規劃算法（Sequential Quadratic Programming，SQP）；外層優化器基于巡航軌跡的優化結果，對氣動參數進行優化，分別采用序列二次規劃算法、遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）和基于兩者的混合算法進行優化。對整個聯合優化問題進行了描述，對嵌套聯合優化的方法優勢和流程進行了說明。給出了嵌套優化器在內外2層的優化模型，包含設計變量、目標函數和約束條件。最后，進行了多組聯合優化仿真，得到了巡航航程隨升阻比提高的優化幅度曲線。同時，對不同外層優化算法下的優化全局性、計算效率等進行了對比分析，并結合各方法的優缺點，給出了實際優化問題中優化算法選用的建議。

高超聲速穩態巡航；氣動參數；巡航軌跡；聯合優化；嵌套兩級優化

0 引 言

高超聲速巡航飛行器具有更快的巡航飛行速度以及更高的巡航高度，有助于低成本地實現可重復的二級入軌以及天地往返飛行，近年來得到了廣泛的重視和研究。巡航飛行是整個飛行過程中的重要飛行階段，扮演很重要的角色。目前，美國X-43高超聲速飛行器已實現了馬赫數大于7的穩態巡航飛行[1,2]。

目前已有很多關于巡航軌跡優化的研究。Starkey等[3,4]對高超聲速乘波體飛行器的巡航軌跡進行了優化，其中應用了差分進化算法和Matlab優化工具箱。Wang等[5]結合采用直接打靶法、第2代直接搜索域法和序列二次規劃算法（Sequential Quadratic Programming，SQP），對高超聲速穩態巡航軌跡進行了多目標優化。Chen等[6]基于Matlab優化工具箱，分別以每千米的燃油消耗率和總燃油消耗量最小為優化目標，對高超聲速乘波體飛行器的穩態巡航、周期性巡航飛行軌跡進行了優化和對比。Kang等[7,8]設計了內外嵌套形式的兩級優化器，對高超聲速最優周期性巡航軌跡進行了優化。其中內層優化器采用SQP算法，針對巡航攻角的控制變量進行優化；外層優化器采用遺傳算法（Genetic Algorithm，GA），對巡航飛行的初值進行優化。

目前已有部分將軌跡、氣動相結合的優化研究。Bowcutt[9]基于多學科設計優化方法，開展了吸氣式高超聲速飛行器航程最大的優化研究，包含氣動、軌跡、控制等學科。Tsuchiya等[10]同樣將多學科優化方法應用于吸氣式高超聲速實驗飛行器的設計中，建立了外形幾何模型、氣動及代理模型、軌跡模型等多個學科模型，通過優化得到飛行器的最優外形和相應飛行軌跡。張紅文等[11]對高超聲速乘波體再入飛行器的外形/軌跡進行了一體化優化，其中首先給出一組離散的乘波體高寬比作為軌跡優化中的靜態參數，然后針對每個高寬比取值分別進行軌跡優化，最后從中挑選航程最優的軌跡及相應的乘波體高寬比作為最終優化解。

目前，在巡航軌跡優化研究中，均以固定的氣動參數作為輸入參數。而在將氣動優化、巡航軌跡優化相結合的部分研究中，軌跡的部分參數（例如巡航高度、馬赫數）已進行了預先設定，軌跡優化空間有限。或是氣動參數采用靜態參數的方式進行遍歷估計，沒有采用優化的手段，其優化效率和優化結果都受到一定限制。本文考慮到巡航飛行在整個任務過程中扮演的重要角色，通過氣動參數/軌跡的聯合優化，探討軌跡性能參數隨氣動參數優化幅度的變化關系，從而得到其對氣動參數優化方向的設計期望。由于在氣動參數和巡航軌跡兩部分均采用優化的方式，因此可以充分挖掘這兩部分的優化空間，同時為氣動外形設計和巡航軌跡設計提供更具意義的參考。

此外，在優化算法方面，SQP算法在軌跡優化領域應用較多，也出現了GA與SQP算法相結合的軌跡混合優化[8,12]。而氣動領域，GA的應用相對較多[13,14]。在一體化優化方面，已有部分將GA與SQP算法相結合的混合優化研究[15]。因此，本文的聯合優化中，分別采用SQP算法、GA和基于兩者的混合優化算法進行優化。對各方法的特點進行比較分析，并給出實際應用時優化算法選用建議。

1 優化問題與優化策略

1.1 聯合優化問題與方法

通常軌跡性能參數的提升希望飛行器的升阻比盡量增大，但是升阻比增加的同時會帶來飛行器氣動外形設計難度的增加。針對該優化設計矛盾，本文在氣動參數方面，設定了一組升阻比增量限值，通過氣動參數/軌跡聯合優化，探討巡航軌跡性能優化幅度與升阻比提升幅度的量化關系，為實際有關兩者的權衡協調設計提供參考。

聯合優化的具體優化思路為：以一定的氣動參數為基準參考，確定相應氣動參數優化允許的取值范圍；然后針對每個升阻比增量限值，在上述氣動參數范圍內，搜尋令某巡航軌跡性能指標達到最優時的氣動參數取值及相應的巡航飛行狀態，此時升阻比的增加幅度應不超過設定的增量限值；隨后對不同升阻比增量限制下的氣動參數和巡航軌跡的優化結果進行對比，得到巡航軌跡性能的優化幅度與升阻比提升幅度的量化關系。整個聯合優化實際上是內外嵌套形式的兩級優化。外層為氣動參數優化，內層為巡航軌跡優化。

對于內層的巡航軌跡優化，采用SQP算法，其處理非線性優化問題時具有很好的搜索效果和效率優勢，已廣泛應用于軌跡優化領域。對于外層的氣動參數優化，本文分別采用SQP算法、GA、和基于GA生成初值后再采用SQP算法的混合優化算法進行優化，對3種方法的優化全局性和計算效率進行對比。整個聯合優化流程如圖1所示。

圖1 氣動參數/軌跡聯合優化流程

采用內外嵌套形式的兩級聯合優化器，可以有針對性的對氣動參數、軌跡兩類設計變量進行優化，通過內外兩級優化器的共同尋優，搜尋聯合優化問題的最優解。而聯合優化中約束條件的滿足，則通過內、外層優化器有針對性的實現。相比于將氣動參數、軌跡參數混合在一起的一體化優化形式，該方法的優化規模更小。與此同時，將軌跡優化和氣動參數優化分開后交互迭代進行，可以靈活的根據實際需求切換各部分優化時的優化算法選用。例如，本文在外層的氣動優化方面，除了采用SQP算法之外，還采用了GA和兩者混合的算法，其優化的全局性得到了保證。相比于采用SQP算法的一體化優化，其可以更加充分地搜索和挖掘氣動參數的優化空間；而相比于采用GA等進化算法的一體化優化，可以減小軌跡參數部分的優化計算時間。本文聯合優化的設計變量、優化目標及約束條件描述如下。

1.1.1 設計變量

本文的聯合優化設計變量包括氣動參數、巡航軌跡狀態參數兩部分。

氣動參數優化的設計變量為升力系數和阻力系數。對飛行器進行氣動參數分析計算時，考慮到CFD計算量巨大，因此通常選取有限的馬赫數、攻角進行氣動參數分析計算，以表征飛行器的氣動特性。例如，美國X-43飛行器就在馬赫數為0.3~25的范圍內選取了15個特征點，并針對每個馬赫數按照5°的步長計算了-10~20°范圍內7個攻角下的氣動參數[16]。本文采用相同的思路，通過有限的馬赫數、攻角特征點的氣動參數表征整個飛行器的氣動特性。聯合優化中，以不同馬赫數和攻角下的升力系數L0和阻力系數D0為氣動參數基準，取一定百分比的變化范圍作為氣動參數優化的取值區間。外層優化器根據內層軌跡優化得到的最優馬赫數、最優攻角結果，在上述區間內，對相關的馬赫數、攻角特征點的氣動參數進行優化。

軌跡部分設計變量為巡航初始時刻的高度0cr、馬赫數0cr和巡航期間的飛行攻角cr。值得說明的是，巡航飛行期間攻角設為緩慢的線性變化，以保證穩態巡航飛行。

1.1.2 優化目標

本文聯合優化部分考慮的優化目標為：巡航飛行航程cr最長。航程的增加有助于擴大飛行器的可達區域覆蓋。

1.1.3 約束條件

本文的高超聲速巡航為穩態巡航狀態，即巡航馬赫數基本不變，且航跡角基本為零，由動力學方程可知此時的巡航高度也基本不變。考慮到實際飛行中很難保證馬赫數、航跡角的變化量絕對為零，因此需對兩者設定一個很小的容許變化范圍，如下所示：

氣動參數方面，關于前文提到的升阻比增量，本文采用升阻比增加百分率（簡稱升阻比增加率）Δ描述，其定義為氣動參數優化解的升阻比相比于基準升阻比增加的百分率。關于升阻比增量的限制約束為

式中為設定的升阻比增加率限值。

1.2 優化模型

本文設計了嵌套形式的兩級優化器，求解整個氣動參數/軌跡聯合優化問題。其中，內層優化器針對軌跡部分的3個設計變量進行優化，優化目標函數與整個聯合優化問題的目標相一致，約束條件為穩態巡航關于馬赫數、高度、航跡角以及動壓的約束。內層優化模型如下：

外層優化器基于巡航軌跡部分的優化結果，針對表1中的8個氣動參數進行優化，優化器的目標函數與聯合優化問題的優化目標相同，約束條件為升阻比增加率的約束。外層優化模型如下：

式中L，D分別為升力系數和阻力系數。

2 氣動參數與巡航軌跡分析模型

本文采用X-43的氣動數據和桑格爾的沖壓發動機數據，進行氣動參數和巡航軌跡的聯合優化。考慮到桑格爾發動機的工作馬赫數上限為7，工作高度上限為40 km，攻角上限為6°，因此整個高超聲速巡航考慮的巡航馬赫數范圍為6~7，巡航高度范圍為20~40 km。巡航攻角方面，本文參考X-43的巡航攻角標稱值2.5°[17]，考慮的取值范圍為0~3°。

2.1 氣動參數模型

依據文獻[16]，得到X-43飛行器在馬赫數為6~7、攻角為0~5°范圍內的升力系數L0和阻力系數D0，如表1所示。其中，原始文獻僅有馬赫數為6、8時的氣動數據，本文對馬赫數為6和8的數據進行線性插值，得到馬赫數為7的相應氣動參數。本文研究的馬赫數為6~7、攻角0~3°范圍內其余飛行狀態下的氣動參數均通過原始數據線性插值得到。

以L0、D0為氣動參數基準，取±20%的變化范圍作為本文氣動參數優化變量L和D的取值區間，如表1所示。

表1 氣動參數設計變量取值范圍

Tab.1 Ranges for Aerodynamic Design Variables

馬赫數攻角/(°)CL0CD0CL/CL0CD/CD0 600.01390.0259[0.8, 1.2][0.8, 1.2] 50.13910.0431[0.8, 1.2][0.8, 1.2] 700.01360.0248[0.8, 1.2][0.8, 1.2] 50.13080.0413[0.8, 1.2][0.8, 1.2]

2.2 巡航飛行動力學模型

本文考慮的高超聲速穩態巡航飛行過程不進行橫側向的轉彎，因此僅考慮飛行器在縱向平面內的運動。另外，為簡化分析，巡航軌跡動力學模型中忽略地球自轉運動。本文采用的縱向平面動力學方程如下：

式中t，m分別為根據已知發動機數據，得到的發動機推力和質量秒耗量的線性插值函數關系。

和分別為氣動升力和阻力，計算如下：

式中r為飛行器的參考面積，本文取r=2 m2；動壓d計算如下：

式中為大氣密度。

2.3 大氣模型

大氣模型采用美國SA76模型[6]，此時可根據飛行高度計算得到大氣密度和大氣溫度：

式中atm為SA76模型根據飛行高度計算大氣密度、溫度的函數關系。此時一定高度上的聲速s可由以下公式計算：

從而進一步計算得到相應高度上的馬赫數：

3 優化結果與比較分析

本文按照升阻比增加率Δ分別等于0、10%、20%、30%、40%和50%，采用Matlab R2016a軟件進行了上述6組聯合優化的仿真。其中，優化算法采用Matlab自帶的SQP算法和GA優化算法函數。另外，飛行器空重為1300 kg，燃油質量為100 kg。

3.1 優化結果

6組優化結果中，最優巡航馬赫數均為7，因此氣動參數設計變量中，僅馬赫數等于7的4個氣動參數得到了有效優化。本節限于篇幅，不羅列所有6組的詳細優化結果。僅列出能體現3種算法特性的代表性算例結果。

a）Δ=0。

采用3種優化算法得到的優化解如表2所示，其中將優化得到的升力系數L和阻力系數D與原X-43飛行器的相應系數L0和D0的比值在表中予以展現，以便于更清晰地分析優化解相對于原數據的變化幅度。可以看出，本算例中，SQP算法得到的優化解的巡航航程最優，且其計算時間很短，這與SQP算法優化初值的設定接近于最優解有關；而GA則得到了最優航程附近的設計解；混合算法則由于SQP算法在GA優化生成的初值附近沒有搜尋至更優的設計解，因此得到的優化解與GA相同，未能得到比SQP算法更好的結果。優化結果與比較如表2所示。

表2 優化結果與比較（ηΔ=0）

Tab.2 Optimization Result and Comparison (ηΔ=0)

參數外層優化器 SQP算法GA算法GA+SQP 聯合優化目標巡航飛行航程xcr/km278271271 外層優化CL/CL0(Ma=7)0°攻角1.20.880.88 5°攻角1.21.121.12 CD/CD0(Ma=7)0°攻角1.20.880.88 5°攻角1.21.121.12 內層優化初始巡航高度h0cr/km27.326.826.8 初始巡航馬赫數Ma0cr777 最大巡航攻角/(°)333 最小巡航攻角/(°)2.862.732.71 總巡航時間/s134130130 優化用時/min2239533995

b）Δ=10%。

3種優化算法得到的優化解如表3所示。

表3 優化結果與比較（ηΔ=10%）

Tab.3 Optimization Result and Comparison (ηΔ=10%)

參數外層優化器 SQP算法GA算法GA+SQP 聯合優化目標巡航飛行航程xcr/km282297297 外層優化CL/CL0(Ma=7)0°攻角1.190.900.90 5°攻角1.191.191.19 CD/CD0(Ma=7)0°攻角1.090.850.85 5°攻角1.081.081.08 內層優化初始巡航高度h0cr/km27.327.127.1 初始巡航馬赫數Ma0cr777 最大巡航攻角/(°)333 最小巡航攻角/(°)2.752.752.72 總巡航時間/s135142142 優化用時/min18444774606

本例中，SQP算法得到了局部最優解，體現了其全局搜索能力相對較弱的劣勢。而GA和混合算法均優化得到了更好的優化解，體現出了GA很好的全局性。其中，混合算法則由于SQP算法在GA的初值附近沒有搜尋出更好的設計解，因此得到的結果與GA相同。同樣的上述算法特性也體現在Δ=20%的算例結果中，其優化結果見表6，本文不再單獨贅述。

c）Δ=30%。

3種優化算法得到的優化解如表4所示。

表4 優化結果與比較（ηΔ=30%）

Tab.4 Optimization Result and Comparison (ηΔ=30%)

參數外層優化器 SQP算法GA算法GA+SQP 聯合優化目標巡航飛行航程xcr/km333339344 外層優化 CL/CL0(Ma=7)0°攻角1.181.061.04 5°攻角1.181.21.2 CD/CD0(Ma=7)0°攻角0.910.850.8 5°攻角0.910.920.93 內層優化初始巡航高度h0cr/km27.227.227.2 初始巡航馬赫數Ma0cr777 最大巡航攻角/(°)333 最小巡航攻角/(°)2.732.722.73 總巡航時間/s160162165 優化用時/min6344204494

其中，SQP算法優化得到了某局部最優解，GA則相對改善了優化解的全局性，混合算法則很好地綜合了GA的全局性好和SQP算法局部搜索能力強的優點，得到了更優的優化解。同樣的上述算法特性也體現在Δ=40%的結果中。其優化結果如表6所示。

d）Δ=50%。

基于3種優化算法得到的優化解如表5所示。其中，SQP算法和混合算法均優化得到了全局性很好的優化解，而GA則體現了其局部優化能力弱的劣勢。優化結果與比較見表5。

表5 優化結果與比較（ηΔ=50%）

Tab.5 Optimization Result and Comparison (ηΔ=50%)

參數外層優化器 SQP算法GA算法GA+SQP 聯合優化目標巡航飛行航程xcr/km385380385 外層優化 CL/CL0(Ma=7)0°攻角1.21.161.2 5°攻角1.21.21.2 CD/CD0(Ma=7)0°攻角0.80.810.8 5°攻角0.80.810.8

續表5

參數外層優化器 SQP算法GA算法GA+SQP 內層優化初始巡航高度h0cr/km27.327.327.3 初始巡航馬赫數Ma0cr777 最大巡航攻角/(°)333 最小巡航攻角/(°)2.742.742.74 總巡航時間/s184182184 優化用時/min1556635678

3.2 比較與分析

將不同升阻比增加率下的氣動參數/軌跡聯合優化解及優化耗時匯總對比如表6所示。其中，定義基于X-43原氣動參數的航程最優巡航軌跡為基準解，定義優化解的巡航航程相對于基準解航程提升的百分率為巡航航程增加率。其隨升阻比增加率的變化如圖2所示。將基準解的巡航軌跡與部分升阻比參數下的優化巡航軌跡進行了對比，如圖3所示。可以看出3條巡航軌跡中巡航高度變化很小，滿足本文的穩態巡航要求。

分析表2~5和圖2可知，各最優解對于巡航飛行航程的改進較為明顯，相比于基準解的航程提升幅度最大可達50%。巡航航程增加幅度隨升阻比增加率的變化基本呈現線性關系。實際設計中，需結合巡航軌跡設計需求和氣動外形設計的技術難度進行權衡設計。

圖2 巡航航程隨升阻比增加的關系曲線

圖3 巡航軌跡

表6 優化結果匯總與對比

Tab.6 Optimization Result and Comparison

參數基準解優化解 ηΔ=0ηΔ=10%ηΔ=20%ηΔ=30%ηΔ=40%ηΔ=50% 最優巡航航程xcr/km256278297320344365385 巡航航程增加率08.6%16%25%34.3%42.6%50.4% 優化解的巡航航程與最優航程之比SQP—100%94.9%95%96.8%98.1%100% GA—97.5%100%100%98.5%99.5%98.7% GA+SQP—97.5%100%100%100%100%100% 優化時間與混合算法耗時之比SQP—0.55%4%2.1%1.4%4.2%0.26% GA—98.9%97.2%98.5%98.4%95.4%99.7%

從表6可以看出，外層氣動參數優化基于SQP算法得到的優化解大致在全局最優解附近，其局部最優解相比于目標函數全局最優值的削減幅度約5%，但是其計算效率極高，計算耗時通常在GA算法以及混合算法的1%量級。當初值設置非常理想時，SQP算法可以直接搜尋到全局最優解，此時的計算耗時進一步縮短，僅為GA和混合算法的0.1%量級。而當外層氣動參數優化采用GA時，其優化解的全局性相較于SQP算法得到了一定改善，相比于目標函數最優值的削減幅度約為2.5%，但其計算效率很低。而外層采用GA+SQP的混合優化時，基本可以確保得到全局性的最優解，但是其采用了GA作為后一步的SQP算法優化的初值生成器，因此計算效率仍然很低。

4 結 論

本文針對高超聲速巡航飛行的氣動參數/軌跡聯合優化問題，設計了嵌套形式的兩級優化器，建立了各級優化模型。其中，內層優化器基于SQP算法針對巡航軌跡進行優化；外層優化器基于巡航軌跡的優化結果，分別采用SQP算法、GA算法和GA+SQP的混合算法進行氣動參數優化。得到的結論如下：

a）本文得到的各組聯合優化解的巡航航程均優于基準解，提升幅度最大可達50%。在每組優化中，外層優化器搜索得到了升阻比提升幅度一定時的最優升力系數和阻力系數取值。因此，本文關于嵌套形式兩級優化器的設計、優化模型的定義以及相關優化算法的選用合理有效，可有針對性地完成氣動參數部分和巡航軌跡部分的優化，從而實現整個聯合優化問題的有效求解。

b）優化算法方面，SQP算法易得到局部優化解，但其計算效率很高。當初值給的非常合理時，SQP算法可以得到全局性的最優解，此時計算耗時可進一步縮短。遺傳算法GA得到的優化解在全局性方面得到了改善，但其計算效率很低。而GA+SQP的混合優化算法基本可以確保得到全局最優解，但其計算耗時仍然很長。實際優化應用中，需根據優化解的全局性要求和容許的設計時間，選用合適的優化算法。

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Integrated Optimization of Aerodynamic Parameters and Trajectory for Hypersonic Cruise Flight and Algorithm Comparison

Wang Kai-qiang, Zhang Bai-nan, Zuo Guang, Hou Yan-ze

(Institute of Manned Space System Engineering, China Academy of Space Technology, Beijing, 100094)

To solve the integrated optimization problem of aerodynamic parameters and trajectory for hypersonic steady-state cruise, a nested two-level optimizer is designed. The inner loop is for cruise trajectory optimization using Sequential Quadratic Programming (SQP) algorithm, while the outer one is to optimize the aerodynamic parameters based on the trajectory optimization result with the use of SQP, Genetic Algorithm (GA) and the hybrid of the two algorithms, respectively. The whole integrated optimization problem is described, and advantages as well as the procedure of the nested integrated optimization are illustrated. Then, the optimization models on both levels of the nested optimizer are given, including the design variables, objective functions and constraints. Finally, a group of optimizations are implemented, and the variation curve between the increase percentage in the cruise range and the lift-drag ratio improvement is acquired. In addition, the three algorithms utilized in the outer loop optimization are compared in terms of the globality of the optimal solution and the optimization efficiency. According to the advantages and disadvantages of the algorithms, some suggestions are given for the optimization algorithm choosing in the practical problems.

hypersonic steady-state cruise; aerodynamic parameters; cruise trajectory; integrated optimization; nested two-level optimization

V421.1

A

1004-7182(2020)02-0016-08

10.7654/j.issn.1004-7182.20200204

王開強（1988-），男，博士，工程師，主要研究方向為飛行器總體參數設計優化、飛行力學與軌跡優化。

張柏楠（1962-），男，研究員，主要研究方向為飛行器系統總體設計。

左 光（1971-），男，研究員，主要研究方向為飛行器總體與氣動設計。

侯硯澤（1982-），男，博士，高級工程師，主要研究方向為飛行器總體與控制設計。

2018-01-19；

2019-05-08

國家自然科學基金（61403028）