基于模糊熵和無序理論的圖像紋理分析方法

范 偉，江 昕

(安徽電氣工程職業技術學院 a. 自動化與信息工程系；b. 教務處，合肥 230051)

紋理是描述圖像分布的重要特征，它廣泛存在于自然場景、生物外觀和藝術作品中﹒紋理是圖像本身固有的，容易辨認卻很難定義[1]﹒這是因為不同的人對紋理的理解不同，由于圖像強度值在方向和規模上存在很大的局部變化，使得紋理模糊且復雜，因此紋理沒有確切的數學定義[2]﹒

紋理分析[3]是圖像處理過程中很重要的步驟，已有一些研究學者對此作了相關研究﹒通常，分析紋理主要有3 種途徑：數據法、結構法和光譜法[4]﹒數據法將紋理的特征描述為平滑、粗糙和粒狀等；結構法用于整理圖像基元，如基于規則空間平行線來描述紋理；光譜法是基于圖像的頻率特征，通過考慮光譜中的高能量和窄峰來全方位測定其周期性﹒文獻[5]在圖像紋理特征統計分析的基礎上，提出了一種基于小波變換紋理分析的圖像粗糙度提取方法﹒文獻[6]利用分數維將圖像的空間信息和灰度信息有機結合，提出了一種基于分形維數的圖像紋理分析方法，此法所分割的圖像能夠體現圖像的紋理分布﹒文獻[7]研究了基于灰度共生矩陣(GLCM)的14 個紋理特征，分析了紋理特征之間的冗余﹒文獻[8]將Haralick 特點應用于醫學圖像紋理的分析，即利用Haralick 紋理特征歸一化灰度共生矩陣不同方向的計算，該方法的核心是組合多個特征進行紋 理分析﹒文獻[9]提出了基于Gabor 變換的紋理分析，利用圖割提取一些重要的紋理特征，Gabor變換用于分析和分類﹒這些方法[5-9]適用范圍較窄，總體誤差較大，不確定性難以量化，因此它們在表征紋理特征的方式上有待改進和完善﹒

對于圖像紋理分析，信息和不確定性是一個統一的整體，信息中的不確定性使得真實模型既可預測又不可預測﹒這種情況存在于模式識別[10]等復雜問題的處理中﹒目前，對于復雜信息處理中的預測性或不確定性量化問題，主要是基于無序理論[11]﹒無序理論和模糊邏輯均屬于模糊數學理論分支，可被用于處理模糊分類、決策和控制等問題，而紋理屬性不可預測性的量化正是基于此﹒因此，本文重點研究無序理論和模糊集表達紋理圖像強度值分布的空間排列，處理動態不確定性問題，在柯爾莫哥洛夫-西奈(K-S)熵[12-13]的基礎上，引入了模糊K-S 熵的概念，并給出了模糊K-S 熵的估計值﹒

1 模糊集的K-S 熵

1.1 K-S 熵

在無序理論分析中，K-S 熵[12]被認為是無序性軌跡產生的最新信息平均時間率的指標，也稱為測量-理論熵或測度熵﹒它有3 個重要特征：序列概率、熵率和熵界﹒為了描述動態系統的狀態-空間特征，應考慮二維狀態-空間區域，即在含有多個小單元的盒子中，小單元邊長度為ε ﹒動態系統的軌跡隨著時間變化，會在狀態-空間區域覆蓋一些單元，并擴散﹒就第1 個特征而言，由于K-S 熵測量系統的不確定性，與此系統有聯系的時間單元為

其中時間步長或空間步長可以用步長大小來分別體現時間或空間的演化﹒

1.2 模糊集的K-S 熵

基于模糊集熵的概念，模糊系統的不確定性在K-S 熵環境下通過一系列觀察測得，定義為

基于現有數學理論的相關文獻[14]對K-S 熵函數概率意義的討論，可以得出，動態系統中隨機熵和模糊熵可表述為：模糊熵=高級隨機熵﹒在設定模糊集時，嵌入在K-S 熵中的一系列概率和香農熵可分別由模糊隸屬度和模糊熵替代﹒概率和模糊度是相關的，但它們的根本概念是不同的：模糊度表示一種確定的未知性，代表一個時間的模糊度，可表示一個事件發生的程度；概率是由一個事件是否會發生而產生的﹒基于式(5)，模糊集K-S 熵的表達式為

模糊隸屬度的值與式(8)相關，合并條件概率事件的乘法由模糊乘法替代，使之與模糊關系的概念一致﹒令A 和B 為2 個模糊集，每個模糊集都與n 維歐式空間 Rn中的每個x ∈ X相關聯，A和B 的乘積為模糊集T=A×B，可利用模糊交叉法定義為

記熵差為m，則有

式(12)表明，在單位時間下計算，平均熵率和熵差會得出相同的平均熵率近似值；但在時間軸下m 的點跡更接近，并快速匯聚于一點﹒運用熵差法，模糊集K-S 熵估計值的計算為

利用式(13)計算模糊集K-S 熵的步驟如下：

1)選定一個單元尺寸ε ；

2)在一個給定的時間步驟下，估算所有可能路徑的序列模糊隸屬度級別，并計算 Dm；

3)在下一個時間步驟下，重復步驟2，并得出Dm+1；

4)計算熵差m；

5)多次重復步驟2)~步驟4)；

6)在時間步驟下描繪出熵差點跡，并估計熵差的近似值；

7)若m 變得近似于一個常量，程序終止，否則進入下一步；

8)重復步驟1)~步驟6)得到越來越小的ε ﹒

本文的重點為構建圖像的K-S 熵，利用模糊集和無序理論使傳統量化無序性的程序作為紋理分析的一個新特征﹒

2 圖像紋理信息的K-S 熵

本節構建用于估算圖像模糊信息K-S 熵的模型﹒在很多圖像中，表示不同物體的像素很可能具有相似的像素灰度值﹒因此，不清晰物體圖像的直方圖較窄，清晰物體圖像的直方圖較寬﹒

由此可知，圖像中的不確定性是由圖像內容的不精確描述所產生﹒本文使用模糊C-均值算法[15]對圖像空間進行數學建模，即用模糊C-均值算法將一個由N 個像素組成的圖像任意分離為一系列不精確的簇，表示為

在不精確邊界或模糊類的上下文中，基于模糊C 均值(Fuzzy C Means, FCM)的聚類分析可用于建模圖像的不確定性﹒選擇c 的大小相當于模糊集K-S 熵估計過程的第一步，為了構造出圖像的序列隸屬度，利用給定的c 進行模糊C-均值劃分；計算在每個路徑上的模糊隸屬度，以最低值所對應的模糊隸屬度的灰度級確定FCM(即步驟2 和步驟3)；然后計算熵差m(步驟4)﹒為了計算熵差，一個很實用的方法是使用模糊隸屬度來處理FCM 所獲得的每個集合﹒其中，圖像的垂直和水平方向分別指圖像中行和列的熵差，如果一個紋理圖像是等方向的，那么K-S 熵的計算是獨立于圖像方向的﹒

3 實驗結果分析

3.1 典型紋理圖像

圖1 給出了4 個實驗圖像，其中(a)為“Lena”標準灰度圖像(512×512)；(b)為部分癌細胞圖像(603×1819)；(c)為部分正常細胞圖像(678×1747)；(d)為人類腹部器官圖像(246×366)﹒

圖1 實驗圖像

圖1 中，癌細胞和正常細胞圖像可在細胞空腔下通過技術觀察得到，人類腹部器官圖像則通過CT 掃描獲得﹒選擇這4 個圖像的原因是：Lena圖像細節豐富，兼有平坦區域、影子和大量紋理等；2 個細胞圖像紋理細節豐富，而紋理分析可用來區分細胞空腔內癌細胞和正常細胞；腹部器官的CT 圖像是一個典型的醫學圖像，也可作為紋理分析的測試圖像﹒

圖2~圖5 分別給出了上述4 個圖像所表達的特征，其中，每個原始圖像分為25 個大小為128×96 像素的子圖像﹒測試中，參數c=2，模糊權重指數q=2﹒

圖2 Lena 圖像熵差的變化

圖3 癌細胞圖像熵差的變化

圖4 正常細胞圖像熵差的變化

圖5 腹部器官圖像熵差的變化

表1 q=2 時圖像模糊集的熵差

表2 q=3 時圖像模糊集的熵差

3.2 紋理分類

本文使用的紋理數據庫是25 個圖像紋理等級的集合，每個等級都由40 個圖像樣本構成﹒所有圖像都是灰度JPG 格式，每個圖像尺寸都是640×480 像素﹒圖7 給出了紋理數據庫中一些典型的圖像，每個圖像屬于不同的紋理等級﹒

圖6 Lena 圖像退化空間熵差的變化

表3 加噪Lena 圖像模糊集的K-S 熵

圖7 紋理圖像數據庫樣本

實驗中，每個原始圖像分為25 個大小為128×96 像素的子圖像，模糊K-S 熵值從子圖像中提取﹒由上述實驗結果分析可知，參數q=2 和c=2所得結果最精確，這種參數組合賦予了4 個模糊K-S 熵值特征向量：2 個行向模糊簇集和2 個列向模糊簇集﹒所提取的K-S 熵再通過LBG 向量量化進行分離[16]，其中向量可以分為4、8、16和32 維4 種﹒

本文將小波變換紋理分析[5]、分形理論[6]、多個GLCM 紋理分析[7]、Haralick 多特征組合[8]以及Gabor 變換分析方法[9]進行了對比，分類測試中運用10 倍交叉檢驗將每個數據集分為10 個大小相同的子集，生成的9 個子集用于測試剩下的子集，通過10 次重復計算得出平均精確度﹒各方法的紋理分類準確率情況如表4 所示﹒

表4 幾種紋理圖像分類準確率對比 %

從表4 可以看出，本文方法的分類準確率最高，其次是GLCM 紋理分析方法，GLCM 及其改進方法對紋理周圍8 個方向均有比較敏感的特征反應；直方圖分析紋理有明顯的缺陷，因為直方圖很難給出空間的灰度變化特征，只能給出一塊區域的統計特征；分形理論法由于其分形的固有屬性，對類似遙感圖像的紋理分析更佳；小波變換法以及Gabor 變換法對環境變化的不變性較好，但會錯失一些信息，特征點的提取對結果影響較大；Haralick 多特征組合法在理想狀態下，可以獲得非常好的結果，但這些特征組合經常帶有一些確定性因素﹒

為便于比較，本文還使用了k-NN 分類器進行分類，k-NN 分類器是較為簡單的非參數方法，不同于FCM﹒2 種方法對比結果如表5 所示﹒

表5 2 種方法的k-NN 分類精度對比 %

從表5 可以看出，本文的方法具有一定的優勢，說明K-S 熵在處理不確定的圖像紋理分析中是一個有效特征﹒

4 結論

在無序理論和模糊集框架下，提出了一種計算K-S 熵的方法，使用隊列元素等級來測定不精確系統的熵率，用模糊度取代確定性范式，將其用于紋理圖像的分析和分類﹒結果表明，模糊K-S 熵能較好適用于不同類型紋理的圖像分析﹒

由于K-S 熵是一個表達圖像空間分區模糊隸屬度非線性特征的數值，其延伸模型可有效分析模式識別問題中的不確定性﹒因此，下一步的研究會將K-S 熵應用到具體的模式識別問題中，如高光譜圖像等﹒