基于中學物理推導大學物理中功的表達式

杜忠明

[摘? ? ? ? ? ?要]? 從中學物理中功的表達式出發，逐漸推導出大學物理中功的表達式。該方法結合作圖，先推導質點沿首尾相連但是方向不同的折線段運動過程中力所做的總功，然后逐漸縮短折線段的長度，從而增加折線段的數目，令折線段數目趨向于無窮，折線就趨向于光滑曲線，從而把力在無窮多的小折線上所做功的總和過渡到大學物理中機械功的表達式上。

[關? ? 鍵? ?詞]? 大學物理;中學物理;功;推導方法

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號]? 2096-0603（2020）44-0128-02

一、引言

在大學物理力學部分的教學中，關于功的教學內容是重點，同時也是難點。在大學物理中，質點沿某一曲線從P點到Q點時，力對質點所做功的表達式一般情況下描述為：

這種表達方式具有更普遍性，但是相對中學物理中功的表達方式，其跨度大，學生較難理解。因為學生習慣于處理質點直線運動情況下力對質點做功的問題，而大學力學中（1）式的這種描述已經把質點的運動推廣到三維空間中的曲線運動，對于學生來說比較陌生。機械功的表達式本身可以說是屬于第二型曲線積分在力學中的一種具體描述方式，但是低年級大學生學習力學中功的知識點的時候可能在高等數學課上還沒有學習到曲線積分的知識。分為四冊的高等數學（物理類專業用）把曲線積分安排在第二冊中，分為上下兩冊的高等數學也把曲線積分安排在下冊中。普通院校物理學教育專業的學生一般情況下在大一上學期就學習力學教程，學習到功的時候高等數學中不可能學習到曲線積分，一部分非物理學教育專業的學生也在大一學習大學物理學，這時候也不可能學習到曲線積分。對于基礎和學習能力相對較差的二本院校學生來說，在沒有一定數學基礎的情況下直接接受（1）式是存在困難的。論述中學物理教材中功的教學方法的文獻比較多，但是大學物理中對功教學的討論還很缺乏。如果用簡單有效的教學方法讓學生盡量避開對高等數學的依賴，那么學生對大學物理中功的理解還是能夠得到加強，知識點的難度也可以得到化解。

二、知識點和推導方法分析

低年級大學生的思維由于受到中學物理思維的影響，在一定程度上仍然停留在中學物理的學習模式中，因此習慣于只在直線運動中處理力對物體做功的表達式，難以把質點的運動擴展到三維空間的曲線運動中。從理論上來說，質點沿一段曲線運動的過程可以看成是把運動過程分成無數小段，這些小段上近似看成力的大小和方向不變，小線段也可以看成是直線。所以基于這個原理，把質點沿某曲線運動過程中力所做的功看成是全部小曲線上力所做功的總和。從積分的角度出發，這些小線段上力所做功的總和就是積分，用積分式子表示。如果教師只是口頭講述這種理論，在黑板上畫出某一曲線，并在曲線上標出力的示意圖，然后直接把（1）式列在黑板或多媒體上，那么對于沒有學習過曲線積分以及基礎相對較差的二本院校學生來說，（1）式這種功的表達方式難以理解，從而影響到關于機械功的問題的處理能力。

為了加深學生對（1）式的理解，教師應該從學生在中學學習的知識點出發，結合力在不同的路徑上對質點所做的功可以相加這一要點把質點運動路線逐步變化，問題就能得到比較好的解決。所以質點在曲線上運動過程中力對質點所做功的表達式可以通過下列步驟進行推導。

學生應該理解存在力和在力的方向上產生位移是做功的條件，所以教師可以按照常規的方式對中學階段力對質點做功的知識點進行回顧，首先在黑板上作圖1所示的示意圖，并進行復習和推導。

結合如圖1（a）分析，直線上的質點在力的作用下從P點到Q點，其特點是質點受力方向和質點發生的位移PQ方向相同。質點在P到Q過程中力所做的功是

APQ=F·PQ? ? （2）

接著教師復習力對質點做功的形式為力和質點發生的位移之間有一個夾角θ的情況，如圖1（b）所示。這種運動的特點是要求力在發生位移時質點做直線運動，而且在運動過程中力的大小和方向都不發生變化。質點在P點到Q點的過程中力所做的功是

APQ=F·PQcosθ? ?（3）

學生在中學已經學習過向量的數量積，所以教師可以接著說明衡量力對質點做功的公式（3）可以表示成為力和位移矢量之間的標量積，寫成

教師提出，如果質點從P點到Q點的過程中不在一條直線上運動，而是經過了若干條首尾相連的直線，這時如何處理力對質點所做的功。然后畫圖2所示的示意圖，提出質點從P點到Q點的過程中運動路徑由于某種原因分成了PM1、M1M2和M2Q三段路線，在這三段直線中力和運動方向之間的夾角分別為θ1，θ2和θ3。則整個運動過程中力對這個質點所做的總功應該表示成為這三段直線上所做的功之和，即

APQ=A1+A2+A3=F·PM1·cosθ1+F·M1M2·cosθ2+F·M2Q·cosθ3

（5）

或者表示成為

到此為止學生還是比較熟悉的。這時候教師接著在圖2的基礎上把圖中的三段位移各分成不同方向的更短的六段位移，如圖3所示，引導學生推導出質點從P點到Q點的過程中折線上力所做功的總和為

教師繼續提出，在圖3的基礎上折線段的數目進一步增加的情況下，如何表示質點從P點到Q點力所做的功。然后在圖3的基礎上繼續增加小折線，效果如圖4中的折線所示。強調圖4相對圖3來說只是增加了小折線的數目，每一段小折線內力所做功的表達方式是相同的，所以質點從P點到Q點的整個過程中力所做的功是

當所分的線段數增加到很多后折線的形狀逐漸趨向于光滑的曲線（如圖4所示，在折線段旁邊畫一條曲線）。當小折線段趨向于無窮多時可以認為小折線上力所做功的總和與曲線上運動時力所做的功趨向于相同了。這時把（8）式中的有向線段統一寫成d■，每一段小線段內力所做的功表示成為dA，則（8）式改寫成為

當有向線段數趨向無窮時，（9）式可以改寫成另外一種表達方式，記為

此式就是（1）式。整個過程中遵循的原則是，從學生熟悉的力在直線上做功的表達式出發，把力在各小線段內所做的功相加，把折線段的數量增加到無窮，利用另一個式子（即積分式）表示這種相加的關系，就是力在曲線上對質點所做的功。為了使學生加深從P點到Q點力所做功的表達式的這種變化，可以把上述各圖和相對應表達式的變化利用動畫的形式在多媒體上展示給學生，作為對質點做功表達式的小結。

三、小結

大學物理教學課件中也提到把曲線分成若干段小曲線的示意圖，但是這種示意圖中，各段小曲線對于學生來說仍然不夠直觀，（1）式的得出還是顯得較為抽象。本文提出的推導方法和中學知識結合緊密，在每一步推導過程中都使學生保持清晰的物理模型，并且幾乎不受高等數學基礎知識的干擾，易于被學生理解和接受，從而使學生從已經具有的中學知識點出發，順利過渡到大學物理知識的學習。

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◎編輯 司 楠