Bogdanov-Takens系統在分段n次多項式擾動下極限環個數的上確界

崔文喆，李寶毅，張永康

（天津師范大學數學科學學院，天津300387）

1 引言與主要結論

在常微分方程分岔理論中， Bogdanov-Takens 系統具有極其重要的地位，對于Bogdanov-Takens 系統的研究，詳見文獻[1-10].近年來，分段光滑微分系統在控制理論、 電子電路和機械工程等領域得到廣泛應用， 因此對于分段光滑微分系統極限環個數的研究成為一個熱門課題.對于二次等時系統S1、S2，當平面分為上下2 個區域時，文獻[11]和文獻[12]分別證明了在二次多項式擾動下，S1極限環個數的上確界屬于{4， 5}， S2極限環個數的上確界屬于{5， 6}， 此外， 文獻[12]還證明了當平面分為上下2 個區域時，在n 次多項式擾動下的二次可逆中心r19 和r20 極限環個數的上界分別為 4n-3（n≥4）和 4n+3（n≥3）.文獻[13]證明了當平面分為上下或左右2 個區域時， Liénard系統在分段多項式擾動下極限環個數的上確界分別為（n≥1， m、n 分別為擾動多項式的次數）.文獻[14]證明了在非連續（連續）分段一次、二次多項式擾動下， 當M1（h）0時， Bogdanov-Takens 系統極限環個數的上確界B2（n）（B2c（n））滿足2≤B2（1）≤3，5≤B2（2）≤7，B2c（1）= 1，3≤B2c（2）≤5.

本文將平面分為左右2 個區域，研究在分段n 次

2 一階Melnikov函數

3 一階Melnikov函數零點的估計