廣義嶺估計(jì)的一種新的改進(jìn)方法

殷立爽，范永輝

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

研究線性回歸模型

其中：y 為n×1 的隨機(jī)觀測(cè)向量；X 為n×p 的設(shè)計(jì)陣，其秩為p；β 為p×1 的未知回歸系數(shù)向量；e 為n×1的隨機(jī)誤差向量；σ 為未知參數(shù).

對(duì)于回歸自變量較多的大型回歸問題，回歸自變量之間往往存在著近似線性關(guān)系，稱為復(fù)共線性.當(dāng)設(shè)計(jì)陣X 存在復(fù)共線性時(shí)，會(huì)使β 的均方誤差變得很大，從而使最小二乘（LS）估計(jì)的性能變壞，因此有必要對(duì)β 進(jìn)行修正.一個(gè)理想的改進(jìn)方法是在降低均方誤差的同時(shí)使得均方殘差不能增加的太多，為此相關(guān)學(xué)者做了許多研究[1-7].文獻(xiàn)[2]針對(duì)最小二乘估計(jì)的不足，提出了回歸系數(shù)的廣義根方估計(jì)（K），其中K為對(duì)角陣，并給出了其顯式解.文獻(xiàn)[3]針對(duì)特征根很小而接近于零的部分，運(yùn)用壓縮最小二乘估計(jì)長(zhǎng)度的思想提出了嶺型組合主成分估計(jì).文獻(xiàn)[4]提出了廣義嶺型組合主成分估計(jì)，改變了文獻(xiàn)[3]中矩陣對(duì)角元素中的嶺參數(shù)，并給出了嶺參數(shù)的選取方法.文獻(xiàn)[5]針對(duì)線性模型中回歸系數(shù)的估計(jì)給出一個(gè)估計(jì)類：廣義壓縮最小二乘估計(jì).文獻(xiàn)[6]給出了Gamma 回歸模型中嶺估計(jì)的幾種改進(jìn)嶺參數(shù).文獻(xiàn)[7]提出了logistic 回歸模型的限制性嶺估計(jì).本文結(jié)合嶺估計(jì)和主成分估計(jì)提出了一種廣義嶺估計(jì)的改進(jìn)方法，在均方誤差意義下，證明了改進(jìn)的嶺估計(jì)優(yōu)于最小二乘估計(jì)、 普通嶺估計(jì)和主成分估計(jì).

1 k1，k1，r型嶺估計(jì)

為方便，引入線性回歸模型（1）的典則形式.X′X為正定矩陣， 故可設(shè) λ1≥…≥λp≥0 為 X′X 的特征值，φ1，…，φp為對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量，記Φ=（φ1，…，φp），Φ 為 p×p 的標(biāo)準(zhǔn)正交陣，令 Λ=diag{λ1，…，λp}，于是 X′X= ΦΛΦ′.模型（1）的典則形式為

其中： Z = XΦ， α = Φ′β.Z′Z = Φ′X′XΦ = Λ =diag{λ1，…，λp}， α 的 LS 估計(jì)為

2 嶺參數(shù)的確定

3 k1，k2，r型嶺估計(jì)與主成分估計(jì)的比較

4 算例

λ1、λ2的貢獻(xiàn)率為因此確定r=2.采用k1，k2，r 型嶺估計(jì)來估計(jì)回歸系數(shù)，其迭代法過程如下：

步驟 1： 計(jì)算出 α1、α2、 α3的值，作為初始值；

步驟 2： 由式（9）計(jì)算 k1和 k2， 利用 k1、 k2， 采用R 語言計(jì)算新的 α1、 α2、 α3；

步驟 3： 重復(fù)步驟 2， 直至 α1、 α2、 α3的值均趨于穩(wěn)定時(shí)，確定k1和k2.

經(jīng)計(jì)算確定k1=2.80，k2=6.70，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)的k1，k2，r 型嶺估計(jì)為

各變量的平均值為

相應(yīng)地有

從而得到 k1，k2，r 型嶺估計(jì)回歸方程為

為與其他估計(jì)進(jìn)行比較，表1 給出了LS 估計(jì)、嶺估計(jì)、主成分估計(jì)和k1，k2，r 型嶺估計(jì)回歸方程的各項(xiàng)系數(shù).由表 1 可見， k1，k2，r 型嶺估計(jì)與普通嶺估計(jì)和主成分估計(jì)都比較接近，而與LS 估計(jì)相比， x1和x3的系數(shù)變化較大，并且x1系數(shù)的符號(hào)也發(fā)生了變化.

表1 算例問題4 種估計(jì)的回歸方程系數(shù)Tab.1 Coefficients of regression equations for 4 kinds of estimator