2個(gè)三能級(jí)原子的非平衡熱糾纏

孫 悅，郭金良

（天津師范大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

量子信息技術(shù)[1]的飛速發(fā)展給科技帶來(lái)了新的可能性，同時(shí)關(guān)于量子力學(xué)的研究進(jìn)入到了空前繁榮的時(shí)代.愛因斯坦在研究愛因斯坦-波多爾斯基-羅森悖論（Einstein-Podolsky-Rosen paradox）的過程中正式提出量子糾纏[2-4]的概念，在隨后的時(shí)間里，作為處理和傳遞信息的一種新的重要資源，量子糾纏受到眾多科學(xué)家的廣泛研究.近年來(lái)， 人們對(duì)糾纏態(tài)的研究逐漸從封閉量子系統(tǒng)的平衡熱糾纏轉(zhuǎn)向開放量子系統(tǒng)的非平衡熱糾纏.在開放量子系統(tǒng)中制備和保存糾纏的最大障礙是系統(tǒng)與環(huán)境相互作用引起的退相干[5-6].由于一個(gè)真正的量子系統(tǒng)是開放的，它不可避免地會(huì)受到周圍環(huán)境的影響，從而使糾纏遭到破壞，因此在研究和制備糾纏態(tài)[7]時(shí)要考慮周圍環(huán)境的影響.近年來(lái)，相關(guān)研究多集中在2 個(gè)比特的糾纏動(dòng)力學(xué)，考慮2 個(gè)粒子分別與2 個(gè)熱庫(kù)相互作用， 以及不同溫度情況下，量子糾纏隨時(shí)間的演化規(guī)律[8-10].但現(xiàn)有研究多考慮的是兩比特二能級(jí)系統(tǒng)，對(duì)三能級(jí)甚至更高能級(jí)的非平衡熱糾纏的動(dòng)力學(xué)研究并不多見，因此研究高能級(jí)的動(dòng)力學(xué)演化具有重要意義.

本研究采用對(duì)數(shù)Negativity 的方法對(duì)2 個(gè)不同玻色庫(kù)耦合下2 個(gè)三能級(jí)的開放量子系統(tǒng)的糾纏進(jìn)行度量[11-12]，首先給出了系統(tǒng)的哈密頓量并用數(shù)值模擬的方法得到系統(tǒng)的密度矩陣，然后對(duì)非平衡熱糾纏隨時(shí)間的演化情況進(jìn)行分析，重點(diǎn)討論了系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)與初態(tài)對(duì)該量子糾纏的影響.

1 哈密頓模型

考慮2 個(gè)三能級(jí)qutrit-qutrit 系統(tǒng)，每個(gè)粒子均與2 個(gè)獨(dú)立的玻色庫(kù)相互耦合，2 個(gè)玻色庫(kù)的溫度分別為T1和T2，系統(tǒng)的哈密頓量可以寫為[13]

式中：Sα（α=x，y，z）為自旋算符；J 為自旋相互作用的線性耦合強(qiáng)度；K 為非線性耦合常數(shù)；B 為沿z 方向的外加磁場(chǎng).自旋算符的3 個(gè)分量（i=1，2）分別取如下形式

用|-1〉，|0〉，|1〉表示基態(tài)、第 1 激發(fā)態(tài)和第 2 激發(fā)態(tài).在基失|-1，-1〉，|-1，0〉，|-1，1〉|0，-1〉，|0，0〉，|0，1〉|1，-1〉，|1，0〉，|1，1〉下，可以得到系統(tǒng)的本征值和本征態(tài)[13]：

每個(gè)自旋粒子（j=1，2）熱庫(kù)的哈密頓量為

為了解決分析問題，只考慮系統(tǒng)與環(huán)境間能量交換的影響， 并排除相位差.自旋子系統(tǒng)和玻色庫(kù)間的相互作用可表示為

式（5）中：|Ψn〉和 |Ψn′〉為系統(tǒng)哈密頓量的本征態(tài)；躍遷頻率 ωj，μ可由求得.如果對(duì)于相同頻率存在不同的躍遷，則需要對(duì)與相同頻率差相對(duì)應(yīng)的所有躍遷求和.

在系統(tǒng)本征態(tài)|Ψi〉的表象下，耗散項(xiàng)可以寫為簡(jiǎn)單形式

經(jīng)計(jì)算，式（1）中哈密頓量的躍遷算符和躍遷頻率可表示為

躍遷算符和躍遷頻率表達(dá)式中，玻色子庫(kù)被視為一組無(wú)限諧振子，因此譜密度變?yōu)镴(j)（ωμ）=γj（ωμ）nj（ωμ），其中其中βj=1/KBTj（KB== 1）.為了計(jì)算簡(jiǎn)便，常認(rèn)為γj（ωμ）=γj.

利用波恩-馬爾可夫主方程（式（6））計(jì)算可得系統(tǒng)密度矩陣對(duì)角元的微分方程組，本研究利用數(shù)值模擬的方式求解此微分方程組.而非對(duì)角元微分方程可以通過簡(jiǎn)單計(jì)算得到解析解.選擇系統(tǒng)的初態(tài)為

2 非平衡熱糾纏

研究非平衡的熱糾纏， 一般需要對(duì)糾纏進(jìn)行度量， 進(jìn)而研究量子糾纏隨時(shí)間演化過程中的特點(diǎn).在兩比特二能級(jí)的自旋系統(tǒng)中，concurrence（并發(fā)度）是經(jīng)常被使用的度量方法[16].但在度量高維Herbert 空間中系統(tǒng)的糾纏時(shí)，如本研究中的高能級(jí)系統(tǒng)，nega-tivity（負(fù)度）是一種有效的度量方法.負(fù)度被定義為[17]

粒子分別與2 個(gè)不同溫度的熱庫(kù)相互耦合，研究在所選的初態(tài)下混合自旋系統(tǒng)的糾纏動(dòng)力學(xué)，結(jié)果如圖1 所示.

圖1 中， 參數(shù) γ1= γ1=0.02，K=-0.3，B=0.4，J=-0.065.圖1（a）為在保持平均溫度不變的情況下，不同溫差ΔT（ΔT = T1-T2）下的糾纏演化，圖1（b）為在 ΔT 不變的情況下，改變 TM時(shí)的糾纏演化.

由圖1 可以看出，糾纏隨時(shí)間先迅速衰減，隨后達(dá)到穩(wěn)定.此外，隨著兩庫(kù)溫度差ΔT 和平均溫度TM的升高，糾纏衰減得越來(lái)越快，最終達(dá)到穩(wěn)定糾纏時(shí)的值越小.當(dāng)ΔT 和TM足夠大時(shí)，如ΔT=0.7 和TM=0.5時(shí)，糾纏會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)消失，即出現(xiàn)糾纏的突然死亡現(xiàn)象[18].減小ΔT 可以在一定程度上增加糾纏的穩(wěn)定性，說明平衡態(tài)的糾纏穩(wěn)定性優(yōu)于非平衡態(tài).降低TM會(huì)使糾纏猝死現(xiàn)象減弱并消失，從而延緩糾纏減弱的速度.

圖2 為不同初態(tài)對(duì)自旋系統(tǒng)量子糾纏動(dòng)力學(xué)的影響， 其中參數(shù) γ1=γ1=0.02，K=-0.3，B=0.4，J=-0.065，ΔT=0.2，TM=0.4.在初始時(shí)刻，可分態(tài) |1，-1〉和|-1，-1〉的糾纏從0 開始演化，初態(tài)| 1，-1〉的糾纏在較短的時(shí)間內(nèi)有一個(gè)較大的峰值，但持續(xù)時(shí)間很短.糾纏態(tài)的糾纏從 0.5 開始演化，當(dāng)時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)糾纏值趨于穩(wěn)定.初態(tài)| -1，-1〉）的初始糾纏為 1，是最大糾纏態(tài).由圖2（a）和圖2（d）可以清楚地看到，在 ρ0=|1，-1〉〈1，-1|和 ρ0=（|-1，-1〉）2 種初態(tài)下，糾纏在隨時(shí)間演化的過程中發(fā)生振蕩，最終達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值.這說明在演化過程中兩比特之間的能量進(jìn)行了交換.而由圖2（b）和圖2（c）可以看出，在 ρ0= | -1，-1〉〈-1，-1|以及| -1，0〉）（|0，-1〉+|-1，0〉）2 種初態(tài)下，糾纏沒有隨時(shí)間振蕩而是直接達(dá)到一個(gè)穩(wěn)態(tài).因此，由圖2 可知，無(wú)論初態(tài)如何，在時(shí)間趨近于無(wú)窮時(shí)，糾纏的穩(wěn)定值是一致的，說明穩(wěn)態(tài)的大小與初態(tài)無(wú)關(guān).

圖2 不同初態(tài)下混合自旋系統(tǒng)的糾纏動(dòng)力學(xué)Fig.2 Entanglement dynamics of a mixed spin system in different initial states

圖3 為不同的非線性耦合系數(shù)K 和磁場(chǎng)B 對(duì)糾纏演化的影響， 其中 γ1= γ1=0.02， ΔT=0.2，TM=0.4.由圖3（a）可以看出，當(dāng)K=0 時(shí)，糾纏會(huì)突然死亡且不再起復(fù).隨著K 絕對(duì)值的增大， 糾纏在死亡一段時(shí)間后重新出現(xiàn)， 有一個(gè)較低的穩(wěn)定值.繼續(xù)增大K 的絕對(duì)值，當(dāng)K=-0.6 時(shí)，糾纏猝死現(xiàn)象消失，且糾纏的穩(wěn)態(tài)出現(xiàn)非常明顯的提高.由圖3（b）可知，隨著磁場(chǎng)B值的增大，糾纏的穩(wěn)定性被明顯破壞.當(dāng)B=0.7 時(shí)，糾纏在一段時(shí)間后消失.B 值若較小，糾纏會(huì)在非常短的時(shí)間產(chǎn)生猝死，而后隨時(shí)間的演化穩(wěn)定在一個(gè)比較大的穩(wěn)定值.綜上所述， 非線性耦合常數(shù)K 對(duì)糾纏的影響是有益的，可以通過提高K 的絕對(duì)值得到明顯的糾纏， 而磁場(chǎng)B 的存在對(duì)糾纏的影響是有害的，B 的增大不僅會(huì)降低穩(wěn)定糾纏甚至?xí)辜m纏徹底消失.

3 結(jié)論

本文主要研究了與2 個(gè)熱庫(kù)相互作用的三能級(jí)qutrit-qutrit 系統(tǒng)的糾纏演化特性，結(jié)果表明：

（1）溫差ΔT 和平均溫度TM的增大均會(huì)降低糾纏的穩(wěn)定性，說明熱庫(kù)溫度對(duì)量子糾纏的產(chǎn)生及其穩(wěn)定具有較大的破壞作用，要有效抑制這種退相干，需要適當(dāng)降低熱庫(kù)的溫度.

（2）不同初態(tài)的非平衡熱糾纏的動(dòng)力學(xué)演化不同，由于兩比特間的能量交換，糾纏會(huì)隨時(shí)間發(fā)生振動(dòng)，但盡管初態(tài)不同，最后仍能達(dá)到一樣的穩(wěn)態(tài)值.

（3）非線性耦合常數(shù)K 的存在能夠給糾纏帶來(lái)有益的影響，可以通過增大K 的絕對(duì)值獲得更好的穩(wěn)定糾纏.而磁場(chǎng)B 會(huì)破壞系統(tǒng)的糾纏， 要想獲得穩(wěn)定糾纏可以降低磁場(chǎng)強(qiáng)度的大小.