基于LMI的空間站角動量管理控制器多級設計*

王夢菲 張 軍 李金哲

1.北京控制工程研究所，北京 100190 2.空間智能控制技術國家級重點實驗室，北京100190

空間站長期在軌飛行時，采用控制力矩陀螺(Control Moment Gyros, CMGs)作為姿態控制的執行機構。由于其大質量、大慣量的特點，長期飛行時無法像普通衛星一樣利用磁力矩器進行CMGs的角動量卸載，而需要借助空間環境力矩進行系統的角動量卸載；同時CMGs還要進行空間站的姿態控制。在軌運行時，這2個任務是同時完成的，從而導致了空間站這種大型組合體航天器所特有的姿態控制和角動量管理(Attitude Control and Momentum Management, ACMM)問題[1-2]。

目前國內外對于空間站姿態控制和動量管理方面已有不少研究成果。Wie等解耦空間站姿態，引入濾波狀態量并采用線性二次型調節器(Linear Quadratic Regulator, LQR)設計控制器，減小了由氣動力矩引起的空間站姿態和CMG角動量振蕩[3]；Sunkel等基于矩陣符號函數，將高維系統分解成塊解耦較低維子系統，再利用循環次優LQR算法設計控制器，將極點配置在扇形開區域內[4]；Harduvel等基于三軸耦合模型，引入濾波狀態量將原系統擴維，利用傳統的LQR算法設計了一種ACMM控制器，能有選擇性地抑制姿態或動量狀態中恒定或周期性干擾，這種算法在國際空間站中得到了應用[5]；Elgersma等利用μ分析技術評估了H∞控制算法和簡化控制補償器設計方法(內環姿態控制和外環動量管理)對于系統慣量變化的魯棒性[6]；倪茂林等對于線性不確定系統提出一種具有二次性能指標的魯棒穩定控制器設計方法，對某型空間站的俯仰動力學控制系統進行了魯棒設計并取得了較好的控制效果，但需要冗余的CMG且被控對象維數較低，反饋增益陣求解相對容易[7]；李新峰等建立了軌道系下的空間站線性化動力學模型，在Sunkel等提出的解耦算法基礎上還考慮了空間站特有的干擾特性，通過帶極點配置的LQR方法將閉環極點配置在扇形區域內，但未考慮系統不確定性[8]。

通過上述文獻可以看到，ACMM控制對象是高維的多輸入多輸出系統，傳統上多采用LQR方法，但LQR方法面臨著加權矩陣選擇的問題，一般靠試湊來獲得加權陣，通過設計與仿真的反復迭代以達到滿意的控制效果，矩陣的選取缺乏理論依據。大型航天器系統控制維數高，控制狀態變量中的姿態角和角速度與系統角動量在數值量級上相差能達到5個量級以上，采用LQR方法一次性進行控制器設計時，還常常會導致數值計算奇異問題[4,9]。

針對上述傳統方法遇到的問題，本文提出一種新的控制器設計方法，通過線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)描述系統期望的極點配置區域，同時滿足不確定系統一定的魯棒穩定要求；通過求解LMI問題得到控制器，避免了傳統LQR方法中加權矩陣的選擇，彌補了帶極點配置的LQR方法由于分步設計而導致極點難以配置在指定梯形區域的不足；通過符號矩陣和求解Lyapunov方程將原系統解耦為維數較低的子系統，經過多步設計實現極點的逐步配置，避免高維矩陣求解中的數值奇異問題。

1 系統模型

1.1 動力學模型

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

CMG動力學可表示為：

(6)

(7)

(8)

在小角度情況下，從體坐標系oxbybzb內的轉動慣量Jb到Jo的轉換可近似為：

(9)

(10)

(11)

式中：常值Ai(i=0,1,2)為由三軸分量構成的向量。

重力梯度力矩為：

(12)

將式(9)代入式(12)得：

(13)

由式(2)、(4)和(13)得如下動力學方程：

(14)

將式(5)、(7)和(9)代入式(8)并忽略小量高階項得到如下運動學方程：

(15)

聯合式(6)、(14)和(15)，得到線性化的 ACMM 狀態空間模型為：

(16)

1.2 基于內模原理的控制模型

(17)

2 控制器設計

2.1 基礎引理

定義1[10].對于復平面中的區域D，如果存在一個對稱矩陣L∈Rm×m和矩陣M∈Rm×m，使得

(18)

定理1[10]在給定2個LMI區域D1和D2的情況下，矩陣A同時是D1-穩定和D2-穩定的充要條件是存在對稱正定矩陣X，使得

(19)

考慮如下不確定系統：

(20)

式中:x(t)為系統的狀態變量；u(t)為系統的控制輸入；v(t)為干擾項，Δ是一個反映模型參數不確定性的未知矩陣，并假設其滿足ΔTΔ≤I。A、H、E、B為相應維數的常矩陣。

定理2 對于式(20)定義的系統，采用狀態反饋u(t)=Kx(t)，將極點配置在由條形區域和扇形區域共同構成的梯形區域內(如圖1)且保證一定魯棒穩定性的充要條件是：存在標量ε>0和一個對稱正定矩陣X、矩陣W同時滿足

(21a)

(21b)

反饋增益矩陣為K=W/X。

圖1 極點配置的梯形區域

證明：由定理1及參考文獻[10]可知，矩陣A的特征值位于區域D1(條形)和D2(扇形)組合而成的梯形區域內的充要條件是存在對稱正定矩陣X，同時滿足

對系統(20)引入狀態反饋u(t)=BKx(t)，同時使其在區域D1內具有一定的魯棒穩定性，上面兩式可變為

(Ⅰ)

(Ⅱ)

其中，A1=A+BK+HΔE；A2=A+BK，對式(Ⅰ)分解可重新寫成

由文獻[10]可知，上式對滿足ΔTΔ≤I的所有不確定矩陣Δ成立當且僅當存在標量ε>0，使得

整理上式并聯立式(Ⅱ)可得

記W=KX，并應用矩陣Schur補性質可得與上面兩式等價的式(21)。定理得證。

定理3[4,11]定義變量h∈R，矩陣A∈Rn×n的特征值為λi(i=1,…,n)，令A0=A-hIn×n，In×n為n×n單位陣，下面給出2個矩陣符號函數的定義：

sign+(A0)=1/2[In×n+sign(A0)]

(22a)

sign-(A0)=1/2[In×n-sign(A0)]

(22b)

定義矩陣

(23)

式中：S1=ind[sign+(A0)]∈Rn×n1；S2=ind[sign-(A0)]∈Rn×n2，ind(·)表示(·)的線性無關列向量集合，n1+n2=n。

2.2 基于LMI的控制器設計

(24a)

矩陣B轉化成

(24b)

(25)

(26)

(27a)

(27b)

(28)

綜上兩步設計，累計狀態反饋增益矩陣為：

Kc=-[K(1)+K(2)(T(2))-1](T(1))-1

(29)

此時閉環系統矩陣(A-BKc)的特征值位于圖1所示的陰影區域內。

3 數學仿真

仿真時穩定裕度-h2取0.25ω0，阻尼角α取45°，-h1取值為3.6ω0。設置實數h=-0.5ω0，將原系統分為了3維(h左側)和21維的子系統，通過控制器多級設計最終極點配置結果如表1、圖2和3。

表1 閉環極點(/ω0)

圖2(a) 第1步設計后閉環系統極點和原系統開環極點對比

圖2(b) 第1步設計后閉環系統極點分布

圖3 第2步設計后閉環系統極點分布

從圖3中可看到所有極點均被配置到了復平面虛軸左邊0.25ω0～3.6ω0，且上下張角±45°的梯形區域內。圖4～6分別為姿態角、姿態角速率和CMG角動量時域響應曲線，基本在2個軌道周期附近達到穩定狀態。從圖4可以看到，仿真結果與前面理論計算分析的結果相符，穩態時x0軸姿態具有均值為0°、幅值為0.36°的正弦振動；y0軸姿態偏置接近-8.861°(與前面理論結果一致)，以消除重力梯度力矩和干擾力矩常值造成的角動量累積；z0軸姿態角趨于0°。圖5顯示空間站三軸姿態角速率也處于較小的量級以內。從圖6中還可以看出CMG角動量呈周期性波動，可以消除一部分周期性干擾對姿態的影響，但并沒有角動量的積累，所以本文設計的帶極點配置的控制器可以達到角動量管理的目的，并得到了預期的結果。

圖4 姿態角

圖5 姿態角速率

圖6 CMG角動量

從表2對比可看出，2種算法下穩定時間、俯仰角超調量以及穩態時偏航與俯仰角變化范圍基本一致；相比文獻[8]中最新方法，本文算法下角動量超調增加約5%，但是穩態時角動量幅值減小約19%。而且相較LQR算法，本文基于LMI算法的區域極點配置還考慮了不確定系統的魯棒穩定性；同時通過求解LMI問題實現了梯形區域極點配置，避免了帶極點配置的LQR算法中求解Riccati方程時容易遇到的數值奇異問題，以及彌補了LQR算法中扇形區域右邊界上限難以事先指定的不足，所以本文方法在取得較好的控制效果的同時更具一般性。

表2 不同算法性能比較

4 結論

針對大型航天器姿態與角動量管理控制問題，基于線性矩陣不等式方法進行了其姿態角動量管理控制器的多級設計。基于矩陣符號函數將高維被控系統解耦為維數較低的子系統，避免了一次性進行反饋增益陣求取時可能遇到的數值奇異問題，采用凸線性矩陣不等式進行系統多目標約束描述，實現了系統極點在指定梯形區域的極點配置，彌補了傳統LQR方法加權矩陣的選取和迭代試湊的問題，以及帶極點配置的LQR算法因分步設計而無法進行指定封閉區域極點配置的不足，實現了系統動態、穩態性能以及魯棒穩定設計，仿真驗證了控制器的有效性。