基于相平面控制的固體火箭快速精確入軌策略

吳 楠 張 力

1.戰略支援部隊信息工程大學，鄭州 450001 2.西安衛星測控中心著陸場站，渭南 714000

隨著空間技術的不斷發展，其軍事應用正從空間支援向空間作戰轉變[1]，某些特殊任務要求載荷要以同時滿足終端位置和速度矢量(即六軌道根數)約束條件下直接入軌，做到“快速精確進入空間”。固體小型運載火箭是實現這一要求的有效途徑，但對入軌彈道規劃提出了新的要求。

固體小型運載火箭的入軌彈道規劃，一般有以下2種方法：a)以滿足入軌點約束、燃料最省為性能指標，基于彈道計算模型，采用數值優化算法對飛行程序參數進行尋優，進而獲得最優入軌彈道[2-4]；b)在原始彈道的基礎上，入軌段彈道采用迭代制導方法，控制火箭以滿足終端約束入軌[5-7]。以上2種方法均對某種性能指標(通常為燃料最省)具有最優性，但無法達到以滿足六軌道根數約束快速進入空間的要求：對于前者，任務的不確定性導致入軌條件不斷變化，較長的規劃迭代時間影響了方法的快速響應性，且六軌道根數約束過強(通常為3到5個)，全局最優解不一定存在；而對于后者，只能控制推力方向無法改變推力大小的推力模式決定了該方法無法對入軌點x方向位置分量進行控制，即無法以滿足六軌道根數約束精確入軌。

本文提出了一種基于相平面控制的入軌彈道設計策略，假設運載火箭采用四級固體發動機，其中前面三級采用固定飛行程序[8]，四級飛行段作為入軌段，基于相平面原理提出并證明在入軌段經過2次恒定方向推力可使火箭以滿足位置和速度矢量約束直接入軌，并給出火箭入軌段初始點與入軌點狀態所需滿足的條件。進而推導了初始點及入軌點狀態與推力方向角的關系方程組，采用數值方法求解該方程組獲得彈道設計需要的推力方向角。

1 2次恒定加速度的相平面控制策略

僅考慮火箭的質心運動，不考慮繞心運動，即可以把火箭簡化為一質點，通過改變過質心的火箭發動機推力方向對該質點的運動進行控制，控制量為推力方向角(俯仰和偏航)。

對于該種情況，火箭入軌段的相平面控制策略為：假設入軌段飛行時間已知，將入軌點狀態反向軌道積分至入軌段飛行初始時刻，得到一個“虛目標”的初始位置速度狀態，基于相平面的bang-bang控制原理對火箭與虛目標間的相對運動進行控制，經過2次恒定方向推力使得當入軌段飛行結束時，火箭與虛目標相對運動相平面的相點運動到坐標原點，即相對位置速度均為0，此時火箭自然以滿足終端位置和速度矢量約束入軌。

為了便于闡述2次恒定方向推力的相平面控制入軌策略，首先引入以下簡化假設：a)引力加速度為常值；b)質量恒定，恒定推力即為恒定加速度；c)火箭在發射慣性系的xoy平面內運動，決定推力方向的姿態角僅為俯仰角φ。

“虛目標”其實就是在目標軌道上運行的虛擬載荷，只受地球引力作用，且經過入軌段飛行時間T后，“虛目標”與入軌點狀態保持一致。因此若已知入軌點的狀態XTf(位置、速度)，可反向軌道積分獲得虛目標在火箭入軌段飛行開始時刻的狀態XT0，與火箭開始時刻的狀態XM0相減，得到火箭與虛目標的相對狀態X0=XM0-XT0。相應的相對動力學方程為

(1)

式中:r表示發射慣性坐標系下火箭與虛目標的相對位置矢量;aM和aT分別表示該坐標系下的火箭加速度矢量和虛目標加速度矢量。由于虛目標無推力，且火箭與虛目標的距離較近，可認為二者引力加速度相等，根據假設xoy平面內相對動力學方程的標量形式為

(2)

式中:a表示常值火箭推力加速度。

當火箭姿態角恒定時，根據式(2)可分別得到相對運動x和y軸過相平面原點的相軌跡方程

(3)

式(3)表明φ值的不同取值使得過原點的相軌跡為一簇拋物線，φ值決定了拋物線開口的大小。

(4)

必存在一個φ值

(5)

(6)

(7)

以上推導說明對于無法改變推力大小、只能改變推力方向的火箭入軌飛行段，利用傳統bang-bang控制(一次恒定方向推力)只能對某一坐標軸的位置和速度進行控制，入軌點約束無法全部滿足。

為了解決這個問題，對傳統相平面法的控制方式進行擴展，在整個入軌飛行段，進行2次恒定姿態角的常加速度控制，控制時間分別為T1和T2，二者滿足T1+T2=T，相應的俯仰角分別為φ1和φ2，是可以調整的參數。當x軸和y軸相平面的初始相點滿足一定條件時，通過對參數(T1、φ1和φ2)的調整，可使2個相平面的相點同時到達原點。下面給出x軸和y軸相平面的初始相點所需滿足的條件。

(8)

(9)

將式(9)等式兩側分別平方，位置和速度項分別相加可得

(10)

(11)

圖1 P、V隨Δφ和T1變化的曲面

圖2 P、V的等值線

(12)

由上述兩個條件所確定的y軸相平面初始相點取值范圍與式(7)相比有了很大的擴展，x軸和y軸相平面的初始相點選取具有一定的自由性，因此2次恒定姿態角的常加速度控制方法具有實用性。對滿足條件的x軸和y軸相平面的初始相點，利用該方法通過對參數(T1、φ1和φ2)的選擇，可使2個相平面的相點同時到達原點，即相對位置速度均為0，保證火箭入軌時終端位置和速度矢量約束同時滿足。

2 三維空間變質量條件下的姿態角解算

在固體火箭入軌飛行段，火箭在三維空間運動，姿態角不僅包括俯仰角φ，還有偏航角ψ，且火箭的質量是變化的，若假設質量變化率恒定，則加速度按雙曲線規律變化。將2次恒定加速度的相平面控制方法用于火箭入軌飛行段彈道設計，需對方法進一步擴展：a)2段的姿態角控制參數為(φ1、ψ1)，(φ2、ψ2)；b)為便于公式推導與分析，根據視速度與時間的一一對應關系，采用視速度模量耗費量[9]W1和W2代替時間T1和T2作為控制變量。

(13)

假設初始時刻視速度模量耗費量W0=0，2次恒定姿態角推力控制結束時的視速度模量耗費量分別為W1和W2

(14)

式中：m0為火箭初始時刻質量。當入軌段飛行時間T固定時，W1和W2不獨立，兩者的和為定值

(15)

經過2次恒定姿態角的推力控制后，x軸方向的相對位置速度與(W1,φ1,φ2,ψ1,ψ2)的關系為

(16)

(17)

同理可得y和z軸初始相對狀態與控制參數的關系

(18)

式中

(19)

與第1節類似，當初始相對位置速度滿足式(20)，且PI和VI值較為接近時，則存在方程組(17)和式(18)的一組解(W1,φ1,φ2,ψ1,ψ2)，可使3個坐標軸相平面的相點同時到達原點，在三維空間中保證火箭入軌段飛行結束時終端位置和速度6個分量的約束同時滿足。

(20)

方程組(17)和式(18)無法直接求解，建立無量綱化指標函數

J=((x0-Cx)/Re)2+((y0-Cy)/Re)2+

(21)

采用數值方法尋優的關鍵是給出合理的設計變量初值，假設2次推力方向均與待增速度矢量相同，則初值可用式(22)計算

(22)

當獲得火箭入軌飛行段初始狀態XM0、入軌點狀態XTf和飛行時間T后，利用本節算法進行推力姿態角解算的流程為：

(a)將入軌點狀態反向軌道積分至入軌段飛行初始時刻，得到虛目標的初始狀態XT0；

(c)利用式(20)計算PI和VI值，如果滿足式(20)，說明解存在，轉入下一步；如果不滿足，說明需要消除的相對偏差量大于火箭擁有的視速度模量耗費量，即相對偏差過大已超出了火箭的修偏能力，方程無解，此時應重新設計初始點或入軌點，以減小相對偏差，或增加視速度模量耗費量，以增大火箭修偏能力，改變幅度至PI和VI值滿足式(20)止；

(d)若解存在則利用式(22)求出設計參數(W1,φ1,φ2,ψ1,ψ2)的初值；

3 仿真驗證

根據初始相對狀態計算PI=0.9854，VI=0.9719，可知解存在，然后利用式(22)求出設計參數的初值如表2，采用數值方法進行參數尋優，獲得最優的設計參數值(見表2)，相應的指標函數極小值為Jmin=1.135×10-10，可知此時對應的設計參數即為方程組的解。

將優化的設計參數代入火箭入軌飛行段的彈道計算，得到火箭的實際入軌點狀態和入軌點偏差如表1，可知精度滿足入軌要求。圖3～5給出相對運動3個坐標軸方向的相軌跡曲線，可以看出每個方向的相軌跡均由2段曲線拼接組成，相點經過2次轉移最終同時到達原點，火箭的終端位置速度約束同時得到滿足。

表1 仿真算例中各狀態參數

表2 設計參數的初值和優化值

圖3 x方向相對運動的相軌跡

圖4 y方向相對運動的相軌跡

圖5 z方向相對運動的相軌跡

對于本文算例，采用迭代制導方法進行入軌計算，與本文算法進行比較分析。制導結束時火箭狀態參數以及入軌偏差結果如表1所示，整個制導時間為69.12s，推力方向角俯仰角由-24.6(°)近似線性變化至-47.5(°)，偏航角由2.6(°)近似線性變化至-9.6(°)。對比二者結果可知：迭代制導方法的位置誤差要顯著大于本文算法，尤其是x方向位置誤差較為明顯，但迭代制導方法所需時間較本文算法少0.88s，即燃料可節省10.2kg，且迭代制導方法的推力方向角為連續變化，更易進行控制。

4 結論

1)對于無法改變推力大小、只能控制推力方向且飛行時間固定的火箭入軌飛行段，證明了經過2次恒定方向推力使火箭以同時滿足位置和速度矢量(即6軌道根數)約束直接入軌的可行性，并推導出火箭初始狀態與入軌點狀態所需滿足的條件；

2)為保證火箭以滿足6個軌道根數約束直接入軌，提出一種基于相平面控制原理的入軌段彈道設計方法，通過2次恒定方向推力控制使火箭在入軌段飛行結束時直接入軌，入軌精度滿足要求；

3)推導了火箭初始狀態、入軌點狀態與控制參數(視速度模量耗費量和推力方向角)的關系方程組，采用參數尋優的數值方法對方程組進行求解以獲得彈道計算所需的控制參數。由于本文算法明確定義了控制方式，使解的范圍大大縮小，且獲得了輸入變量與輸出變量間的解析表達式，因此與傳統軌跡優化方法相比，本文算法在控制參數的解算上更為簡便和穩健，極大地縮短了彈道設計的耗時；

4)本文算法是以放棄燃料最省的最優性換取對6個要素的控制，且對滿足一定條件的初始狀態才有解，因此與迭代制導方法的結論并不違背。本文算法兼有能量管理[11]的目的，保證火箭入軌的同時發動機消耗掉多余燃料，實行耗盡關機，簡化了入軌級發動機的設計。