基于馬爾科夫獎勵過程的牽引系統可靠性評估

李小波， 褚 敏， 陸朱劍， 程岳梅， 田世賀

(上海工程技術大學 城市軌道交通學院， 上海 201620)

0 引 言

地鐵列車牽引系統是保證地鐵安全可靠運行的關鍵系統，對牽引系統的可靠性評估有利于提高地鐵的安全性能，改進安全維修周期，節約人力物力成本。趙峰等人[1]通過對動車組列車牽引傳動系統分層分析，以組合賦權法計算指標層組合權重，最終采用模糊灰色聚類法完成了對系統的健康狀態評估；曹茜等人[2]根據CRH3型動車組的運行歷史數據，結合蒙特卡羅模擬-元胞自動機(MCS-CA)算法，分析計算了牽引傳動系統不同狀態下的可用度變化；孟輝苓等人[3]分析對比系統關鍵器件不同的故障機理從而得到牽引逆變系統的可靠性邏輯表達式，建立了城軌列車牽引逆變系統的可靠性評估模型；宋永豐等人[4]通過分析牽引傳動系統各部件對系統的影響程度及可靠性邏輯關系，建立了牽引傳動系統的可靠性模型，并采用專家評分分配法對各部分完成了可靠性分配，對地鐵列車牽引系統的可靠性評估有參考意義；趙瓊[5]采用故障樹分析法對牽引供電系統接觸網開展了定性和定量分析，并結合馬爾科夫模型考慮維修因素對接觸網系統進行可靠性分配；鄭彥濤[6]從系統檢修的角度，考慮系統設備的重要度對動車組系統功能進行層次分析，建立了列車系統維修可靠性模型。

既有文獻在進行牽引系統可靠性評估時未全面考慮各子系統對整個系統的影響程度，不同子系統權重不同，對于整個系統的狀態評估影響不同。因此，本文通過對牽引系統進行層次分析確定系統的可靠性評估指標，并計算不同子系統對于牽引系統的組合權重，進而確定進入故障狀態的獎勵系數，采用馬爾科夫獎勵過程分析牽引系統考慮不同衰減系數，建立了地鐵列車牽引系統可靠性評估模型。

1 基本理論

1.1 系統可靠性

可靠性是指在規定條件下和規定時間內完成規定功能的能力，是系統綜合性能的體現。維修可靠性參量主要有可靠度、故障率、修復率、可靠壽命、失效前平均工作時間等，本文在建立牽引系統可靠性評估模型時主要用到故障率以及修復率兩個可靠性參量。

故障率是指工作到某時刻t時尚未發生故障的產品，在t時刻以后的下一個單位時間內發生故障的概率，也稱失效率。記為λ(t)；λ(t)的數學定義可表示為：

(1)

其中，Δn(t)指到t時刻為止處于故障狀態的產品數，R(t)指起始時刻處于工作狀態的產品數。

修復率是指維修時間已達到某一時刻t但尚未修復的產品，在t時刻后的下一個單位時間內完成修復的概率[7], 記為μ(t)。μ(t)的數學定義可表示為：

(2)

其中，ΔM(t)表示到t時刻為止被修復的產品數，G(t)指從起始時刻處于故障狀態及到t時刻為止新發生故障的產品數之和。

1.2 層次分析法

層次分析法的基本思想是將復雜系統劃分成多個子系統、歸結為多個影響因素，并將相同子系統的每一個影響因素相互對比、判斷和計算以得到不同子系統對于整個系統的權重，給系統狀態分析提供參考。具體實施步驟如下：

步驟1將目標系統分層分析構建出系統結構模型，并將其影響因素作為指標層，自底而上分析系統性能。

步驟2判斷指標層每個因素之間的相對重要性，比例標度法取值及定義見表1，由此構造出判斷矩陣R。

表1 比例標度法取值及定義

步驟3采用公式CR=CI/RI對判斷矩陣R進行隨機一致性檢驗。其中，CR為判斷矩陣R的一致性比率，CI為一致性指標，CI=(λmax-n)/(n-1)，RI表示其平均一致性指標，多階成對比較矩陣RI的取值見表2。由表2判斷RI的取值。

表2 多階成對比較矩陣RI的取值

Tab. 2 The value of the multi-order pairwise comparison matrixRI

N12345678RI000.580.91.121.241.321.41

步驟4自適應滿足步驟3一致性檢驗后，由公式RZ=λmaxZ求解組合權重，其中λmax表示R的最大特征根，Z為λmax的對應特征向量。

當n≥3且0

(3)

其中，

(4)

1.3 馬爾科夫獎勵過程

設{X(t),t≥0}表示在評估系統時取值在有限個系統狀態集S={0,1,…}上的一個隨機過程，其中X(t)表示系統在t時刻所表現出的狀態。若對于在任意自然數n以及任意時刻點0≤t1

P[X(tk+1=j)|X(tk+1=i)]=Pij,

(5)

考慮到進入不同系統狀態的影響，在馬爾科夫過程的基礎上增加狀態獎勵Ms和衰減系數γ。Gt表示整個馬爾科夫獎勵過程從時刻t開始所有獎勵并帶有衰減的總和。研究推得其數學公式為：

(6)

Ms=E{Mt+1|St=S}表示在{X(t),t≥0}狀態下某時刻t處進入下一個時刻t+1能獲得的期望獎勵。其中,衰減系數γ∈[0,1]表示之后的獎勵在當前狀態的價值比例，在t+1時刻獲得的獎勵M在t時刻的體現出的價值γkM，價值評估函數v(s)給出了某一狀態的價值，其公式即如式(7)所示：

v(s)=E[Gt|St=s]=

E[Mt+1+γMt+2+γ2Mt+3+…|St=s]=

E[Mt+1+γ(Mt+2+γMt+3+…)|St=s]=

E[Mt+1+γGt+1|St=s]=

E[Mt+1+γv(St+1)|St=s],

(7)

用s′表示s狀態下一時刻的任何可能的狀態，則價值評估方程表達為：

(8)

研究可知，v=M+γPv經變換后得到：

v=(1-γP)-1M.

(9)

在對系統進行價值評估時，必須確定不同狀態的獎勵系數以及衰減系數。在確定獎勵系數時容易受到主觀判斷的影響，不合理的獎勵系數會使得評估系統價值的結果產生很大誤差，故將1.2節中所求綜合權重a作為獎勵系數。若衰減系數γ接近0，表明本次為近似性評估，γ愈靠近1，則表明偏重考慮遠期的利益。因此分別選取0.2,0.5,0.9作為衰減系數從不同角度考慮評估系統價值。

2 牽引系統可靠性評估模型

2.1 可靠性指標計算

地鐵列車牽引系統可分為受電弓模塊、斷路器模塊、牽引逆變模塊、牽引電機模塊以及控制模塊等5個模塊。其中，受電弓模塊故障形式主要有升降弓機械故障以及電機損壞、絕緣子失效、碳滑板磨損到限等；斷路器模塊故障形式主要有輔助觸點故障、控制線圈燒損故障、機械結構故障等；牽引逆變模塊故障形式主要是二極管擊穿導致IGBT損壞；牽引電機模塊故障形式主要有電機速度傳感器故障、電機損壞不能運行等；控制模塊故障形式主要有軟件缺陷、電氣零部件老化或質量問題造成的故障；在處理故障數據時以上述故障形式為基準計算各模塊的故障率以及修復率。

2.2 牽引系統的可靠性層次分析

利用層次分析法對地鐵列車牽引系統進行分析時，考慮到各模塊的元件十分復雜并大都相互關聯，如果采用元器件級的評價指標進行系統可靠性評估，會使得整個系統的可靠性評估過程冗長且不準確。故從各個模塊的工作環境、重要程度、復雜程度以及技術成熟程度等方面綜合評估系統的可靠性，共分為系統層、模塊層以及指標層三層。地鐵列車牽引系統分層建模分析結構圖如圖1所示。由圖1可知，系統層用于表達系統狀態，模塊層為系統各模塊的狀態評估，指標層考慮不同模塊的組成特性、運行環境等確定評價指標。自底向上逐層分析，確定各模塊對于牽引系統的權重值，即獎勵系數M。

圖1 地鐵列車牽引系統分層分析結構圖

Fig. 1 Hierarchical analysis structure diagram of subway train traction system

2.3 馬爾科夫獎勵過程可靠性評估

根據系統狀態轉移圖求解狀態轉移概率方程組：

(10)

圖2 牽引系統馬爾科夫狀態轉移模型

為了求得穩態概率，令Δt→0，得到線性方程組矩陣為：

且∑Pi=1,

(11)

求得：

(12)

結合公式(9)得到牽引系統的穩態可靠度，即：

(13)

3 實例分析

3.1 可靠性評估參數的確定

牽引系統是一個極其復雜的系統，在分析系統可靠性時，考慮系統各模塊的復雜程度、重要程度、技術成熟程度、工作環境來自底向上分析整個系統的可靠性。根據文獻[4]得到表3，以表3的數據為參考構建判斷矩陣來進行層次分析。

表3 可靠性評估指標

構建判斷矩陣時，對受電弓模塊而言，可得：

求解R的最大特征值λmax=4.027 7,CI=0.009 2。

檢驗計算得CR=0.001滿足要求，所以相應的權重值就是對應的特征向量。研究得到：

z1=[0.435 2,0.123 3,0.435 2,0.778 5]，

同理求得：

z2=[0.166 1,0.278 7,0.482 6,0.813 5]，

z3=[0.813 5,0.278 7,0.482 6,0.166 1]，

z4=[0.250 5,0.467 4,0.250 5,0.809 9]，

z5=[0.827 3,0.146,0.522 4,0.146]

根據式(3)計算得到：

a1=0.5,a2=0.5,a3=-0.6,a4=0.5,a5=0.5，

即：

z0=[0.5,0.5,-0.6,0.5,0.5]，

最終計算可得a0=0.2，即M0=0.2。

3.2 可靠性評估

以某地鐵線路AC車型2015年列車故障數據作為參考，考慮不同時期的系統可靠性變換，分別設γ=0.2/0.5/0.9對應從短期、中期、長期的角度評估牽引系統可靠性變化趨勢。牽引系統可靠度評估對比結果如圖3所示。

圖3 牽引系統可靠度對比圖

不難看出，不同考慮角度的系統可靠度下降趨勢一致，考慮長期系統狀態可靠度下降較前兩種緩和一些，3種時期系統可靠度都在30天后下降趨于平緩。對比3種曲線，為確保行車安全，應選擇考慮短期利益的近似性評估作為檢修計劃的參考標準，當系統可用度降低到0.9時作為檢修閾值，對應圖3得到：當可用度降低到0.9時為3.5天，故針對該線路牽引系統的故障數據，應設立檢修周期為3天作為牽引系統檢修計劃制定的參考。

4 結束語

本文通過對系統進行層次分析確定系統的可靠性評估指標，并利用層次分析法計算組合權重確定獎勵系數，采用馬爾科夫獎勵過程考慮不同衰減系數建立地鐵列車牽引系統可靠性評估模型，最終研究確定衰減系數γ=0.2，獎勵系數M=0.2作為可靠性評估最優參數，該分析方法對地鐵列車的維護保障、維修決策具有重要的參考意義。