基于Simulink仿真的線性三自由度汽車操縱模型

嚴 帥， 張緩緩， 高 超， 李慶望

(上海工程技術大學， 上海 201620)

0 引 言

線性二自由度汽車模型雖然可以用于研究汽車操縱穩定性的基本特性[1]，但是只能反映汽車的縱向運動和橫擺運動，當涉及到汽車側翻時，此時必須考慮車身的側傾效應，二自由度汽車模型不再能滿足需求，因此，必須建立包括車身側傾的三自由度汽車模型來同時表達汽車的側向運動、橫擺運動和側傾運動，例如文獻[2-4]以三自由度汽車模型作為控制模型，基于主動轉向和直接橫擺力矩的聯合控制，提高了整車的抗側翻能力。

二自由度汽車模型的理論基礎已經很成熟，然而三自由度汽車模型因為涉及到車身的側傾，需要用到更多的參數，不同的文獻給出的數學表達式并不一致，喻凡等人[5]將汽車分為簧上、簧下前軸、簧下后軸三部分，并給出了考慮車身側傾的三自由度汽車模型，然而公式很復雜，部分參數也難以獲取。郭孔輝[6]將汽車分為簧上、簧下兩部分并引入很多算子系數來表達汽車模型，雖然數學表達式簡單，但是每一個算子系數卻并不容易計算。在實際建模過程中，獲取汽車參數的難度在一定程度上也代表了模型的復雜程度，因此本文在相關文獻的基礎上，簡化了三自由度汽車模型的數學表達式，使其更容易理解和應用，并與二自由度汽車模型在不同工況下進行了仿真對比。

1 低自由度汽車操縱模型的建立

低自由度汽車操縱模型包括線性二自由度汽車模型和線性三自由度汽車模型，雖然模型簡單，但是基本可以概括汽車的操縱特性，并由此引出汽車轉向特性的概念，定義汽車的不足轉向和過度轉向[5]，而且建立低自由度汽車操縱模型也為建立更復雜的汽車模型提供了理論基礎。

1.1 線性三自由度汽車模型

線性三自由度汽車模型如圖1所示，其基本理論最初出現于1956年的美國康乃爾實驗室，因為考慮到車身的側傾影響，相對于二自由度汽車提高了模型精度。在建立三自由度汽車模型時，應將其分為簧上和簧下兩部分并作以下假設：

(1)汽車縱向車速保持不變，前輪轉角不大。

(2)汽車的垂直振動影響忽略不計。

(3)汽車的側向加速度限定在0.4 g以下，輪胎側偏特性處于線性范圍。

(4)汽車不受空氣動力作用，驅動力不大。

取固結于汽車上的動坐標系oxyz為車輛坐標系，根據右手定則[1]，汽車靜止時，坐標系原點o與汽車質心重合；x軸指向前方為正；y軸指向駕駛員的左側為正；z軸通過汽車質心，指向上方為正。

圖1 線性三自由度汽車模型

在這樣的坐標系下，汽車質心處的側向加速度和簧上質量質心處的側向加速度分別為：

(1)

(2)

其中，vx為汽車縱向車速；vy為汽車側向車速；ωr為汽車的橫擺角速度；hs為汽車簧上質量質心到側傾軸線的距離；φ為側傾角。

考慮到前輪轉角δ不大，即cosδ≈1，根據達朗貝爾原理，則可以列出線性三自由度汽車模型的運動微分方程。

汽車沿y軸的側向運動為：

(3)

汽車繞z軸的橫擺運動為：

(4)

汽車繞x軸的側傾運動為：

(5)

其中，m為汽車質量；ms為汽車簧上質量；Fyf為汽車前輪受到的側向力；Fyr為汽車后輪受到的側向力；a為汽車質心到前軸的距離；b為汽車質心到后軸的距離；g為重力加速度；Iz為汽車繞z軸的轉動慣量；Ixz為汽車繞x軸和z軸的質量積；Isx為汽車簧上質量繞x軸的轉動慣量；K為汽車的等效側傾剛度；C為汽車的等效側傾阻尼。

考慮到Ix為汽車繞x軸的轉動慣量并且Ixz的數值為0，可以得到：

(6)

側向力Fyf、Fyr可以表達為：

(7)

其中，kf、kr分別為汽車前、后輪的側偏剛度；αf、αr分別為汽車前、后輪的側偏角。

考慮到汽車側傾時懸架的變形作用導致的側傾轉向、側傾外傾、變形轉向和變形外傾以及汽車本身的幾何關系，汽車前、后軸的側偏剛度αf、αr為:

(8)

其中，Ef、Er為汽車前、后軸等效側傾轉向系數；δ為汽車前輪轉角。則由式(3)～(8)可以整理得三自由度汽車模型方程為：

(9)

其中，β為汽車的質心側偏角，大小為:

(10)

在Simulink中搭建的三自由度汽車模型如圖2所示。

1.2 線性二自由度汽車模型

線性二自由度汽車模型[1]如圖3所示，只考慮汽車的側向運動和橫擺運動，其數學表達式為：

(11)

取X=(βωr)T為狀態變量，將式(11)改寫為狀態方程形式:

圖2 三自由度汽車模型的Simulink模塊

圖3 線性二自由度汽車模型

(12)

(13)

(14)

(15)

在Simulink中以狀態方程形式搭建的二自由度汽車模型如圖4所示，仿真參數可以編寫成M文件輸入到Matlab工作空間中。

圖4 二自由度汽車模型的Simulink模塊

2 仿真驗證

汽車的轉向特性與汽車的操縱穩定性密切相關，本文分別在車速為48 km/h、72 km/h和96 km/h，前輪轉角δ=1°時對比線性二自由度汽車模型和線性三自由度汽車模型的角階躍輸入響應。仿真模型的主要參數取自“紅旗”CA770汽車[6]，見表1。

表1 汽車模型的主要參數

注：低自由度汽車模型是單軌模型，其側偏剛度為汽車實際側偏剛度的2倍。

(1)車速為96 km/h的仿真結果，見圖5。

(a) 橫擺角速度曲線 (b) 質心側偏角曲線

(2)車速為72 km/h時的仿真結果，見圖6。

(3)車速為48 km/h的仿真結果，見圖7。

圖5、圖6和圖7中的(a)、(b)分別表示汽車在前輪轉角為1°，車速分別為96 km/h、72 km/h和48 km/h時的橫擺角速度時間響應曲線和質心側偏角時間響應曲線，實線表示三自由度汽車模型(3-DOF)，虛線表示二自由度汽車模型(2-DOF)。從仿真結果中可以看出，三自由度汽車模型的響應更收斂，這是因為三自由度汽車模型考慮了車身的側傾效應；但是與二自由度汽車模型的區別并不大，曲線趨勢也大致相同，說明本文建立的三自由度汽車操縱模型是比較準確可靠的，基本可以反映出汽車的操縱特性；同時也可以看出，隨著車速的提高，橫擺角速度和質心側偏角的穩態響應值逐漸變大，而且剛進入轉彎行駛時的波動也變大了，說明車速越高，汽車越趨于不穩定行駛。

(a) 橫擺角速度曲線 (b) 質心側偏角曲線

(a)橫擺角速度曲線 (b) 質心側偏角曲線

(4)不同車速下三自由度汽車模型的側傾角變化，變化曲線見圖8。

圖8 不同車速下3-DOF的側傾角曲線

圖8給出了三自由度汽車模型在不同車速下的側傾角時間響應曲線，實線表示車速為96 km/h；點劃線表示車速為72 km/h；虛線表示車速為48 km/h。從圖8中可以看出，隨著車速的提高，汽車側傾角的瞬態響應曲線不斷變陡，穩態響應值也逐漸增加，說明汽車的側傾現象在不斷加劇，這告誡人們在正常行車時，一定要注意安全，千萬不能高速行駛。

3 結束語

(1)改進了三自由度汽車模型的數學表達式，降低了因參數過多過繁而導致的模型復雜程度，使其更容易理解和應用。

(2)對比了在不同車速下低自由度汽車模型的角階躍輸入響應，結果表明，本文建立的三自由度汽車模型是準確可靠的，基本可以反映出汽車的操縱特性。

(3)三自由度汽車模型可以反映汽車車身的側傾狀態，有利于研究汽車的側傾穩定性，而且汽車轉彎行駛時隨著車速的提高，汽車車身的側傾狀態越來越嚴重。