對一道高考題的分析與拓展

洪秀成

江西省九江市第七中學 (332001)

1.試題呈現

(2022年高考數學新高考Ⅰ卷第22題)已知函數f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值．(1)求a;(2)證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．

本題主要考察了函數的單調性和極值、等差數列、函數的零點存在定理、函數的同構等知識;考察了分類討論、數形結合、轉化與化歸、函數與方程等數學思想;考察了推理論證、運算求解、抽象概括等關鍵能力;考察了邏輯推理、數學運算等核心素養.本題在知識層面、能力立意、創新要求等方面都有所體現,能很好的發揮數學試卷在高考中的選拔功能.

2.解法探究

證法2：由(1)知,f(x)=ex-x在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增,且當x→-∞時,f(x)→+∞,當x→+∞時f(x)→+∞;g(x)=x-lnx在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,且當x→0時,g(x)→+∞,當x→+∞時g(x)→+∞;且f(0)=g(1)=1,因此存在x0∈(0,1),使得f(x0)=g(x0).令b=f(x0)=g(x0),則直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,依次記為x1,x0,x2(其中x1<0

3.試題背景分析

本題以同底的指數函數、對數函數互為反函數,它們的函數圖象關于直線y=x對稱為起點,考察對稱思想中所蘊含的數量關系,具體過程如下: 直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)交點的橫坐標,也即是方程ex-x=b和方程x-lnx=b的根之間的數量關系.注意到y=ex與y=lnx、y=x+b與y=x-b均互為反函數,借助函數圖象研究交點的橫坐標之間的數量關系,結合對稱性,只需考慮b>0時的情形,具體如下:

如圖1,當0

圖1

如圖2,當b=1時,直線y=x+b與函數y=ex相切,對應的交點的個數為2個,舍去.

圖2

如圖3,當b>1時,直線y=x+b與函數y=ex相交,對應的交點的個數為4個,設A(x1,ex1),B(x2,ex2),C(x3,lnx3),D(x4,lnx4),有對稱性知x1+x4=lnx3+ex2=(x3-b)+(x2+b)=x2+x3,即x1+x4=x2+x3.

圖3

如圖4,特別的,高考題中只需滿足x2=x3時,也即BC垂直于x軸,x1+x4=2x2,從而x1,x2,x4成等差數列.

圖4

4.試題拓展

圖5

圖6

圖7

圖8

“把握數學本質,啟發思考,改進教學”是新課標的重要理念,命題背景的挖掘和解法的探究以及拓展,有助于幫助學生揭示數學問題的本質,啟發學生找到解決問題的正確方向和先進方法,更加深刻地理解問題,提升學生學習數學的興趣,開闊學習數學的視野．為此,一線教師應當把握合適的契機,充分挖掘高考試題中的規律,將命題的本質通過試題解析以及變式拓展等方式呈現給學生,能幫助學生更好的運用數學知識解決問題,形成數學能力,提升數學核心素養．