離散數學中二元關系的教學模式改革探討

李海俠

摘? 要：二元關系是離散數學中的主要內容之一，在數據結構、點集拓撲、近世代數、算法分析和信息檢索等學科中具有非常廣泛的應用。結合信息與計算科學專業特點和作者教學實踐，通過強調應用價值、優化教學內容、豐富教學方法和改進考核方式等不同角度探討二元關系的教學模式改革，從而幫助大家靈活應用二元關系中的知識解決相關問題。

關鍵詞：離散數學;二元關系;應用價值;教學內容;教學方法;考核方式

中圖分類號：G642? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2096-000X（2020）06-0129-03

Abstract： Binary relation is one of the main content of discrete mathematics and is widely used in the fields of data structure， general topology， modern algebra， algorithm analysis and information retrieval. Combining with the characteristic of information and computational science and the author's teaching practice， we discuss the teaching mode reform of binary relation by emphasizing the application value， optimizing teaching contents， enriching teachingmethods and improving assessment ways and so on， and help us better apply binary relation to solve relevant problems.

Keywords： discrete mathematics; binary relation; application value; teaching contents; teaching methods; assessment ways

信息與計算科學是數學、信息科學與計算機科學交叉融合的一門新型學科，其主要對象是信息技術的核心數學基礎以及運用現代計算工具高效求解科學與工程問題的數學理論與方法。該專業利用數學為信息與計算科學構建基礎平臺，采取數學基礎理論和專業實踐相結合的教學方式，注重學生基本技能的培養，重視學生數值分析、計算技術及軟件的學習，確保學生具有強的知識應用能力。離散數學是研究離散量的結構及相互關系的學科，是信息與計算科學專業的專業核心課。隨著計算機科學技術的飛速發展，它的應用體系非常廣泛。學生通過對離散數學的學習，不但在組合分析、算法設計以及應用與建模等方面形成基本的離散思維方法，而且能夠培養學生嚴密的邏輯推理能力，從而為將來從事信息行業的理論研究和應用開發打下堅實的基礎。因此，許多學者對離散數學的相關內容進行了研究[1-12]。二元關系是離散數學課程中的重點和難點內容。我院給信息與計算科學專業開設的許多課程如數據結構、數據庫和近世代數等都與二元關系有關。但是由于二元關系的內容抽象、繁瑣、零散以及證明難，很多學生學習這一章感到非常吃力，導致對內容理解不透徹并且不能靈活應用。因此探討二元關系的有效教學方法是非常有必要的。筆者自2006年以來一直從事信息與計算科學專業的離散數學課程的教學，結合專業特點和社會發展需求在教學過程中不斷積累經驗，對如何改進該課程的教與學尤其對二元關系這一章的教學改革模式進行了深入思索。

一、二元關系的國內研究現狀

二元關系是離散數學集合論中的重要內容，是兩個集合笛卡爾乘積的子集，研究的是一個集合內部或兩個不同集合元素間關系。它與數理邏輯、集合論、布爾代數、組合數學和圖論等有密切的聯系，不但在數學領域中起著非常重要的作用，而且被廣泛應用于計算機科學等領域。目前很多書籍和文獻研究了二元關系的相關知識[1-8，11]。比如文獻[2，5]探討了傳遞閉包的運算方法;文獻[3，6]分析了二元關系的五個性質;文獻[4，11]研究了等價關系和偏序關系;文獻[7，8]討論了二元關系傳遞性的判別方法?？v觀研究現狀，已有文獻都是對二元關系中的某個具體知識點進行討論，但針對二元關系這一章內容的具體教學模式改革的探討并不多見。另一方面，二元關系的教學現狀是：學生沒有意識到二元關系的重要性，所以對二元關系的學習主動性不高;教學內容不新穎，不能激發學生的學習興趣;教學方法還停留在傳統模式上，不能調動學生的學習積極性;考核方式忽略了學生的實踐能力等，不能培養學生的創新能力。針對這些現狀，結合作者多年的理論研究和教學實踐，下面從四個方面系統的分析離散數學中二元關系的教學模式和學習技巧，從而加深學生對二元關系知識點的理解以及靈活應用。

二、提高二元關系的教學措施和實踐

（一）強調應用價值

在講授二元關系的內容之前，首先說明學習二元關系的意義：二元關系在信息檢索、算法分析、編譯程序設計、近世代數、數據結構、數據庫和點集拓撲等領域發揮著積極作用。如傳遞閉包在編譯原理中，等價關系在數據庫、命題公式、集合、數據結構以及組合計數中，偏序關系在項目管理和字典排序中的應用非常廣泛。而且，現實中的許多問題都可以用二元關系來建模，例如資源共享協議、計算機中的多機調度、匹配問題、安排座位和圖的著色等問題。而且，二元關系也是該專業學生學好后續某些課程的基礎。這樣使注重于計算機基礎和應用的信息與計算科學專業的學生感受到二元關系的重要應用價值，從而激發學生濃厚的學習興趣和提高自主學習的積極性。

（二）優化教學內容

二元關系這一章內容散且課時少，為了趕教學進度很容易忽略學生的學習狀態以及學以致用性，從而會降低學生的自主學習興趣。另外，為了適應現代社會發展對信息與計算科學專業人才的需求，還應注重培養學生的綜合應用能力和實踐能力。所以應當優化二元關系的教學內容。二元關系這一章內容的基本框架是：

由于信息與計算科學專業的學生已經學習了數學分析和高等代數等專業課，對集合的運算已經有了更進一步的認識。所以在教學內容上對關系的運算較粗略講解。而二元關系的性質是這一章后續內容的基礎，所以應重點加強與二元關系性質相關問題的訓練，特殊關系的講解，并強調關系矩陣在性質判別、關系運算及等價關系和偏序關系判定過程中的思想和作用，從而將抽象問題具體數學化，使學生更好理解和掌握。另外，為了將理論與實際相結合，教學內容上還可以加入簡單的計算編程，比如讓學生利用所學知識實現對關系矩陣的n次冪運算等內容的編程，使學生能夠學以致用，從而對二元關系的學習產生濃厚興趣。

（三）豐富教學方法

1. 教學手段多樣化

混合教學模式，是將在線教學和傳統教學的優勢結合起來的一種“線上+線下”的教學方式[12]。針對二元關系，可以采用傳統課堂和翻轉課堂等結合的混合式教學模式。

課前，教師將二元關系的定義和運算讓學生在網絡教學平臺下載觀看，并查閱回顧關系數據庫的相關知識。教師將諸如關系與數據庫之間的聯系是什么等問題發給學生思考和討論。關系的性質和特殊關系較難理解，可以先用傳統教學內容的手段錄成簡短的小視頻，形成在線課程（或慕課）發給學生，讓學生提前預習。對于特殊關系，教師還可以讓學生先行思考實際生活中的哪些關系是特殊關系。課堂上，在前面的準備基礎上，針對二元關系的內容，教師先列出提綱，然后適時應用雨課堂對學生的預習情況進行測查。接著讓學生分組討論，這個過程中教師要鼓勵學生發現并提出問題，而且還要參與到學生的討論中。比如有些學生對等價類與劃分之間的關系理解不好，教師鼓勵理解透徹的同學為其講解并互相討論，最終以圖示化方式明確等價類與劃分塊之間的關系。

二元關系講解完后，可以給學生布置一些聯系實際的作業，比如關系運算如何運用到社交網絡中等。實踐表明，這樣的混合式教學方式不但讓學生體會到了學習的樂趣，而且更好地激發了學生的自主創新學習能力。

2. 融入實踐教學

單純的基礎理論教學往往忽略了學生對計算思維方法的靈活應用。所以應適時增加實踐教學環節，鼓勵學生將一些算法進行計算機編程和應用，從而使理論與實際相結合。信息與計算科學專業的學生開設了C語言、C++面向對象編程、Java語言、Matlab語言與應用、數據結構、數據庫以及計算機網絡等編程和計算機課程，在掌握算法分析和計算技術方面更有優勢，能夠更好地對二元關系的有關內容編程并靈活運用。因此在二元關系的教學中可以根據學生的情況選取一些內容進行簡單編程。比如可以讓學生對關系閉包運算、等價關系與偏序關系的判定和關系矩陣的n次冪運算等進行簡單編程，也可以先讓學生用Warshall算法和改進的Warshall算法求關系的閉包運算，再鼓勵學生嘗試利用傳遞閉包的Warshall算法繪制班級社交關系圖等。這樣不但提高了學生的編程能力和學習興趣，而且培養了學生的動手能力和綜合運用知識的能力。

3. 注重啟發式教學

二元關系這一章概念和定理很多，所以教師可通過精心設計逐步遞進的啟發式教學來引導學生積極主動思考，激發學習興趣，實現教學間的有效互動，從而提高教學質量。例如設R1，R2是集合A上的二元關系。通過講解易知，若R1，R2是自反的（反自反的，對稱的），則R1∪R2也是自反的（反自反的，對稱的）。于是教師由此可以啟發提問：“若R1，R2是反對稱的（傳遞的），則R1∪R2是否也是反對稱的（傳遞的）”？然后可以通過舉實例來解決給出答案。又如講閉包運算時，通過閉包運算的概念逐層啟發引導學生得出其運算表達式。這樣將問題層層深入，加深學生對重點內容的理解。

4. 采取類比式教學

二元關系這一章的許多內容間存在一定聯系，可以用類比法教學來加深理解。比如，在二元關系教學過程中，講解完性質和運算后，可類比性質與運算的聯系，也可通過類比等價關系和偏序關系來區分特殊關系。傳遞閉包的判定有些難度，但它與第一章數理邏輯中的蘊含式判別相關聯，所以講解傳遞閉包時將其用蘊含式判別來分析可以簡化判定思想，更能加深這兩方面知識的理解。另外，二元關系中的有些內容和信息與計算科學專業學生所學課程的有關知識相似。如關系中的并、交和差運算其實是關系數據庫中的增加、查找及刪除運算;關系閉包與數學分析課程中的閉包一致;關系矩陣的合成運算公式與矩陣的乘法公式相似，只不過關系矩陣的乘法和加法用的是布爾運算。這樣通過已學知識的介入和類比使得學生能夠更形象的理解二元關系的內容。

（四）改進考核方式

考核是對學生掌握知識的評價，也是對教學效果的評估[10]。二元關系以往的考核由作業、出勤和回答問題的表現決定。這種考核方式忽略了學生的編程能力和自主創新學習能力的培養，顯然不利于信息與計算科學專業學生的發展。在二元關系的考核中，還應注重考查學生平時的綜合學習表現：平時課前預習情況的表現;平時課中討論問題的表現;平時計算機編程和做練習題情況的表現。另外，為了使學生鞏固二元關系的知識和養成平時踏實學習的好習慣，還應該進行二元關系這一章的單元考試。因此為了使信息與計算科學專業的學生適應社會需求，二元關系的考核方式最終由以下幾部分構成：平時課前檢測10%;平時課中討論10%;平時編程和練習表現20%;作業出勤 20%;單元檢測成績40%。當然，這種考核方式在離散數學課程的整個教學過程中也適用。

三、結束語

二元關系與許多學科有非常緊密的關聯，在許多領域具有非常廣泛的應用，因此加深對二元關系的理解和探討二元關系的教學方法及技巧是非常有必要的。針對二元關系的教學改革，本文從強調應用價值、優化教學內容、創新教學方法和改進考核方式等方面進行了討論。通過該教學模式的應用將調動學生的學習積極性、主動性和創造性，達到良好的教學效果。隨著信息科學和社會的飛速發展，今后還需要結合信息與計算科學專業學生的實際情況和社會的發展需求不斷地對二元關系乃至離散數學課程的教學內容和模式進行創新和探索，這樣才能實現教與學與用的有機結合。

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