空中發射初始狀態對運載火箭有效載荷的影響

蔡恒欲，林立輝，劉士陽，葉正寅

(西北工業大學 航空學院，西安 710072)

0 引 言

空中發射技術是指從空中發射平臺(主要是飛機或者飛艇等航空飛行器)上發射攜帶任務載荷的運載火箭、巡航導彈和無人機等(統稱為有效載荷)的技術[1]。

從軍事角度來看，火箭發射基地一般是戰時敵方最先想要摧毀的地方，采用空中發射技術具有三方面優勢：①使火箭發射具有極強的機動性和隱蔽性，在戰時和應急情況下是相當重要的；②有利于減少火箭發射場地的數量、節約維護經費、縮短發射周期；③提高火箭的有效載荷，使小型火箭可以運載更多的有效載荷到軌道上[1-2]。從民用角度來看，空中發射技術在商業方面也具有巨大潛力，例如，2013年初，維珍銀河公司已有超過575名付費用戶購買了用于乘坐"太空船2號"的太空旅行票，票價暫時穩定在250 000美元[3]。

在國外，2004～2006年間，Beggar求解器被廣泛用于諸如F-15E、F-16、B-52等空中發射平臺的外掛物投放仿真[4-6]。V.C.Nguyen等[7]分析了機箭系統發射階段的魯棒穩定性；E.Roosenboom等[8]利用實驗方法，研究了重裝空投貨物出艙后機-物-傘系統的氣動耦合特性。1990年4月，美國“飛馬座”火箭通過空中發射平臺發射的空射型運載火箭，其總質量18.3 t，可以發射180～410 kg的小型衛星[9]。2018年10月，英國維珍航空公司利用改裝后的747-400在9 144 m高空成功實現二級運載火箭“LauncherOne”的發射。2019年4月， “Stratolaunch”實現首飛，用于運載火箭空中發射，有效載荷可達250 t[10]。

目前，國內的研究主要集中于理論和數值模擬方面。唐志共等[11]采用基于非結構重疊網格的挖洞技術求解Euler方程，數值模擬了外掛投放；肖中云等[12]在并行環境下進行了外掛物動態分離過程的數值模擬；朱和銓等[13]對仿真的火箭箭體進行了氣動特性分析；高云逸等[14]和楊磊[15]分別研究了運載火箭在空中投放后的姿態控制。

各國研究者已對空中發射技術進行了大量研究，并取得了一些成就，但大都是研究火箭分離過程中的數值模擬和氣動特性方面，對于具體的空中發射對運載火箭的有效載荷影響程度的研究很少，因此本文通過研究在不同的發射高度和速度下有效載荷的變化情況，定量地給出空中發射對有效載荷的影響程度。

1 計算方法

為了便于研究發射高度和發射速度對火箭入軌后有效載荷的影響程度，對火箭運動軌跡(如圖1所示)進行簡化處理，火箭運動方式為：

(1) 在初始高度、初始速度下，火箭發動機點火，火箭開始進行爬升；

(2) 到達一定高度后，火箭發動機熄火，火箭依靠慣性繼續爬升，直到火箭到達指定軌道，此時火箭速度基本為0；

(3) 火箭到達軌道高度后發動機二次點火，產生的推力一方面與離心力一起平衡地球引力，另一方面對火箭進行加速，直到火箭達到軌道速度為止。

圖1 火箭運動軌跡Fig.1 Motion trajectory of rocket

為了簡化計算，設定如下假設：

(1) 火箭發動機推力恒定，不對火箭發動機推力進行調整；

(2) 火箭發射不考慮地球自轉問題；

(3) 運動過程中將火箭看成一個質點，不考慮火箭自身姿態改變問題；

(4) 箭體與載機分離后至轉為垂直姿態開始點火，僅需數秒，期間火箭高度的變化忽略不計；

(5) 由于到7×104m高度時大氣密度數值在10-4kg/m3的量級，計算出來的氣動阻力在103N的量級，遠小于由于重力引起的阻力，故假定火箭到達7×104m高度后大氣密度為0。

火箭加速上升階段的數學模型如式(1)所示。

(1)

式中：hn為火箭當前高度；hn-1為火箭上一時刻高度；vn為火箭當前速度；vn-1為火箭上一時刻速度；fn為火箭當前時刻所受氣動阻力；mn為火箭當前質量；mn-1為上一時刻火箭質量;dm為火箭發動機推進劑質量流量;FGn為火箭當前時刻所受重力;G為萬有引力常量;M為地球質量;R為地球半徑;F為發動機推力;an為火箭當前加速度;an-1為火箭上一時刻加速度。

在計算火箭的飛行阻力時，阻力系數(Cd)的值隨馬赫數(Ma)的變化而變化。使用RASAero軟件，建立火箭的簡易模型，如圖2所示；得到阻力系數的變化曲線，如圖3所示。

圖2 火箭外形Fig.2 The rocket shape

圖3 Cd隨馬赫數的變化曲線Fig.3 Curve of Cd changed with Mach number

考慮到不同高度下，大氣溫度不同，聲速也不同，故將大氣模型加入到計算模型中。根據火箭當前高度，確定出當前高度下的大氣溫度，再計算出聲速，根據火箭當前速度，即可求出火箭當前馬赫數Ma，阻力系數Cd根據馬赫數的值確定。

火箭進入軌道后進行加速階段的數學模型如式(2)所示。

(2)

式中：Ffn為火箭受到的萬有引力與離心力的合力;θ為火箭發動機推力方向的離軸角，用來使推力產生一個分力平衡萬有引力與離心力的合力;Fa為火箭發動機推力用來加速的分力;其他參數同式(1)。

采用上述一階精度算法，能快速地定量分析火箭有效載荷隨發射高度和發射速度的變化情況，從而更好地反映出初始發射狀態對火箭有效載荷的影響程度。本文雖然采用的是較為簡易的數學模型和一階精度計算方法，但是對于研究不同初始發射狀態對運載火箭有效載荷的影響，其結論不會產生影響。

2 火箭入軌模型

本文研究火箭在不同發射高度和不同發射速度下在指定軌道上有效載荷的變化情況，得出發射高度和發射速度對火箭入軌后有效載荷的影響程度?；陂L征6號火箭部分參數構建火箭數學模型，指定火箭軌道高度為100 km。

假定火箭起飛質量中除了結構質量外，其余質量全為火箭的推進劑。當火箭在軌道高度上速度達到軌道速度時，剩余的推進劑質量即為有效載荷。為了做到火箭完全回收，火箭采用長征6號火箭的參數，但在發射過程中不做分離，即看作是一個一級火箭，參數如表1～表2所示。

表1 火箭主要參數

表2 1個標準大氣壓下火箭發動機參數

首次計算后發現在0高度、0速度狀態下發射，即地面發射，火箭能到達軌道，但在推進劑全部消耗完之后速度為3 699.58 m/s，小于軌道速度7 840.3 m/s，即火箭無法真正意義上進入軌道。之后將發射高度定為20 000 m，發射速度定為250 m/s，結果在推進劑耗盡前仍無法將火箭在軌道上加速到軌道速度。

考慮到火箭的全重，一般將大型飛機作為空中發射平臺，而計算結果表明，即使通過飛機進行空中發射，火箭也無法真正進入100 km軌道，故這種方案在一級火箭模型下不可行。

鑒于一級火箭無法達到軌道速度，將火箭改為二級火箭，當一子級用完其全部推進劑后脫離，之后由二子級進行推進，而火箭主要參數不改變，包括火箭起飛質量、火箭結構質量、推進劑質量等，火箭各子級參數如表3～表4所示。

表3 火箭一子級參數

表4 火箭二子級參數

火箭各子級的空重是通過推進劑占比估算得到的。此外，在火箭一子級中，發動機比沖和推進劑流量的乘積所得到的推力為1 205.337 4 kN，而給出的發動機推力為1 199.190 kN，故通過兩者的比值和火箭二子級發動機推力，可估算出火箭二子級發動機的推進劑流量。

計算結果表明，在初始發射高度為0，初始發射速度為0，火箭在100 km軌道上可達到軌道速度，此時有效載荷為213.32 kg。表明選用二級火箭模型為基本的計算模型，火箭能攜帶一定的有效載荷進入100 km軌道，該方案可行。

3 初始發射狀態對入軌有效載荷的影響

選取二級火箭模型為基本計算模型，用于分析初始發射狀態對有效載荷的影響。首先，在0高度、0速度下，火箭在100 km軌道高度上達到軌道速度，此時的質量為1 943.32 kg，有效載荷為213.32 kg。在該發射狀態下，火箭進入軌道前火箭高度、質量、速度隨時間的變化如圖4～圖5所示。圖4中橫坐標為火箭發射后的時間，左邊縱坐標為火箭的質量，右邊縱坐標為火箭距地面的高度；圖5橫坐標為火箭發射后的時間，左邊縱坐標為火箭的速度，右邊縱坐標為火箭距地面的高度。

圖4 火箭入軌前高度、質量隨時間的變化Fig.4 The height and quality of the rocket changed with time before entering the orbit

圖5 火箭入軌前高度、速度隨時間的變化Fig.5 The height and speed of the rocket changed with time before entering the orbit

火箭入軌前阻力系數、馬赫數隨時間的變化曲線如圖6所示，橫坐標為火箭發射后時間，左邊縱坐標為火箭當前馬赫數Ma，右邊縱坐標為阻力系數Cd。

從圖4～圖6可以看出：由于火箭一開始質量較大，加速度較小，速度曲線開始時變化較為平緩，但總體上加速度有增長的趨勢；在火箭發射后100 s左右，由于火箭馬赫數接近1，此時火箭進入跨聲速階段，激波的產生使火箭的阻力系數劇增(如圖6所示)；之后隨著馬赫數的增加，阻力系數下降，且火箭自身的質量在不斷減少，故火箭的加速度不斷增加；在火箭發射155 s后，火箭發動機熄火，火箭開始減速，相對于火箭所受到的引力，火箭的氣動阻力為小量，即火箭的減速上升運動近似為勻減速上升運動。

圖6 火箭入軌前Cd、Ma隨時間的變化Fig.6 The Cd and Ma of the rocket changed with time before entering the orbit

火箭在上升階段不同高度下的速度、質量和推進劑所耗占比(所耗推進劑與一、二級火箭總推進劑的比值)如表5所示，高度選取為5 000.16、10 000.20、15 000.30、20 000.20、25 000.20和30 000.50 m，可以看出：由于初始加速度較小，當火箭到達5 000.16 m時，火箭速度達到0.55Ma左右，但此時火箭已經消耗了25.5 t的推進劑，占總推進劑質量的27.4%；而當火箭到達30 000.50 m時，火箭速度為2.14Ma左右，此時火箭已經消耗58.7%的推進劑。表明提高發射高度和發射速度，可以明顯節省推進劑的使用或增加有效載荷。

表5 上升段時不同高度下火箭的速度、

火箭從地面發射，到10 000.20 m高度時，已消耗34 784.8 kg的推進劑，此時火箭速度為267.218 m/s。若由空中發射平臺將火箭帶到10 000.20 m高度，并賦予火箭267.218 m/s的初速度，火箭的質量可由103 000 kg減少到68 215.2 kg。

從工程實踐角度出發，由于推進劑的減少，火箭結構質量可以相應減少，故假定火箭一子級的結構質量(發動機的質量除外)與其推進劑的質量成線性關系，并規定火箭的二子級參數不改變。根據假定，由空中發射平臺搭載的火箭，其一子級全重49 485.2 kg，其中推進劑質量43 905.25 kg，結構質量為5 579.95 kg(發動機質量為1 900 kg)。此時，該火箭由空中發射平臺在10 000.20 m初始高度、267.218 m/s初始速度下發射，在軌道上的有效載荷為426.41 kg，比從地面發射到達軌道的有效載荷(即213.32 kg)增加了近1倍。

同理，若空中發射平臺將火箭帶到30 000.50 m高度，并賦予火箭644.678 m/s的初始速度，火箭質量由103 000 kg減少到48 433.3 kg。同樣，基于之前的假設，火箭一子級的全重為29 703.3 kg，其中推進劑質量25 633.16 kg，結構質量為4 050.14 kg (發動機質量為1 900 kg)。此時，該火箭由空中發射平臺在30 000.50 m初始高度、644.678 m/s初始速度下發射，在軌道上的有效載荷為799.28 kg，比從地面發射到達軌道的有效載荷(即213.32 kg)增加了1.7倍。

綜上可知，空中發射不僅可以減少火箭的質量和尺寸，還可以增加火箭的有效載荷。

初始發射速度分別為0、300、500、700和1 000 m/s情況下，有效載荷隨高度的變化曲線如圖7所示，橫坐標為初始發射高度，縱坐標為入軌的有效載荷。

圖7 在不同速度下有效載荷隨高度的變化Fig.7 The change of payload with emission height

從圖7可以看出：當初始發射速度為0時，發射高度從0變化到30 km，有效載荷從約213.32 kg增加到約765.59 kg，增加了2.59倍，表明有效載荷隨著發射高度的增加而增加；當發射速度為0，發射高度由0增加到10 000 m時，有效載荷增加了290.37 kg；當發射速度為1 000 m/s時，發射高度由0增加到10 000 m時，有效載荷增加了834.93 kg，表明隨著發射速度的增加，會顯著提升發射高度對有效載荷的影響程度。

初始發射高度分別為0、10、20和30 km情況下，有效載荷隨速度的變化曲線如圖8所示，橫坐標為初始發射速度，縱坐標為入軌的有效載荷。

圖8 不同高度下有效載荷隨速度的變化Fig.8 The change of payload with emission speed

從圖8可以看出：當發射高度為0時，發射速度從0增加到1 000 m/s，有效載荷從約213.32 kg增加到約1 326.89 kg，增加了5.22倍；發射高度從0提升到10 km時，有效載荷有較為顯著的提升；若發射高度從10 km繼續增長，對有效載荷的提升并無良好效果，而且若要繼續增加發射高度，對載機平臺的設計要求將更加嚴苛，因此初始發射高度設置在10 km左右較為合適；當發射高度為0時，發射速度由0增加到1 000 m/s時，有效載荷增加了1 113.57 kg，當發射高度為10 000 m時，發射速度由0增加到1 000 m/s時，有效載荷增加了1 158.13 kg，表明發射高度的增加不會顯著提升發射速度對有效載荷的影響程度，但發射速度的增加則會顯著提升發射高度對有效載荷的影響程度，即發射速度對有效載荷的影響更為突出。

為了更好地反映發射高度、發射速度對有效載荷的影響，給出有效載荷隨發射高度、發射速度變化的三維圖，如圖9所示。

圖9 有效載荷隨發射高度、發射速度的變化Fig.9 The change of payload with emission height and emission speed

從圖9可以看出：當從初始發射高度和速度都為0，增加到30 km高度并且速度達到1 000 m/s下發射時，有效載荷從約213.32 kg增加到約2 554.78 kg，增加了10.98倍。

火箭要攜帶更多的有效載荷，空中發射平臺就需要飛的更快、更高。但考慮空中發射平臺在提升發射高度后，其本身由于高空空氣稀薄，升力會相對下降，而火箭本身起飛質量不會發生變化，并且提升發射高度對有效載荷的提升影響較小，故將提高發射速度作為第一考慮因素，提升發射高度僅作為提升發射速度的一種手段，這種做法更為經濟，也對有效載荷的提高更加有效。

4 結 論

(1) 發射高度在10 km以上繼續增加，對有效載荷的提升并不明顯，而且因為發射高度的增加，對載機平臺的設計將提出更為苛刻的要求，因此初始發射高度設置在10 km左右較為合適。

(2) 通過不同發射高度、不同發射速度對有效載荷的變化進行數據對比，可知發射速度對有效載荷的影響更為突出。

(3) 若考慮空中發射的經濟性，設置初始發射高度為10 km左右，并盡可能提高初始發射速度的方案是較為合理的。